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人教版八年級數學上冊全等三角形典型6類難題題型歸類

三角形三、垂線型垂線型是利用垂線的性質構造全等三角形,常見的輔助線是:一是作高,二是作垂線,三是垂線分割線段。1、如圖,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AC,BD=CE,求證:AB=AC.思路:利用垂線分割線段,構造全等三角形2、如圖,在△ABC中,AD⊥BC,E是AD上的一點,BE交AC于F,CF交AB于G,求證:AG=GF.思路:利用垂線分割線段,構造全等三角形3、如圖,在△ABC中,BE⊥AC,CF⊥AB,交于點D,求證:AD⊥BC.思路:利用垂線的性質,構造全等三角形四、角度相等型角度相等型是利用角度相等的性質構造全等三角形,常見的輔助線是:一是構造等角三角形,二是利用角平分線,三是利用同位角。1、如圖,在△ABC中,∠B=60°,D為BC的中點,DE⊥AB,求證:∠ADE=∠ACD.思路:構造等角三角形2、如圖,在△ABC中,∠B=∠C,BE是角B的平分線,CF是角C的平分線,交于點D,求證:AD⊥BC.思路:利用角平分線的性質,構造全等三角形3、如圖,在△ABC中,D為BC的中點,∠ABD=∠ACD,求證:AB=AC.思路:利用同位角的性質,構造等角三角形五、邊角邊型邊角邊型是利用邊角邊的性質構造全等三角形,常見的輔助線是:一是利用等腰三角形,二是利用外接圓,三是利用內切圓。1、如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC的中點,E為AC的中點,連接DE,求證:∠BED=∠ABC.思路:利用等腰三角形的性質,構造全等三角形2、如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC的中點,O為△ABC的外心,連接OD,求證:∠OAD=2∠A.思路:利用外接圓的性質,構造全等三角形3、如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC的中點,I為△ABC的內心,連接ID,求證:∠AID=∠ABC/2.思路:利用內切圓的性質,構造全等三角形六、全等型全等型是利用已知的全等三角形構造新的全等三角形,常見的輔助線是:一是構造等腰三角形,二是利用對稱性,三是利用三角形的內心、垂心等特殊點。1、如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC的中點,連接AD,交AC于點E,求證:△ADE≌△ABC.思路:構造等腰三角形2、如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC的中點,E為AC的中點,連接DE,求證:△AED≌△ABC.思路:利用對稱性,構造全等三角形3、如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC的中點,O為△ABC的外心,連接OD,求證:△AOD≌△ABC.思路:利用三角形的內心、垂心等特殊點,構造全等三角形已知在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上的一點,且BE=AC,延長BE交AC于F,證明AF=EF。證明思路:1.由題意可知,AD=DC,BE=AC,因此△ABE?△ADC(SAS)。2.由全等三角形的性質可知,∠BAE=∠CAD。3.又因為AE是AD的中線,所以∠EAD=∠CAD,∠EAB=∠BAE。4.由于∠EAB+∠EAD=90°,所以∠BAF=∠EAF。5.同理,可得∠EFA=∠BFA。6.因此,△ABF?△AEF(AAS)。7.由全等三角形的性質可知,AF=EF。已知AB⊥BC于B,EF⊥AC于G,DF⊥BC于D,BC=DF,證明AC=EF。證明思路:1.由題意可知,△ABD∽△EFC,且AB=CE,因此BD=FC。2.由三角形的性質可知,△BDF?△CFE(RHS)。3.由全等三角形的性質可知,DF=FE。4.又因為△ABD∽△EFC,所以AC/EF=BD/FC=1,因此AC=EF。已知∠ABC=90°,AB=BC,BP為一條射線,AD⊥BP,CE⊥PB,若AD=4,EC=2,求DE的長。解法:1.由題意可知,△ABC是等腰直角三角形,因此AC=√2AB=2BC。2.由全等三角形的性質可知,△AED?△CEB(RHS)。3.因此,DE=CB-CE=BC-2=√2AB-2=2(√2-1)。已知∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的長。解法:1.由題意可知,△ABC是等腰直角三角形,因此AC=√2AB=2BC。2.由全等三角形的性質可知,△AED?△CEB(RHS)。3.因此,BE=CE-DE=AC-DE=√(AC^2-AD^2)-DE=√(2BC^2-AD^2)-DE=√(2(√2AB)^2-AD^2)-DE=√(8AB^2-AD^2)-DE=√(8(AC^2/2)-AD^2)-DE=√(4AC^2-AD^2)-DE=√(4(2BC)^2-AD^2)-DE=√(16BC^2-AD^2)-DE=√(16-2.5^2)-1.7=3.3。已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D為AC上的一點,CE⊥BD于E.若BD平分∠ABC,求證CE=BD。證明思路:1.由題意可知,△ABC是等腰直角三角形,因此AC=√2AB=2BC。2.由全等三角形的性質可知,△BDE?△CDE(RHS)。3.因此,BD=CD,且∠CDE=∠BDE。4.又因為∠ABC=90°,所以∠CBD=45°,因此∠CDE=45°。5.由于CE⊥BD,所以∠CED=90°。6.因此,△CED是等腰直角三角形,所以CE=CD=BD。已知在等腰三角形ABC的底邊BC上有一點D,且它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF。同時,CM⊥AB,垂足為M。本題需要探究線段DE、DF、CM三者之間的數量關系,并給出證明。由于等邊三角形具有軸對稱性和邊角相等的性質,因此當遇到60度的角時,可以考慮構造等邊三角形來解題。例如,如圖所示,已知為等邊三角形,P、Q、R分別在邊AB、BC、CA上,且PR和QR也是等邊三角形。需要證明△APR≌△CQR。根據等邊三角形的性質,可以得到PR=QR=AR=CR,同時∠PAR=∠QCR=60°。因此,根據SAS(邊角邊)的證明方法,可以得到△APR≌△CQR。已知等邊三角形ABC中,BD=CE,AD與BE相交于點P。需要求出∠APE的大小。根據等邊三角形的性質,可以得到BD=CE=BC,同時∠BCD=∠BDC=∠BAC=60°。因此,可以得到△BDC≌△BAC。又因為AD與BE相交于點P,所以可以得到∠APE=∠BPC。又因為△BDC≌△BAC,所以可以得到∠BPC=∠BAC=60°。因此,得到∠APE=∠BPC=60°。已知D是等邊三角形ABC的邊AB上的一動點,以CD為一邊向上作等邊三角形EDC,連接AE。需要找出圖中的一組全等三角形,并說明理由。由于等邊三角形的三個角均為60°,因此可以得到∠CDE=∠AED=60°。又因為CD=DE,所以可以得到△CDE≌△AED。同時,由于AE=AB+BE,而BE=CD=DE,因此可以得到AE=AD。因此,可以得到△ADE≌△AED。因此,可以得到△ADE≌△CDE。已知△ABC和△ECD都是等邊三角形,且點B,C,D在一條直線上。需要證明BE=AD。由于等邊三角形的三個角均為60°,因此可以得到∠ABC=∠DCB=60°。又因為△ABC和△ECD都是等邊三角形,所以可以得到AB=BC=CD=DE。因此,可以得到AD=AB+BD=BC+CD=DE+DE=2DE。又因為BE=BC+CE=CD+CE=DE+DE=2DE,因此可以得到BE=AD。如圖所示,將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點E、F分別在邊AB、CD上),使點B落在AD邊上的點M處,點C落在點N處,MN與CD交于點P,連接EP。已知M為AD邊的中點。需要求出△AEM的周長和證明EP=AE+DP是否發生變化。(1)由于M為AD邊的中點,因此可以得到AM=MD=2cm。又因為AE=AB+BE,而BE=CD=4cm,因此可以得到AE=AB+CD=

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