5.1.1任意角必備知識·自主學習導思1.體操中“前空翻轉體540度”“后空翻轉體720度”是什么意思？2.任意角可以分為哪幾類？3.什么是終邊相同的角？(1)角的分類類型定義圖示正角一條射線繞其端點，按_______方向旋轉形成的角

負角一條射線繞其端點，按_______方向旋轉形成的角

零角一條射線沒有做任何旋轉

逆時針順時針(2)本質：將初中所學的銳角、直角、鈍角、平角和周角等推廣到任意角.(3)應用：可以定義任意的旋轉角.如果角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的_________重合，那么，角的軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限.(1)定義：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內.(2)表示：集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.(3)本質：表示成角α與整數個周角的和.非負半軸第幾象限角【思考】反過來，若角α，β滿足S={β|β=α+k·360°，k∈Z}時，角α，β是否是終邊相同的角？提示：當角α，β滿足S={β|β=α+k·360°，k∈Z}時，表示成角α與β相隔整數個周角，即角α，β終邊相同.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)經過1小時，時針轉過30°. ()(2)終邊與始邊重合的角是零角. ()(3)第二象限的角是鈍角. ()提示：(1)×，因為是順時針旋轉，所以時針轉過-30°.(2)×，終邊與始邊重合的角是k·360°(k∈Z).(3)×，鈍角是第二象限的角，但第二象限角不一定是鈍角.2.與45°角終邊相同的角是 ()A.-45°B.225°C.395°D.-315°【解析】選D.與45°角終邊相同的角可以表示為45°+k·360°，k∈Z，結合四個選項可以發現只有答案D符合題意.3.(教材二次開發：例題改編)已知0°≤α<360°，且α與600°角終邊相同，則α=_______，它是第_______象限角.

【解析】因為600°=360°+240°，所以240°角與600°角終邊相同，且0°≤240°<360°，故α=240°，它是第三象限角.答案：240°三關鍵能力·合作學習類型一任意角的概念及應用(數學抽象)【題組訓練】

1.(2020·杭州高一檢測)下列說法：①終邊相同的角必相等；②銳角必是第一象限角；③小于90°的角是銳角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角α的終邊經過點M(0，-3)，則角α是第三或第四象限的角，其中錯誤的是 ()A.③④⑤B.①③④C.①③④⑤D.②③④⑤2.給出下列四個命題：①-75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第三象限角；④-310°是第一象限角.其中正確的命題有 ()3.將時鐘撥快20分鐘，則分針轉過的度數是_______.

【解析】1.選C.①終邊相同的角必相等錯誤，如0°與360°終邊相同，但不相等；②銳角的范圍為(0°，90°)，必是第一象限角，正確；③小于90°的角是銳角錯誤，如負角；④第二象限的角必大于第一象限的角錯誤，如120°是第二象限角，390°是第一象限角；⑤若角α的終邊經過點M(0，-3)，則角α是終邊在y軸負半軸上的角，故⑤錯誤.其中錯誤的是①③④⑤.2.選C.因為-90°<-75°<0°，所以-75°是第四象限角，正確；因為180°<225°<270°，所以225°是第三象限角，正確；因為360°+90°<475°<360°+180°，所以475°是第二象限角，錯誤；因為-360°<-310°<-270°，所以-310°是第一象限角，正確.所以這四個命題中有3個是正確的.3.分針每分鐘轉6°，由于順時針旋轉，所以20分鐘轉了-120°.答案：-120°【解題策略】根據角的概念解題的關鍵(1)準確理解各個象限內角的特點，逐個判斷所在的象限.(2)鐘表的旋轉方向都是順時針方向，所以所得的角應該是負角.【補償訓練】已知集合A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，則下面關系正確的是 ()?CC.A∩C=B D.B∪C?C【解析】?C，所以B∪C=C，故D正確.類型二終邊相同的角的表示及應用(直觀想象)【典例】寫出終邊落在直線y=x上的角的集合S，并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β寫出來.四步內容理解題意條件：角的終邊在直線y=x上.結論：①求角的集合；②求適合-360°≤β<720°的角.思路探求①在0°～360°內找到終邊在y=x上的角；②推廣到任意角；③找出-360°≤β<720°內的角.四步內容書寫表達直線y=x與x軸的夾角是45°，在0°～360°范圍內，終邊在直線y=x上的角有兩個：45°，225°.①因此，終邊在直線y=x上的角的集合：S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°，k∈Z}={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°，k∈Z}={β|β=45°+n·180°，n∈Z}.②所以S中適合-360°≤β<720°的元素是：45°-2×180°=-315°；45°-1×180°=-135°；45°+0×180°=45°；45°+1×180°=225°；45°+2×180°=405°；45°+3×180°=585°.注意解題過程的規范性：①終邊在直線y=x上注意討論兩種情況.②這種形式的兩個集合取并集時合并為一個集合.四步內容題后反思在0°～360°范圍內，終邊在y=x上的角有兩個，這是同學們容易忽視的地方；最后在-360°～720°求角時，要適當選取k的值.【解題策略】(1)一般地，可以將所給的角β化成k·360°+α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角.(2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當所給角是負角時，采用連續加360°的方式；當所給角是正角時，采用連續減360°的方式，直到所得結果達到要求為止.特別提醒：表示終邊相同的角時，k∈Z這一條件不能省略.【跟蹤訓練】

1.(2020·濟南高一檢測)下列各角中，與角30°終邊相同的角是 ()A.-390°

B.-330°C.330° D.570°【解析】選B.與角30°終邊相同的角的集合為{α|α=30°+k·360°，k∈Z}，取k=-1，可得α=-330°，所以與角30°終邊相同的角是-330°.2.寫出終邊落在x軸上的角的集合S.【解析】S={α|α=k·360°，k∈Z}∪{α|α=k·360°+180°，k∈Z}={α|α=2k·180°，k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°，k∈Z}={α|α=n·180°，n∈Z}.【拓展延伸】運用終邊相同的角的注意點所有與角α終邊相同的角，連同角α在內可以用式子k·360°+α，k∈Z表示，在運用時需注意以下四點：(1)k是整數，這個條件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)k·360°與α之間用“+”連接，如k·360°-30°應看成k·360°+(-30°)，k∈Z.(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數個，它們相差周角的整數倍.【拓展訓練】寫出與α=-1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式-720°≤β<360°的元素β寫出來.【解析】與α=-1910°終邊相同的角的集合為{β|β=k·360°-1910°，k∈Z}.因為-720°≤β<360°，即-720°≤k·360°-1910°<360°(k∈Z)，所以3≤k<6(k∈Z)，故取k=4，5，6.k=4時，β=4×360°-1910°=-470°；k=5時，β=5×360°-1910°=-110°；k=6時，β=6×360°-1910°=250°.類型三象限角及其應用(直觀想象)角度1用不等式組表示角的集合

【典例】如圖所示.(1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合.(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.【思路導引】(1)根據題目給出的角度分別寫出OA，OB表示的角.(2)根據陰影部分寫出不等式，注意兩個角的先后順序.【解析】(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°，k∈Z}.終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°，k∈Z}.(2)終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°，k∈Z}.【變式探究】如圖所示，寫出終邊落在陰影部分的角的集合.

【解析】設終邊落在陰影部分的角為α，角α的集合由兩部分組成.①{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°，k∈Z}.②{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°，k∈Z}.所以角α的集合應當是集合①與②的并集，即S={α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°，k∈Z}∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°，k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°，k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°，k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°，k∈Z}={α|n·180°+30°≤α<n·180°+105°，n∈Z}.角度2nα或所在象限的判定

【典例】若α是第二象限角，則2α，分別是第幾象限的角？【思路導引】根據已知條件，用不等式表示出α的范圍，再求出nα或的范圍，然后判定所在象限即可.【解析】(1)因為α是第二象限角，所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，所以180°+k·720°<2α<360°+k·720°，所以2α是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上.(2)因為α是第二象限角，所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，所以45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z).①當k=2n(n∈Z)時，45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z)，即是第一象限角；②當k=2n+1(n∈Z)時，225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z)，即是第三象限角.故是第一或第三象限角.【解題策略】關于角nα或象限的確定(1)由α的范圍，表示出nα，的范圍，由n的取值確定象限.(2)特別地，求所在象限時，可以把每個象限等分為n份，在每一份中按順序標記一，二，三，四，找到原象限數字即可.【題組訓練】1.角α=-60°+k·180°(k∈Z)的終邊落在 ()A.第四象限 B.第一、二象限C.第一象限 D.第二、四象限【解析】選D.令k=0，α=-60°，在第四象限；再令k=1，α=-60°+180°=120°，在第二象限.2.已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(不包含邊界)，那么角α的集合是_______.

【解析】觀察圖形可知，角α的集合是{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°，k∈Z}.答案：{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°，k∈Z}3.若角α是第一象限角，則(1)-α是第_______象限角；

(2)是第_______象限角.

【解析】因為α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z).(1)-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z)，所以-α所在區域與(-90°，0°)范圍相同，故-α是第四象限角.(2)方法一(分類討論)：k·120°<<k·120°+30°(k∈Z).當k=3n(n∈Z)時，n·360°<<n·360°+30°，所以是第一象限角；當k=3n+1(n∈Z)時，n·360°+120°<<n·360°+150°，所以是第二象限角；當k=3n+2(n∈Z)時，n·360°+240°<<n·360°+270°，所以是第三象限角.綜上可知，是第一或第二或第三象限角.方法二(幾何法)：如圖，先將各象限分成3等份，再從x軸的正向的上方起，依次將各區域標上1，2，3，4，則標有1的區域即為角的終邊落在的區域，故為第一或第二或第三象限角.答案：(1)四(2)一或二或三【補償訓練】已知α為第一象限角，求180°-是第_______象限角.

【解析】因為α為第一象限角，所以k·360°<α<k·360°+90°，k∈Z，所以k·180°<<k·180°+45°，k∈Z，所以-45°-k·180°<-<-k·180°，k∈Z，所以135°-k·180°<180°-<180°-k·180°，k∈Z.當k=2n(n∈Z)時，135°-n·360°<180°-<180°-n·360°，為第二象限角；當k=2n+1(n∈Z)時，-45°-n·360°<180°-<-n·360°，為第四象限角.所以180°-是第二或第四象限角.答案：二或四課堂檢測·素養達標1.在下列說法中，正確的是 ()①時鐘經過兩個小時，時針轉過的角是60°；②鈍角一定大于銳角；③射線OA繞端點O按逆時針旋轉一周所成的角是0°；④-2000°是第二象限角.A.①②B.③④C.①③D.②④【解析】選D.①時鐘經過兩個小時，時針按順時針方向旋轉60°，因而轉過的角為-60°，所以①不正確.②鈍角α的取值范圍為90°<α<180°，銳角θ的取值范圍為0°<θ<90°，因此鈍角一定大于銳角，所以②正確.③射線OA按逆時針旋轉一周所成的角是360°，所以③不正確.④-2000°=-6×360°+160°與160°終邊相同，是第二象限角，所