2021-2022學年江蘇省常州市燕山中學高二數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知動點P（x，y）滿足，則動點P的軌跡是（）A．雙曲線 B．橢圓 C．拋物線 D．線段參考答案：B【考點】橢圓的標準方程．【分析】利用橢圓的定義直接求解．【解答】解：∵動點P（x，y）滿足，∴動點P的軌跡是以（﹣3，0），（3，0）為焦點，實軸長為5的橢圓．故選：B．2.已知一組數據為且這組數的中位數是，那么數據中的眾數是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D3.某物體其運動方程為，則物體在第t=3秒時的瞬時速度是

▲

.參考答案：略4.下列命題正確的是()A．單位向量都相等B．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線C．若|a＋b|＝|a－b|，則a·b＝0D．若a與b都是單位向量，則a·b＝1參考答案：C5.計算機執行如圖的程序段后，輸出的結果是（

）

a=3b=1a=a－bb=a+bPRINTa,b

A．2,3 B．2,2 C．0,0 D．3,2參考答案：A運行程序可得，所以輸出的結果為2,3。選A。

6.一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(

)A、

B、

C、D、參考答案：C略7.巳知等比數列滿足，且，則當時，A.

B.

C.

D.參考答案：C略8.若則向量的關系是（

）A．平行

B．重合

C．垂直

D．不確定參考答案：C9.若曲線C：和直線只有一個公共點，那么的值為（

）A．0或

B.0或

C.或

D.0或或參考答案：D10.把正整數按一定的規則排成了如圖所示的三角形數表．設是位于這個三角形數表中從上往下數第行，從左往右數第個數，若，則與的和為()A．105

B．103

C．82

D．81參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數列的前n項和滿足，那么（

）A.1

B.9

C.10

D.55參考答案：A12.寫出命題“x0∈R，x＋1＜0”的否定：

.參考答案：∈R，

x2＋1≥0略13.已知復數（i為虛數單位），則_________.參考答案：1014.若定義在區間D上的函數，對于D上的任意n個值，總滿足，則稱為D上的凸函數。現已知在上是凸函數，則在銳角三角形ABC中，的最大值是___________。參考答案：【分析】利用已知結論，可將轉化為的余弦求解，再由為定值，即可求解，得到答案．【詳解】利用已知條件，可得，故答案為：．【點睛】本題主要考查了合情推理的應用，其中解答中認真審題，利用已知條件得到式子的運算規律是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．15.函數的定義域是

.參考答案：略16.A(1,-2,1），B(2,2,2），點P在z軸上，且|PA|=|PB|,則點P的坐標為

____________.參考答案：略17.某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品，數量分別為件、件、件.為了了解它們產品的質量是否存在顯著差異，用分層抽樣的方法抽取了一個容量為的樣本進行調查，其中從丙車間抽取了件，則=______.參考答案：13

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分16分）已知，.（1）當n=1,2,3時，分別比較與的大小（直接給出結論）；（2）由(1)猜想與的大小關系，并證明你的結論.參考答案：解：（1）當時，,

,

,當時，,,，當時，,,

.--------------3分(2)猜想：

,即.--4分下面用數學歸納法證明：①當n=1時，上面已證.

--------------5分②假設當n=k時，猜想成立，即則當n=k+1時，-----10分而，下面轉化為證明：只要證：，需證：，即證：，此式顯然成立.所以，當n=k+1時猜想也成立.綜上可知：對，猜想都成立，

-----15分即成立.

-----16分略19.（16分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點P(1，)和動點Q（m，n）都在離心率為的橢圓（a＞b＞0）上，其中m＜0，n＞0．（1）求橢圓的方程；（2）若直線l的方程為3mx+4ny=0，點R（點R在第一象限）為直線l與橢圓的一個交點，點T在線段OR上，且QT=2．①若m=﹣1，求點T的坐標；②求證：直線QT過定點S，并求出定點S的坐標．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）由離心率，a=2c，，點在橢圓上，代入即可求得c的值，即可求得橢圓方程；（2）①設，由|QT|=2，由兩點直線的距離公式可知：，將Q點代入橢圓方程，，代入，由m=﹣1，即可求得T點坐標；②由①可知，，利用斜率公式可知：kQT=，直線QT的方程為，即，直線QT過定點（1，0）．【解答】解：（1）由題意，橢圓（a＞b＞0）焦點在x軸上，離心率，∴a=2c，，∵點在橢圓上，∴，解得：c=1，∴，∴橢圓C的標準方程為；…（2）①設，其中0＜t＜2，∵|QT|=2，∴，即，（*）

…（7分）∵點Q（m，n）在橢圓上，∴，則，代入（*）式，得，，∴或，∵0＜t＜2，∴，…（9分）∴，由題意，m=﹣1，∴，∵n＞0，∴，則T點坐標，…（11分）②證明：由①可知，，∴直線QT的斜率，…（13分）∴直線QT的方程為，即，∴直線QT過定點S（1，0）．…（16分）【點評】本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查只有與橢圓的位置關系，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．20.設函數(為自然對數的底數)，（）．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）當時，比較與的大小，并說明理由；（Ⅲ）證明：（）．參考答案：（Ⅰ）證明：設，所以．當時，，當時，，當時，．即函數在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得唯一極小值，因為，所以對任意實數均有．即，所以．（Ⅱ）當時，．用數學歸納法證明如下：①當時，由（1）知；②假設當（）時，對任意均有，令，，因為對任意的正實數，，由歸納假設知，，即在上為增函數，亦即，因為，所以．從而對任意，有,即對任意，有，這就是說，當時，對任意，也有．由①,②知，當時，都有．（Ⅲ）證明1：先證對任意正整數，．由（Ⅱ）知，當時，對任意正整數，都有．令，得．所以．再證對任意正整數，．要證明上式，只需證明對任意正整數，不等式成立．即要證明對任意正整數，不等式（*）成立．方法1（數學歸納法）：①當時，成立，所以不等式（*）成立．②假設當（）時，不等式（*）成立，即．則．

,這說明當時，不等式（*）也成立．由①，②知，對任意正整數，不等式（*）都成立．綜上可知，對，不等式成立．方法2（基本不等式法）：因為，，……，，將以上個不等式相乘，得．所以對任意正整數，不等式（*）都成立．綜上可知，對，不等式成立．21.雙曲線與橢圓有共同的焦點，點是雙曲線的漸近線與橢圓的一個交點，求漸近線與橢圓的方程。參考答案：解析：由共同的焦點，可設橢圓方程為；雙曲線方程為，點在橢圓上，雙曲線的過點的漸近線為，即所以橢圓方程為；雙曲線方程為22.（12分）我們已經學過了等差數列，你是否想到過有沒有等和數列呢？（1）類比“等差數列”給出“等和數列”的定義；（2）探索等和數列{an}的奇數項與偶數項各有什么特點？并加以說明．參考答