3.3.1拋物線及其標準方程激趣誘思知識點撥我們把一根直尺固定在圖板上直線l的位置,把一塊三角尺的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣,再把一條細繩的一端固定在三角尺的另一條直角邊的一點A,取繩長等于點A到直角頂點C的長(即點A到直線l的距離),并且把繩子的另一端固定在圖板上的一點F.用鉛筆尖扣著繩子,使點A到筆尖的一段繩子緊靠著三角尺,然后將三角尺沿著直尺上下滑動,筆尖就在圖板上描出了一條曲線.這就是本節我們要學習的拋物線,這條曲線上的點有什么特征?激趣誘思知識點撥一、拋物線的定義1.我們把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線.2.數學表達式:拋物線是點的集合P={M||MF|=d}.名師點析1.拋物線的定義實質可以歸結為“一動二定一相等”:“一動”即一個動點,設為M;“二定”包括一個定點F,即拋物線的焦點,和一條定直線l,即拋物線的準線;一相等,即|MF|=d(d為M到準線l的距離).2.定義中,要注意強調定點F不在定直線l上.當直線l經過點F時,點的軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線.激趣誘思知識點撥微練習1若動點P到點(3,0)的距離和它到直線x=-3的距離相等,則動點P的軌跡是(

)

A.橢圓 B.拋物線 C.直線 D.雙曲線解析:由拋物線定義知,動點軌跡為拋物線.答案:B微練習2平面內到點A(2,3)和直線l:x+2y-8=0距離相等的點的軌跡是(

)A.直線 B.拋物線 C.橢圓 D.圓解析:A∈l,軌跡為過A且與l垂直的一條直線.答案:A3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)激趣誘思知識點撥二、拋物線的標準方程

3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)激趣誘思知識點撥3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)激趣誘思知識點撥名師點撥1.要注意弄清拋物線四種形式的標準方程的特征及其對應拋物線的形狀(焦點位置、開口方向等).拋物線的標準方程中,有一個一次項和一個二次項,二次項的系數為1,一次項的系數為±2p;若一次項的字母是x,則焦點就在x軸上,若其系數是正的,則焦點就在x軸的正半軸上(開口向右),若系數是負的,焦點就在x軸的負半軸上(開口向左);若一次項的字母是y,則焦點就在y軸上,若其系數是正的,則焦點就在y軸的正半軸上(開口向上),若系數是負的,焦點就在y軸的負半軸上(開口向下).2.拋物線標準方程中參數p的幾何意義:拋物線的焦點到準線的距離,所以p的值永遠大于0,當拋物線標準方程中一次項的系數為負值時,不要出現p<0的錯誤.3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)激趣誘思知識點撥3.焦點的非零坐標是一次項系數的

.4.準線與坐標軸的交點和拋物線的焦點關于原點對稱.3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)激趣誘思知識點撥微判斷判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.(1)平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.(

)(2)拋物線實質上就是雙曲線的一支.(

)(3)若拋物線的方程為y2=-4x,則其中的焦參數p=-2.(

)(4)拋物線y=6x2的焦點在x軸的正半軸.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)×3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)激趣誘思知識點撥微練習(1)拋物線x2=y的開口向

,焦點坐標為

,準線方程是

.

(2)若拋物線的準線方程是x=5,則其標準方程為

,焦點坐標為

.

3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測根據拋物線方程求焦點坐標以及準線方程例1求下列各條拋物線的焦點坐標和準線方程:(1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0;(3)x=32y2;(4)y2=ax(a≠0).思路分析:先將所給方程轉化為標準方程的形式,確定其開口方向,求出p的值,再寫出焦點坐標和準線方程.3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測反思感悟由拋物線方程求焦點與準線方程的基本方法已知拋物線方程求焦點坐標和準線方程時,一般先將所給方程化為標準形式,由標準方程得到參數p,從而得焦點坐標和準線方程,要注意p>0,焦點所在坐標軸由標準方程的一次項確定,系數為正,焦點在正半軸;系數為負,焦點在負半軸.3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測答案:(1)C

(2)D3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測求拋物線的標準方程例2根據下列條件分別求出拋物線的標準方程:(1)準線方程為y=;(2)焦點在y軸上,焦點到準線的距離為5;(3)經過點(-3,-1);(4)焦點為直線3x-4y-12=0與坐標軸的交點.思路分析:(1)(2)由題意可確定方程形式→求出p→寫出拋物線的標準方程(3)設出拋物線的標準方程→代入點的坐標求參數→寫出拋物線

的標準方程(4)寫出焦點坐標→分情況討論焦點的位置→寫出拋物線的標準方程探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測(2)已知拋物線的焦點在y軸上,可設方程為x2=2my(m≠0),由焦點到準線的距離為5,知|m|=5,m=±5,所以滿足條件的拋物線有兩條,它們的標準方程分別為x2=10y和x2=-10y.(3)∵點(-3,-1)在第三象限,∴設所求拋物線的標準方程為y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測(4)對于直線方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,∴拋物線的焦點為(0,-3)或(4,0).∴所求拋物線的標準方程為x2=-12y或y2=16x.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測反思感悟1.用待定系數法求拋物線標準方程的步驟

2.求拋物線的標準方程時需注意的三個問題(1)把握開口方向與方程間的對應關系.(2)當拋物線的類型沒有確定時,可設方程為y2=mx或x2=ny,這樣可以減少討論情況的個數.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測延伸探究將本例(4)改為焦點為圓x2+y2=4與坐標軸的交點,拋物線方程為什么?探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測變式訓練2根據下列條件確定拋物線的標準方程.(1)關于y軸對稱且過點(-1,-3);(2)過點(4,-8);(3)焦點在x-2y-4=0上.解:(1)(方法1)設所求拋物線方程為x2=-2py(p>0),將點(-1,-3)代入方程,探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測(2)(方法1)設所求拋物線方程為y2=2px(p>0)或x2=-2p'y(p'>0),將點(4,-8)代入y2=2px,得p=8;將點(4,-8)代入x2=-2p'y,得p'=1.所以所求拋物線方程為y2=16x或x2=-2y.(方法2)當焦點在x軸上時,設拋物線的方程為y2=nx(n≠0),又拋物線過點(4,-8),所以64=4n,即n=16,拋物線的方程為y2=16x;當焦點在y軸上時,設拋物線的方程為x2=my(m≠0),又拋物線過點(4,-8),所以16=-8m,即m=-2,拋物線的方程為x2=-2y.綜上,拋物線的標準方程為y2=16x或x2=-2y.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測利用拋物線的定義解決軌跡問題

A.橢圓 B.雙曲線 C.直線 D.拋物線

答案:D探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測反思感悟定義法解決軌跡問題根據動點坐標滿足的方程判斷其軌跡時,要注意結合兩點間的距離公式以及點到直線的距離公式,對所給方程進行適當變形,分析其幾何意義,然后結合有關曲線的定義作出判定.3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測變式訓練3一個動圓經過點A(2,0),并且和直線l:x=-2相切,則動圓圓心M的軌跡方程是

.

解析:設動圓的半徑為R.因為動圓經過點A(2,0),所以|MA|=R.又因為動圓和直線l:x=-2相切,所以圓心M到直線l:x=-2的距離d=R,即圓心M到定點A的距離與到定直線l的距離相等,故其軌跡是拋物線,且A是焦點,l是準線,并且有

=2,所以p=4,故動圓圓心M的軌跡方程是y2=8x.答案:y2=8x3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測拋物線的實際應用例4一輛卡車高3m,寬1.6m,欲通過斷面為拋物線形的隧道,已知拱口寬恰好是拱高的4倍,若拱口寬為am,求使卡車通過的a的最小整數值.思路分析:建立適當的坐標系,通過確定點的坐標確定出拋物線的方程,把卡車的寬度坐標化,利用拋物線解決問題.3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測反思感悟求解拋物線的實際應用問題的基本步驟(1)建:建立適當的坐標系.(2)設:設出合適的拋物線標準方程.(3)算:通過計算求出拋物線標準方程.(4)求:求出所要求出的量.(5)還:還原到實際問題中,從而解決實際問題.3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測變式訓練4如圖是拋物線形拱橋,當水面在l處時,拱頂離水面2米,水面寬4米.水位下降1米后,水面寬為

米.

3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測解析:建立如圖所示的平面直角坐標系,設拋物線方程為x2=my,將A(2,-2)代入x2=my,得m=-2.3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測與拋物線定義有關的最值問題典例設P為拋物線y2=4x上的一個動點.(1)求點P到點A(-1,1)的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.思路分析:本題主要考查與拋物線有關的最值問題,利用數形結合的思想尋求解題思路.3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測解:(1)拋物線的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1.因為點P到準線x=-1的距離等于點P到F(1,0)的距離,所以問題轉化為在拋物線上求一點P,使點P到A(-1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小.連接AF,如圖①所示.3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測(2)同理,|PF|與點P到準線x=-1的距離相等.如圖②所示,過點B作BQ垂直于準線交準線于點Q,交拋物線于點P1.由題意知|P1Q|=|P1F|,所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.所以|PB|+|PF|的最小值為4.3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測方法總結求圓錐曲線上到兩定點的距離之和最小的點的位置時,通常有兩種情況:(1)當兩定點在曲線兩側時,連接兩定點的線段與曲線的交點即為所求點;(2)當兩定點在曲線同側時,由圓錐曲線定義作線段的等量轉換,轉換為(1)的情形即可.3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)3.3.1拋物線及其標準方程-人教A版（2019）高中數學選修第一冊課件(共41張PPT)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測變式訓練已知拋物線y2=4x上一點P到準線的距離為d1,到直線l:4x-3y+11=0的距離為d2,則d1+d2的最小值為

.

解析:拋物線上的點P到準線的距離等于到焦點F的距離,所以過焦點F作直線4x-3y+11=0的垂線,則F到直線的距離為答案:3探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測1.若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10,則點M