人教版八年級數學上冊全等三角形典型6類難題題型歸類

三角形三、垂線型垂線型是利用垂線的性質構造全等三角形，常見的輔助線是：一是作高，二是作垂線，三是垂線分割線段。1、如圖，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AC，BD=CE，求證：AB=AC.思路：利用垂線分割線段，構造全等三角形2、如圖，在△ABC中，AD⊥BC，E是AD上的一點，BE交AC于F，CF交AB于G，求證：AG=GF.思路：利用垂線分割線段，構造全等三角形3、如圖，在△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，交于點D，求證：AD⊥BC.思路：利用垂線的性質，構造全等三角形四、角度相等型角度相等型是利用角度相等的性質構造全等三角形，常見的輔助線是：一是構造等角三角形，二是利用角平分線，三是利用同位角。1、如圖，在△ABC中，∠B=60°，D為BC的中點，DE⊥AB，求證：∠ADE=∠ACD.思路：構造等角三角形2、如圖，在△ABC中，∠B=∠C，BE是角B的平分線，CF是角C的平分線，交于點D，求證：AD⊥BC.思路：利用角平分線的性質，構造全等三角形3、如圖，在△ABC中，D為BC的中點，∠ABD=∠ACD，求證：AB=AC.思路：利用同位角的性質，構造等角三角形五、邊角邊型邊角邊型是利用邊角邊的性質構造全等三角形，常見的輔助線是：一是利用等腰三角形，二是利用外接圓，三是利用內切圓。1、如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，E為AC的中點，連接DE，求證：∠BED=∠ABC.思路：利用等腰三角形的性質，構造全等三角形2、如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，O為△ABC的外心，連接OD，求證：∠OAD=2∠A.思路：利用外接圓的性質，構造全等三角形3、如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，I為△ABC的內心，連接ID，求證：∠AID=∠ABC/2.思路：利用內切圓的性質，構造全等三角形六、全等型全等型是利用已知的全等三角形構造新的全等三角形，常見的輔助線是：一是構造等腰三角形，二是利用對稱性，三是利用三角形的內心、垂心等特殊點。1、如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，連接AD，交AC于點E，求證：△ADE≌△ABC.思路：構造等腰三角形2、如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，E為AC的中點，連接DE，求證：△AED≌△ABC.思路：利用對稱性，構造全等三角形3、如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，O為△ABC的外心，連接OD，求證：△AOD≌△ABC.思路：利用三角形的內心、垂心等特殊點，構造全等三角形已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上的一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，證明AF=EF。證明思路：1.由題意可知，AD=DC，BE=AC，因此△ABE?△ADC（SAS）。2.由全等三角形的性質可知，∠BAE=∠CAD。3.又因為AE是AD的中線，所以∠EAD=∠CAD，∠EAB=∠BAE。4.由于∠EAB+∠EAD=90°，所以∠BAF=∠EAF。5.同理，可得∠EFA=∠BFA。6.因此，△ABF?△AEF（AAS）。7.由全等三角形的性質可知，AF=EF。已知AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC=DF，證明AC=EF。證明思路：1.由題意可知，△ABD∽△EFC，且AB=CE，因此BD=FC。2.由三角形的性質可知，△BDF?△CFE（RHS）。3.由全等三角形的性質可知，DF=FE。4.又因為△ABD∽△EFC，所以AC/EF=BD/FC=1，因此AC=EF。已知∠ABC=90°，AB=BC，BP為一條射線，AD⊥BP，CE⊥PB，若AD=4，EC=2，求DE的長。解法：1.由題意可知，△ABC是等腰直角三角形，因此AC=√2AB=2BC。2.由全等三角形的性質可知，△AED?△CEB（RHS）。3.因此，DE=CB-CE=BC-2=√2AB-2=2(√2-1)。已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的長。解法：1.由題意可知，△ABC是等腰直角三角形，因此AC=√2AB=2BC。2.由全等三角形的性質可知，△AED?△CEB（RHS）。3.因此，BE=CE-DE=AC-DE=√(AC^2-AD^2)-DE=√(2BC^2-AD^2)-DE=√(2(√2AB)^2-AD^2)-DE=√(8AB^2-AD^2)-DE=√(8(AC^2/2)-AD^2)-DE=√(4AC^2-AD^2)-DE=√(4(2BC)^2-AD^2)-DE=√(16BC^2-AD^2)-DE=√(16-2.5^2)-1.7=3.3。已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為AC上的一點，CE⊥BD于E．若BD平分∠ABC，求證CE=BD。證明思路：1.由題意可知，△ABC是等腰直角三角形，因此AC=√2AB=2BC。2.由全等三角形的性質可知，△BDE?△CDE（RHS）。3.因此，BD=CD，且∠CDE=∠BDE。4.又因為∠ABC=90°，所以∠CBD=45°，因此∠CDE=45°。5.由于CE⊥BD，所以∠CED=90°。6.因此，△CED是等腰直角三角形，所以CE=CD=BD。已知在等腰三角形ABC的底邊BC上有一點D，且它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF。同時，CM⊥AB，垂足為M。本題需要探究線段DE、DF、CM三者之間的數量關系，并給出證明。由于等邊三角形具有軸對稱性和邊角相等的性質，因此當遇到60度的角時，可以考慮構造等邊三角形來解題。例如，如圖所示，已知為等邊三角形，P、Q、R分別在邊AB、BC、CA上，且PR和QR也是等邊三角形。需要證明△APR≌△CQR。根據等邊三角形的性質，可以得到PR=QR=AR=CR，同時∠PAR=∠QCR=60°。因此，根據SAS（邊角邊）的證明方法，可以得到△APR≌△CQR。已知等邊三角形ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點P。需要求出∠APE的大小。根據等邊三角形的性質，可以得到BD=CE=BC，同時∠BCD=∠BDC=∠BAC=60°。因此，可以得到△BDC≌△BAC。又因為AD與BE相交于點P，所以可以得到∠APE=∠BPC。又因為△BDC≌△BAC，所以可以得到∠BPC=∠BAC=60°。因此，得到∠APE=∠BPC=60°。已知D是等邊三角形ABC的邊AB上的一動點，以CD為一邊向上作等邊三角形EDC，連接AE。需要找出圖中的一組全等三角形，并說明理由。由于等邊三角形的三個角均為60°，因此可以得到∠CDE=∠AED=60°。又因為CD=DE，所以可以得到△CDE≌△AED。同時，由于AE=AB+BE，而BE=CD=DE，因此可以得到AE=AD。因此，可以得到△ADE≌△AED。因此，可以得到△ADE≌△CDE。已知△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上。需要證明BE=AD。由于等邊三角形的三個角均為60°，因此可以得到∠ABC=∠DCB=60°。又因為△ABC和△ECD都是等邊三角形，所以可以得到AB=BC=CD=DE。因此，可以得到AD=AB+BD=BC+CD=DE+DE=2DE。又因為BE=BC+CE=CD+CE=DE+DE=2DE，因此可以得到BE=AD。如圖所示，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊（點E、F分別在邊AB、CD上），使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD交于點P，連接EP。已知M為AD邊的中點。需要求出△AEM的周長和證明EP=AE+DP是否發生變化。（1）由于M為AD邊的中點，因此可以得到AM=MD=2cm。又因為AE=AB+BE，而BE=CD=4cm，因此可以得到AE=AB+CD=