湖南大學(xué)理科通識(shí)階段教育課程——無窮級數(shù)微積分（二）第六講周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~學(xué)習(xí)要求對于概念和理論方面的內(nèi)容，從高到低分別用“理解”、“了解”、“知道”三級來表述；對于方法，運(yùn)算和能力方面的內(nèi)容，從高到低分別用“熟練掌握”、“掌握”、“能”（或“會(huì)”）三級來表述。知道函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的充分條件。能將周期函數(shù)及定義在和上的非周期函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，能將定義在和上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。第九章無窮級數(shù)第五節(jié)傅立葉級數(shù)周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)四、正弦級數(shù)與余弦級數(shù)五、一般周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)一、問題的提出二、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性三、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)一、問題的提出簡諧振動(dòng)是一種簡單的周期運(yùn)動(dòng)，它產(chǎn)生的波稱為諧波。是周期為的正弦函數(shù)有限個(gè)諧波疊加后仍然是周期為的波。實(shí)際應(yīng)用中關(guān)心的是：任何一個(gè)周期振動(dòng)所產(chǎn)生的波是否都可以由若干個(gè)簡諧振動(dòng)所產(chǎn)生的波合成？數(shù)學(xué)理論中關(guān)心的是：任何一個(gè)周期函數(shù)是否都可以表示為若干個(gè)三角函數(shù)之和？由于任何一個(gè)周期為的函數(shù)經(jīng)過變換故不失普遍性，我們主要研究以為周期的函數(shù)。即：若是以為周期的函數(shù)，則是否有可化為周期為的函數(shù)問題:2.若能展開,其系數(shù)如何確定?3.展開的三角級數(shù)在什么條件下收斂?1.怎樣的周期函數(shù)可展開為三角級數(shù)？二、三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性1三角級數(shù)(Trigonometricseries)前面的簡諧振動(dòng)函數(shù)（1）即:由三角函數(shù)組成的函項(xiàng)級數(shù)成為三角級數(shù)

則(1)式右端的級數(shù)可改寫為(2)得到行如(2)式的級數(shù)稱為三角級數(shù)2三角函數(shù)系的正交性(1)三角函數(shù)系即i)ii)iii)三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)傅里葉生平1768年生于法國1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件拉格朗日反對發(fā)表1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”

——傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)1.傅里葉系數(shù)(問題2)可得可得可得從而得到傅里葉系數(shù)把以上得到的系數(shù)代入三角級數(shù)問題3:該級數(shù)稱為傅里葉級數(shù)2.定理(收斂定理,狄利克雷(Dirichlet)充分條件)注函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成冪級數(shù)的條件低的多.解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.和函數(shù)圖象為所求函數(shù)的傅氏展開式為例2.上的表達(dá)式為將f(x)展成傅里葉級數(shù).解:

設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在說明:當(dāng)時(shí),級數(shù)收斂于四、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)

(Sineseriesandcosineseries)一般說來,一個(gè)函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正弦項(xiàng),又含有余弦項(xiàng).但是,也有一些函數(shù)的傅里葉級數(shù)只含有正弦項(xiàng)或者只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng).1.定理設(shè)是周期為的函數(shù),且可積,則2.定義解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.和函數(shù)圖象n＝5解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件,在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù).五、一般周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)代入傅立葉級數(shù)中這里討論以2L為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式定理則有則有解小結(jié)求傅立葉級數(shù)展開式的步驟;(1).畫圖形驗(yàn)證是否滿足狄氏條件(收斂域,奇偶性);(2).求出傅氏系數(shù);(