北京四中2013-2014學年上學期高二年級期末考試數學試卷(理科)后有答案

北京四中2013-2014學年上學期高二年級期末考試數學試卷（理科）本試卷分為兩卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共計150分?？荚嚂r間為120分鐘。卷（Ⅰ）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。1.拋物線y^2=4x的焦點到準線的距離是多少？A.1B.2C.4D.82.雙曲線x^2/48-y^2/16=1的實軸長是多少？A.2B.2√2C.4D.4√23.已知橢圓2x^2/m^2+2y^2/n^2=1（m>0,n>0）的右焦點為（2，0），離心率為e，則此橢圓的標準方程為A.x^2/m^2+y^2/n^2=1B.x^2/n^2+y^2/m^2=1C.x^2/16m^2+y^2/16n^2=1D.x^2/64m^2+y^2/16n^2=14.動點P到點A（-2，0）及點B（2，0）的距離之和為4，則點P的軌跡是什么？A.一條線段B.兩條射線C.雙曲線D.橢圓5.對于常數m,n，“mn<0”是“方程mx^2+ny^2=1的曲線是雙曲線”的什么條件？A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件6.命題p:存在C∈R，使得直線x-y+c=0與圓x^2+y^2=1相交；命題q:對于任意m>0，雙曲線x^2/2^2-y^2/m^2=1的離心率為2。則下面哪個結論是正確的？A.命題p是假命題B.?q是真命題C.p∨q是真命題D.p∧q是假命題7.設F1,F2分別是雙曲線x^2/9-y^2/4=1的左、右焦點，若點P在雙曲線上，且PF1·PF2=1/8，則|PF1+PF2|等于多少？A.2√2B.10C.4√2D.218.拋物線y^2=4x的焦點為F，點P（x,y）為該拋物線上的動點，又點A（-1，0），則|PA+PF|的最小值是多少？A.2B.2√2C.4D.4√2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9.命題“對于任意x∈R，都有x+x-6>0”的否定為什么？10.設雙曲線x^2/4-y^2/9=1的漸近線方程為3x±y=？，則該雙曲線的參數a為多少？11.正方體ABCD-AB1C1D1中，AA1所成角的正弦值為多少？12.已知橢圓x^2/16+y^2/9=1的左、右焦點分別為F1,F2，點P在該橢圓上，若|PF1-PF2|=2，則△PF1P2的面積等于多少？2B|的和為4，則該橢圓的離心率為__________。答案：0.613.過拋物線y^2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，若|AF|=3，則|BF|應為5，因為焦點到拋物線上任意一點的距離等于該點到準線的距離，而準線為x軸，故F的坐標為(1,0)，A的坐標為(9/4,3)，B的坐標為(1/4,-3)，因此|BF|=5。14.如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位上升1米后，水面寬6米。因為拱頂到水面的距離為2米，所以拱橋的方程為y=-x^2+2，與x軸交點為(±√2,0)。當水面上升1米后，拱橋的方程變為y=-x^2+3，與x軸交點為(±√3,0)，因此水面寬度為2√3-2√2≈0.94米。15.（1）該雙曲線的焦點坐標為(0,0)和(3,0)，離心率為2，漸近線方程為y=x和y=-x。（2）過F1作斜率為1的直線與雙曲線交于A，過F2作斜率為1的直線與雙曲線交于B，設A的坐標為(a,a^2-1)，則B的坐標為(6-a,1-2a+a^2)，根據距離公式可得|AB|=2√(a^2-3a+9)。由于A、B在雙曲線上，且F1、F2分別為它們的焦點，因此AF1+BF2=2a+6-a=8，解得a=2，代入可得|AB|=4√2。16.（Ⅰ）因為BC=CC1，B1C=2，所以BCC1是等腰三角形，且角BCC1=90度。又因為AB⊥BC，所以AB平行于平面BCC1，即AB垂直于B1C，所以B1C⊥平面BNG。（Ⅱ）設∠MAB1=α，則∠MAB=90度-α，又因為AB=2，所以AM=BM=tanα。又因為MN=1/2，所以CN=1/2-tanα。由余弦定理可得cos∠MAB1B=1/2-1/2cosα，cos∠MAB1C=cos(90度-α)=sinα，cos∠MAB1N=1/2+1/2cosα，所以cos∠MAB1B/cos∠MAB1C=cos∠MAB1N/cos∠MAB1C，化簡可得cosα=3/5，代入可得cos∠MAB1B=1/5，所以cos∠MAB1B1=cos(∠MAB1B+∠MAB1C)=cos∠MAB1Bcos∠MAB1C-sin∠MAB1Bsin∠MAB1C=-3/10。17.（Ⅰ）設動圓圓心P的坐標為(x,y)，則它滿足(x-1)^2+y^2=1（過點F且與x=-1相切），又因為它在圓x^2+y^2=1上，所以它的軌跡為(x-1)^2+y^2=1-x^2。（Ⅱ）過F作斜率為k的直線與軌跡C相交于A，B，D，E，設它們的坐標分別為(a,√(1-a^2)),(b,√(1-b^2)),(c,-√(1-c^2)),(d,-√(1-d^2))。根據距離公式可得AF*FB=(a-1)^2+(√(1-a^2))^2+(b-1)^2+(√(1-b^2))^2，DF*FE=(c-1)^2+(-√(1-c^2))^2+(d-1)^2+(-√(1-d^2))^2，代入軌跡方程可得a^2+b^2+c^2+d^2=2。由于l1、l2斜率存在且互相垂直，所以它們的方程分別為y=k(x+1)和y=-x/k+1，聯立可得P的坐標為((1-k^2)/(k^2+1),(2k)/(k^2+1))，代入AF*FB+DF*FE的表達式可得最小值為4。1/(x^2+1)+(x^3+1)/(x^4+1)可得e=1+2/(x^2+1)+1/(x^4+1)又因為2/(x^2+1)+1/(x^4+1)>=3/(x^2*x^4+1)所以e>=1+3/(x^2*x^4+1)又因為x^2*x^4<=(x^2+1)^2/4*(x^4+1)所以1/(x^2*x^4+1)<=4/(x^2+1)^2所以e>=1+3/(x^2*x^4+1)>=1+3*(x^2+1)^2/4>=16當且僅當x=0時取等號，所以e>=16（Ⅱ）設AD的中點為N，連接MN，NF。在△DAB中，M是BD的中點，N是AD的中點，所以MN∥AB，MN=1/2AB，即MN=(x^2+1)/2。又因為EF∥AB，EF=1/2AB，所以MN∥EF且MN=EF。所以四邊形MNFE為平行四邊形，所以EM∥FN。又因為FN∥平面ADF，EM∥平面ADF，所以EM∥平面ADF。又因為AB⊥BD，所以以B為原點，建立空間直角坐標系B-xyz。則A(0,2,0),D(3,0,0),C(3,-2,0),E(0,0,3),F(0,1,3),M(3/2,1,3/2)。設平面ADF的法向量為n，則n與向量AD,AF垂直。所以n=(2,3,0)。又因為EM∥平面ADF，所以n·EM=0。所以2x-3y=0，即y=2x/3。又因為EM∥BD，所以EM與向量BD平行。所以EM=k(3/2,-1,0)。所以EM與n的向量積為0，即(2,3,0)·(3/2,-1,0)=0。所以k=3/2。所以EM=(9/4,-3/2,0)。所以EN=1/2AD=(3/2,0,0)。所以MN=EN-EM=(3/4,3/2,3/2)。所以MN^2=9/16+9/4+9/4=27/4。所以MN=sqrt(27)/2=3sqrt(3)/2。所以AD*EB=AB*MN=4*3sqrt(3)/2=6sqrt(3)。所以e=1+3/(AD*EB+1)>=1+3/(6sqrt(3)+1)>=16。當且僅當x=0時取等號，所以e>=16。得到的菱形的面積為4，因此ab=2，根據a=b+c和ab=2，可以解得a=2，b=1，因此橢圓的方程為4x^2+y^2=4。設點A為(-2,0)，設點B的坐標為(x1,y1)，由題意直線l的斜率存在，設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2)。聯立方程y=k(x+2)和x^2/4+y^2=1，解得x=-(2/(1+4k^2))，y=-2k/(1+4k^2)。設線段AB的中點為M，則M的坐標為(-1/(1+4k^2),-k/(1+4k^2))。下面分情況討論：（1）當k=0時，點B的坐標為(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸。于是QA=(-2,-2)、QB=(2,-2)，由QA·QB=4得y=±2。（2）當k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為y-(-k/(1+4k^2))=-(x+1/(1+4k^2))/k，令x=-(1/(1+4k^2))，得y=-2k/(1+4k^2)。由QA=(-2,-2k/(1+4k^2))、QB=(x1,y1)可得QA·QB=-2x1-2k/(1+4k^2)·y1+2k/(1+4k^2)·y1=4，整理得7k^2=2，k=±1/√14，因此y=±2/√14或y=±(1/√14)·(1+4k^2)/(1+4k^2)。根據給定的公式，令$x=$某值，則$y=$某值。將其代入$2x^2+2y^2=1$中，得到$22+y=\sqrt{1-x^2}$。因為點$B(x_1,y_1)$在橢圓上，所以有$\frac{x_1^2}{4}+\frac{(y_1-1)^2}{2.25}=1$。將$y=2-y_1$代入，整