函數的概念及其表示第一課時

問題1

請同學們閱讀課本第60頁，回答下列問題：（1）本章將要研究哪類問題？（2）本章要研究的對象在高中的地位是怎樣的？（3）本章研究的起點是什么？目標是什么？本章將要研究函數的概念、性質及其應用．函數是高中數學的核心內容，也是學習其他學科的重要基礎．起點是函數的概念，目標是通過研究函數的性質把握客觀世界中各種各樣的運動變化規律．整體概覽

問題2

在初中我們已經接觸過函數的概念，知道函數是刻畫變量之間對應關系的數學模型和工具．例如，正方形的周長l與邊長x的對應關系是l＝4x．（1）l是x的函數嗎？（2）這個函數與正比例函數y＝4x是同一個函數嗎？是不是問題導入問題3

閱讀材料，回答問題：某“復興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時．這段時間內，列車行進的路程S（單位：h）的關系可以表示為S＝350t．（1）S＝350t是函數嗎？為什么？（2）有人說：“根據對應關系S＝350t，這趟列車加速到350km/h后，運行1h就前進了350km．”你認為這個說法正確嗎？解答：（1）因為t和S是兩個變量，而且對于t的每一個確定的值，S都有唯一確定的值與之對應，所以S是t的函數．錯誤是新知探究追問1

能否根據現有條件回答“24h時對應的距離是多少？”為什么？不能，因為半小時之后列車的運行狀況未知．追問2

這個說法犯了什么錯誤？忽略了時間t的變化范圍．追問3

你認為如何描述才能準確反映實際問題？在S＝350t的基礎上，給時間t備注上范圍．新知探究

問題3中函數的精確描述：列車行進的路程S與運行時間t的對應關系是S＝350t．①其中，t的變化范圍是數集A1＝{t|0≤t≤0.5}，S的變化范圍是數集B1＝{S|0≤S≤175}．對于數集A1中的任一時刻t，按照對應關系①，在數集B1中都有唯一確定的路程S和它對應．新知探究問題4

閱讀材料，回答問題：某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．（1）你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數d的函數嗎？（2）問題3與問題4中函數有相同的對應關系，你認為它們是同一個函數嗎？為什么？（3）請同學們模仿問題3給出的精確描述，準確地反映實際問題．新知探究某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．②從所給的圖中確定11月24日12：00的AQI的值嗎？為什么？圖是北京市2016年11月23日空氣質量指數（AirQualityIndex，簡稱AQI）變化圖．問題4閱讀材料，回答問題：不能，因為時間不在圖象覆蓋的范圍內．問題2在初中我們已經接觸過函數的概念，知道函數是刻畫變量之間對應關系的數學模型和工具．例如，正方形的周長l與邊長x的對應關系是l＝4x．②從所給的圖中確定11月24日12：00的AQI的值嗎？為什么？某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．值域與集合B不一定相等，（1）S＝350t是函數嗎？為什么？在數集B1中都有唯一確定的路程S和它對應．構建一個問題情境，使其中的變量關系能用解析式y＝來描述．在數集B1中都有唯一確定的路程S和它對應．求①所表示的函數的定義域與值域，并用函數的定義描述．y的取值范圍是B＝{y|0＜y≤5}．（2）這個函數與正比例函數y＝4x是同一個函數嗎？答案：定義域為A＝{t|0≤t≤26}，值域為B＝{h|0≤h≤845}．某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．對于數集A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作②從所給的圖中確定11月24日12：00的AQI的值嗎？為什么？例1函數的解析式是舍棄問題的實際背景而抽象出來的，它所反映的兩個量之間的對應關系，可以廣泛地用于刻畫一類事物中的變量關系和規律．例如，正比例函數y＝kx（k≠0）可以用來刻畫勻速運動中路程與時間的關系、一定密度的物體的質量與體積的關系、圓的周長與半徑的關系等．這段時間內，列車行進的路程S（單位：h）的關系可以表示為y的取值范圍是B＝{y|0＜y≤5}．不能，因為半小時之后列車的運行狀況未知．（2）如果是，這個函數有解析式嗎？如何描述這個函數？（1）你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數d的函數嗎？表1我國某居民恩格爾系數變化情況在S＝350t的基礎上，給時間t備注上范圍．

（1）你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數d的函數嗎？解答：（1）w＝350d，w是工作天數d的函數．新知探究問題4

閱讀材料，回答問題：某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．

（2）問題3與問題4中函數有相同的對應關系，你認為它們是同一個函數嗎？為什么？解答：（2）不是同一個函數．因為在函數S＝350t中，0≤t≤0.5；在函數w＝350d中，d∈{1，2，3，4，5，6}，雖然兩個函數的對應關系相同，但是自變量的取值范圍不同．新知探究問題4

閱讀材料，回答問題：某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．其中，x的取值范圍是A＝{x|0＜x≤25}，解答：這個函數沒有解析式．從表格1可知，y的取值范圍是數集A4＝{2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，恩格爾系數r的取值范圍是數集B4＝{r|0＜r≤1}．對于數集A4中的任一個年份y，根據表1所給的對應關系，在數集B4中都有唯一確定的恩格爾系數r與之對應．S都有唯一確定的值與之對應，所以S是t的函數．（1）你認為按表1給出的對應關系，恩格爾系數r是年份y的函數嗎？為什么？問題7上述問題3~問題6中的函數有哪些共同特征？由此你能抽象出函數概念的本質特征嗎？不能，因為時間不在圖象覆蓋的范圍內．（1）本章將要研究哪類問題？（1）都包含兩個非空數集，用A，B來表示；不能，因為半小時之后列車的運行狀況未知．與初中的函數概念相比，要特別注意定義域必須符合題目要求．忽略了時間t的變化范圍．對于數集A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應．（1）l是x的函數嗎？（1）都包含兩個非空數集，用A，B來表示；解：把y＝x（10－x）看成二次函數，那么它的定義域是R，值域是B＝{y|y≤25}．對應關系f把R中的任意一個數x，對應到B中唯一的數x（10－x）．某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．y＝f（x），x∈A．函數的定義域，對應關系和值域也叫函數的三要素．（2）問題3與問題4中函數有相同的對應關系，你認為它們是同一個函數嗎？為什么？在數集B2中都有唯一確定的工資w與它對應．因此，這里的I是t的函數．（1）你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數d的函數嗎？在函數w＝350d中，d∈{1，2，3，4，5，6}，解答：（1）w＝350d，w是工作天數d的函數．對應關系f為問題中給出的圖．（1）l是x的函數嗎？表1我國某居民恩格爾系數變化情況解答：r是y的函數．因為對于2006到2015年中任一個年份y，根據表1，都有唯一確定的恩格爾系數r與之對應．

（3）請同學們模仿問題3給出的精確描述，準確地反映實際問題．解答：（3）工資w與一周工作天數d的對應關系：w＝350d．②其中，d的變化范圍是數集A2＝{1，2，3，4，5，6}，w的變化范圍是數集B2＝{350，700，1050，1400，1750，2100}．對于數集A2中的任一個工作天數d，按照對應關系②，在數集B2中都有唯一確定的工資w與它對應．新知探究問題4

閱讀材料，回答問題：某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．問題5

閱讀材料，回答問題：圖是北京市2016年11月23日空氣質量指數（AirQualityIndex，簡稱AQI）變化圖．（1）I是t的函數嗎？為什么？（2）模仿前兩個問題，用精確的集合語言和對應關系描述這個實際問題．新知探究

追問1

①通過圖形能確定唯一的I與之對應，怎么找？②從所給的圖中確定11月24日12：00的AQI的值嗎？為什么？在橫軸上，過t0作垂線交曲線與點（t0，I0），I0就是與t0不能，因為時間不在圖象覆蓋的范圍內．新知探究對應的值．

（1）I是t的函數嗎？為什么？解答：從圖中的曲線可知，t的變化范圍是數集A3＝{t|0≤t≤24}，AQI的值都在數集B3＝{I|0＜I＜150}．對于數集A3中的任一時刻t，按照圖中曲線所給的對應關系，在數集B3中都有唯一確定的AQI的值I與之對應．因此，這里的I是t的函數．新知探究問題5

閱讀材料，回答問題：圖是北京市2016年11月23日空氣質量指數（AirQualityIndex，簡稱AQI）變化圖．

問題6

閱讀材料，回答問題：國際上常用恩格爾系數r（

）反應一個地區人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高．表1是我國某省城鎮居民恩格爾系數變化情況，從中可以看出，該省城鎮居民的生活質量越來越高．表1我國某居民恩格爾系數變化情況新知探究

（1）你認為按表1給出的對應關系，恩格爾系數r是年份y的函數嗎？為什么？（2）如果是，這個函數有解析式嗎？如何描述這個函數？表1我國某居民恩格爾系數變化情況新知探究

（1）你認為按表1給出的對應關系，恩格爾系數r是年份y的函數嗎？為什么？表1我國某居民恩格爾系數變化情況新知探究解答：r是y的函數．因為對于2006到2015年中任一個年份y，根據表1，都有唯一確定的恩格爾系數r與之對應．

（2）如果是，這個函數有解析式嗎？如何描述這個函數？表1我國某居民恩格爾系數變化情況新知探究解答：這個函數沒有解析式．從表格1可知，y的取值范圍是數集A4＝{2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，恩格爾系數r的取值范圍是數集B4＝{r|0＜r≤1}．對于數集A4中的任一個年份y，根據表1所給的對應關系，在數集B4中都有唯一確定的恩格爾系數r與之對應．

問題7

上述問題3~問題6中的函數有哪些共同特征？由此你能抽象出函數概念的本質特征嗎？對于數集A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應．上述問題的共同特征有：（1）都包含兩個非空數集，用A，B來表示；（2）都有一個對應關系；（3）盡管對應關系的表示方法不同，但它們都有如下特性：新知探究

對于數集A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數的值域．函數的定義域，對應關系和值域也叫函數的三要素．新知探究函數概念

追問值域和集合B相等嗎？它們的關系是什么？值域與集合B不一定相等，值域是集合B的子集，具體例子見問題6．新知探究問題8

你能用新的定義描述一次函數y＝ax＋b（a≠0）、二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和反比例函數y＝（k≠0）嗎？從哪幾個角度描述？函數一次函數二次函數反比例函數a＞0a＜0對應關系定義域值域RRRR新知探究

例1

函數的解析式是舍棄問題的實際背景而抽象出來的，它所反映的兩個量之間的對應關系，可以廣泛地用于刻畫一類事物中的變量關系和規律．例如，正比例函數y＝kx（k≠0）可以用來刻畫勻速運動中路程與時間的關系、一定密度的物體的質量與體積的關系、圓的周長與半徑的關系等．試構建一個問題情境，使其中的變量關系可以用解析式y＝x（10－x）來描述．新知探究解：把y＝x（10－x）看成二次函數，那么它的定義域是R，值域是B＝{y|y≤25}．對應關系f把R中的任意一個數x，對應到B中唯一的數x（10－x）．其中，x的取值范圍是A＝{x|0＜x＜10}，y的取值范圍是B＝{y|0＜y≤25}．對應關系f把每一個長方形的周長x，對應到唯一確定的面積x（10－x）．如果對x的取值范圍作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}，那么可以構建如下情境：長方形的周長為20，設其一邊長為x，面積為y，那么y＝x（10－x）．新知探究

問題9

本節課我們主要學習了函數的概念，為什么要重新學習函數的概念？用“集合—對應說”下的函數概念分析一個函數要關注哪幾個要素？這些要素的特點是什么？與初中的函數概念相比，要特別注意哪個要素？初中所學的函數概念主要關注的是變量之間的依賴關系，對自變量的變化范圍缺乏約束，在應用中容易產生誤判．歸納小結采用“集合—對應說”之后，同時關注函數的定義域、對應關系和值域．其中對應關系是核心，有如下特征：對于定義域中任意實數在值域中都能找到唯一的實數與之對應．但對應關系的形式多樣，除了解析式，還可以是圖象，表格，文字語言等．

歸納小結問題9

本節課我們主要學習了函數的概念，為什么要重新學習函數的概念？用“集合—對應說”下的函數概念分析一個函數要關注哪幾個要素？這些要素的特點是什么？與初中的函數概念相比，要特別注意哪個要素？與初中的函數概念相比，要特別注意定義域必須符合題目要求．

一枚炮彈發射后，經過26s落到底面擊中目標．炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）與時間t（單位：s）的關系為：目標檢測h＝130t－5t2．

①求①所表示的函數的定義域與值域，并用函數的定義描述．答案：

定義域為A＝{t|0≤t≤26}，值域為B＝{h|0≤h≤845}．對應關系h＝130t－5t2把集合A中的任意一個數t，對應到集合B中唯一確定的數130t－5t2．1

2016年11月2日8時至次日8時（次日的時間前加0表示）北京的溫度走勢如圖所示．目標檢測（1）函數的對應關系為圖中曲線，求該函數的定義域與值域；（2）根據圖象，求這一天12時所對應的溫度．答案：（1）如果記2016年11月2日8時為0，依次下去，24時，值域為B＝{S|2≤S≤12}．（2）約9.33℃．211月3日8時為那么函數的定義域為A＝{t|0≤t≤24}，問題4閱讀材料，回答問題：例1函數的解析式是舍棄問題的實際背景而抽象出來的，它所反映的兩個量之間的對應關系，可以廣泛地用于刻畫一類事物中的變量關系和規律．例如，正比例函數y＝kx（k≠0）可以用來刻畫勻速運動中路程與時間的關系、一定密度的物體的質量與體積的關系、圓的周長與半徑的關系等．某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．不能，因為時間不在圖象覆蓋的范圍內．問題2在初中我們已經接觸過函數的概念，知道函數是刻畫變量之間對應關系的數學模型和工具．例如，正方形的周長l與邊長x的對應關系是l＝4x．在數集B3中都有唯一確定的AQI的值I與之對應．（2）如果是，這個函數有解析式嗎？如何描述這個函數？某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．問題4閱讀材料，回答問題：忽略了時間t的變化范圍．（2）這個函數與正比例函數y＝4x是同一個函數嗎？采用“集合—對應說”之后，同時關注函數的定義域、對應關系和值域．其中對應關系是核心，有如下特征：對于定義域中任意實數在值域中都能找到唯一的實數與之對應．但對應關系的形式多樣，除了解析式，還可以是圖象，表格，文字語言等．對于數集A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B