2019吉林省長(zhǎng)春市初中學(xué)業(yè)水平考試試卷數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把最后結(jié)果填在題后括號(hào)內(nèi)．1．（2019吉林長(zhǎng)春，1，3分）如圖，數(shù)軸上表示-2的點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是A.-2B.2C.D.（第1題）【答案】B.【解析】解：數(shù)軸上表示-2的點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是2，

故選B．【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸2.（2019吉林長(zhǎng)春，2，3分）2019年春運(yùn)前四日，全國(guó)鐵路、道路水路、民航共累計(jì)發(fā)送旅客月275000000人次，275000000這個(gè)數(shù)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為×10×10×10×10【答案】C.【解析】×108，

故選C．【知識(shí)點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)3.（2019吉林長(zhǎng)春，3，3分）右圖是由4個(gè)相同的小正方體組成的立體圖形，這個(gè)立體圖形的主視圖是【答案】A.【解析】解：從正面看易得第一層有2個(gè)正方形，第二層最右邊有一個(gè)正方形，

故選A．【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖．網(wǎng)版權(quán)所有4.（2019吉林長(zhǎng)春，4，3分）不等式-x+2≥0的解集為A.x≥-2B.x≤-2C.x≥2D.x≤2【答案】D【解析】解：-x+2≥0，

移項(xiàng)得：-x≥-2，

系數(shù)化為1，得x≤2∴不等式的解集為：x≤2，

故選D．【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次不等式．5．（2019吉林長(zhǎng)春，5，3分）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買(mǎi)雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六.問(wèn)人數(shù)雞價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙買(mǎi)雞，每人出九錢(qián)，會(huì)多出11錢(qián)；每人出6錢(qián)，又差16錢(qián).問(wèn)人數(shù)、買(mǎi)雞的錢(qián)數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，買(mǎi)雞的錢(qián)數(shù)為y，可列方程組為A.B.C.D.【答案】D.【解析】解：設(shè)人數(shù)為x，買(mǎi)雞的錢(qián)數(shù)為y，可列方程組為：，

故選D．【知識(shí)點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組．6．（2019吉林長(zhǎng)春，6，3分）α，則梯子頂端到地面的距離C為αα米C.米D.米【答案】A.【思路分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sinα=，進(jìn)而得出答案．【解答過(guò)程】解：由題意可得：sinα=，故BC=3sinα（m）．

故選：A．【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用7.（2019吉林長(zhǎng)春，7，3分）如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角。用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點(diǎn)D.使∠ADC=2∠B，則符合要求的作圖痕跡是【答案】B【思路分析】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，根據(jù)∠ADC=2∠B可得∠B=∠BCD，進(jìn)而得出點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上，據(jù)此可得答案．【解答過(guò)程】解：∵∠ADC=2∠B，且∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠B=∠BCD，∴點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上，

故選B．【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；作圖—復(fù)雜作圖．8.（2019吉林長(zhǎng)春，8，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（0，3）、（3、0）?！螦CB=90°，AC=2BC，則函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則的值為A.B.9C.D.【答案】D.【思路分析】本題主要考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等腰直角三角形的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，首先根A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)得出OA，OC的長(zhǎng)以及∠ACO的度數(shù)，進(jìn)而得出BC的長(zhǎng)和∠BCD的度數(shù)，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出k的值.【解答過(guò)程】解：過(guò)B作BD⊥x軸，垂足為D.∵A，C的坐標(biāo)分別為（0，3），（3，0），∴OA=OC=3，∠ACO=45°，∴AC=3.∵AC=2BC，∴BC=.∵∠ACB=90°，∴∠BCD=45°，∴BD=CD=，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）.∵函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∴k=×=，故選D.【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；等腰直角三角形的性質(zhì).二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分．9．（2019吉林長(zhǎng)春，9，3分）計(jì)算：.【答案】.【解析】解：，故答案為.【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的減法.10.（2019吉林長(zhǎng)春，10，3分）分解因式：ab+2b=.【答案】b(a+2)．【解析】解：ab+2b=b(a+2)．

故答案為b(a+2)．【知識(shí)點(diǎn)】因式分解.11.（2019吉林長(zhǎng)春，11，3分）一元二次方程x2-3x+1=0根的判別式的值為.【答案】5．【解析】解：∵a=1，b=-3，c=1，

∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5，

故答案為5．【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式.12.（2019吉林長(zhǎng)春，12，3分）如圖，直線(xiàn)MN//PQ，點(diǎn)A、B分別在MN、PQ上，∠MAB=33°.過(guò)線(xiàn)段上的點(diǎn)C作CD⊥AB交PQ于點(diǎn)D，則∠CDB的大小為度【答案】57．【思路分析】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，直接利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠ABD的度數(shù)，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出答案．【解題過(guò)程】解：∵直線(xiàn)MN∥PQ，

∴∠MAB=∠ABD=33°，

∵CD⊥AB，

∴∠BCD=90°，

∴∠CDB=90°-33°=57°．

故答案為57．【知識(shí)點(diǎn)】平行線(xiàn)的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理.13.（2019吉林長(zhǎng)春，13，3分）如圖，有一張矩形紙片ABCD，AB=8，AD=6，先將矩形紙片ABCD折疊，使邊AD落在邊AB上，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，折痕為AF；再將△AEF沿EF翻折，AF與BC相交于點(diǎn)G，則△GCF的周長(zhǎng)為【答案】4+2【思路分析】本題主要考查翻折變換以及等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得CE=2，∠A=∠AFC=45°，進(jìn)而得出FG的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案.【解題過(guò)程】解：由折疊的性質(zhì)可知∠A=45°，AD=DF，∴FC=2，∠AFC=45°，∴CG=2，∴FG=2，∴△GCF的周長(zhǎng)為4+2.故答案為4+2.【知識(shí)點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；等腰直角三角形的性質(zhì).14.（2019吉林長(zhǎng)春，14，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax2-2ax+(a＞0)與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，P為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，若直線(xiàn)OP交直線(xiàn)AM于點(diǎn)B，且M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則ɑ的值為【答案】2.【思路分析】本題主要考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，首先根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得出點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后將二次函數(shù)的解析式配方寫(xiě)出y=a(x-1)2+-a的形式，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出OP的方程，進(jìn)而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后根據(jù)M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，可得=4，進(jìn)而得出答案.【解題過(guò)程】解：令x=0，可得y=，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，）.∵y=ax2-2ax+=a(x-1)2+-a，∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-a），∴直線(xiàn)OP的方程為y=(-a)x，令y=，可得x=，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）.∵M(jìn)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴=4，解得a=2，故答案為2.【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；中點(diǎn)坐標(biāo)公式.三、解答題（本大題共10小題，滿(mǎn)分78分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15．（2019吉林長(zhǎng)春，15，6分）先化簡(jiǎn)，再求值：(2a+1)2-4a(a-1)，其中【思路分析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，直接利用完全平方公式以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式分別化簡(jiǎn)得出答案．【解題過(guò)程】解：原式=4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1，

當(dāng)時(shí)，原式=8a+1=2．【知識(shí)點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值．16.（2019吉林長(zhǎng)春，16，6分）一個(gè)不透明的口袋中有三個(gè)小球，每個(gè)小球上只標(biāo)有一個(gè)漢字，分別是“家”、“家”“樂(lè)”，除漢字外其余均相同。小新同學(xué)從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下漢字后放回并攪勻；再?gòu)目诖须S機(jī)摸出一個(gè)小球記下漢字，用畫(huà)樹(shù)狀圖（或列表的）方法，求小新同學(xué)兩次摸出小球上的漢字相同的概率.【思路分析】本題主要考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率，畫(huà)出樹(shù)狀圖，共有9個(gè)等可能的結(jié)果，小新同學(xué)兩次摸出小球上的漢字相同的結(jié)果有5個(gè)，由概率公式即可得出結(jié)果．【解題過(guò)程】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：

共有9個(gè)等可能的結(jié)果，小新同學(xué)兩次摸出小球上的漢字相同的結(jié)果有5個(gè)，

∴小新同學(xué)兩次摸出小球上的漢字相同的概率為．【知識(shí)點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法求概率．17.（2019吉林長(zhǎng)春，17，6分）為建國(guó)70周年獻(xiàn)禮，某燈具廠(chǎng)計(jì)劃加工9000套彩燈，為盡快完成任務(wù)，實(shí)際每天加工彩燈的數(shù)量是原計(jì)劃的1.2倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)。求該燈具廠(chǎng)原計(jì)劃每天加工這種彩燈的數(shù)量.【思路分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及分式方程的解法，該燈具廠(chǎng)原計(jì)劃每天加工這種彩燈的數(shù)量為x套，由題意列出方程：，解方程即可．【解題過(guò)程】解：該燈具廠(chǎng)原計(jì)劃每天加工這種彩燈的數(shù)量為xx套，

由題意得：，

解得：x=300，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=300是原方程的解，且符合題意；

答：該燈具廠(chǎng)原計(jì)劃每天加工這種彩燈的數(shù)量為300套．【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用．18.（2019吉林長(zhǎng)春，18，7分）如圖，四邊形ABCD是正方形，以邊AB為直徑作⊙O，點(diǎn)E在BC邊上，連結(jié)AE交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)BF并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)G求證：△ABE≌△BCG.若∠AEB=55°，OA=3，求的長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)）【思路分析】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓周角定理，（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，AB為⊙O的直徑，得到∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠EBF=∠BAF，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）連接OF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAE=90°-55°=35°，根據(jù)圓周角定理得到∠BOF=2∠BAE=70°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．【解題過(guò)程】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AB為⊙O的直徑，

∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，

∴∠BAF+∠ABF=90°，∠ABF+∠EBF=90°，

∴∠EBF=∠BAF，

在△ABE與△BCG中，，

∴△ABE≌△BCG（ASA）；

（2）解：連接OF，

∵∠ABE=∠AFB=90°，∠AEB=55°，

∴∠BAE=90°-55°=35°，

∴∠BOF=2∠BAE=70°，

∵OA=3，

∴的長(zhǎng)==．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；圓周角定理；弧長(zhǎng)的計(jì)算．19．（2019吉林長(zhǎng)春，19，7分）網(wǎng)上學(xué)習(xí)越來(lái)越受到學(xué)生的喜愛(ài).某校信息小組為了解七年級(jí)學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況，從該校七年級(jí)隨機(jī)抽取20名學(xué)生，進(jìn)行了每周網(wǎng)上學(xué)習(xí)的調(diào)查.數(shù)據(jù)如下（單位：時(shí)）：整理上面的數(shù)據(jù)，得到表格如下：網(wǎng)上學(xué)習(xí)時(shí)間x（時(shí)）0＜x≤11＜x≤22＜x≤33＜x≤4人數(shù)2585樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：統(tǒng)計(jì)量平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)數(shù)值mn根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：上表中的中位數(shù)m的值為，眾數(shù)的值為用樣本中的平均數(shù)估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生平均每人一學(xué)期（按18周計(jì)算）網(wǎng)上學(xué)習(xí)的時(shí)間。（3）已知該校七年級(jí)學(xué)生有200名，估計(jì)每周網(wǎng)上學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)2小時(shí)的學(xué)生人數(shù)【思路分析】本題主要考查數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)和分析的知識(shí)，（1）把20個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，即可求出中位數(shù)；出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)即為眾數(shù)；

（2）由平均數(shù)乘以18即可；

（3）用總?cè)藬?shù)乘以每周網(wǎng)上學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)2小時(shí)的學(xué)生人數(shù)所占的比例即可．【解題過(guò)程】解：（1）從小到大排列為：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，

∴中位數(shù)m的值為=2.5，眾數(shù)為2.5；

故答案為：2.5，2.5；

×18=43.2（小時(shí)），

答：估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生平均每人一學(xué)期（按18周計(jì)算）網(wǎng)上學(xué)習(xí)的時(shí)間為43.2小時(shí)．

（3）200×=130（人），

答：該校七年級(jí)學(xué)生有200名，估計(jì)每周網(wǎng)上學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)2小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為130人．【知識(shí)點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體；頻數(shù)（率）分布表；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．20.（2019吉林長(zhǎng)春，20，7分）圖①、圖②、圖③處均是6×①、圖②、圖③中，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖，所畫(huà)圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，不要求寫(xiě)出畫(huà)法.在圖①中以線(xiàn)段AB為邊畫(huà)一個(gè)△ABM，使其面積為6.在圖②中以線(xiàn)段CD為邊畫(huà)一個(gè)△CDN，使其面積為6.（3）在圖③中以線(xiàn)段EF為邊畫(huà)一個(gè)四邊形EFGH，使其面積為9，且∠EFG=90°.【思路分析】本題主要考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，（1）根據(jù)AB的位置可作直角△ABM；（2）根據(jù)CD的位置可作出△CDN；（3）根據(jù)EF的位置可作出四邊形EFGH.【解題過(guò)程】解：（1）如圖所示：（2）如圖所示：（3）如圖所示：【知識(shí)點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖.21.（2019吉林長(zhǎng)春，21，8分）已知A、B兩地之間有一條270千米的公路，甲、乙兩車(chē)同時(shí)出發(fā)，甲車(chē)以每小時(shí)60千米/時(shí)的速度沿此公路從A地勻速開(kāi)往B地，乙車(chē)從B地沿此公路勻速開(kāi)往A地，兩車(chē)分別到達(dá)目的地后停止.甲、乙兩車(chē)相距的路程y（千米）與甲車(chē)的行駛時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.乙車(chē)的速度為千米/時(shí)，a=，b=；求甲、乙兩車(chē)相遇后y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)甲車(chē)到達(dá)距B地70千米處時(shí)，求甲、乙兩車(chē)之間的路程.【思路分析】本題主要考查函數(shù)圖象以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.（1）根據(jù)圖象可得出甲乙兩車(chē)在甲車(chē)行駛2小時(shí)相遇，可設(shè)乙車(chē)的速度為v，得出方程2×60+2v=270即可得出乙車(chē)的速度，根據(jù)甲乙兩車(chē)的速度即可求出a和b的值；（2）根據(jù)（1）可得出A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出當(dāng)2＜x≤3.6時(shí)和當(dāng)3.6＜x≤4.5時(shí)的解析式；（3）根據(jù)甲車(chē)的速度可得甲車(chē)到達(dá)距B地70千米時(shí)行駛的時(shí)間，進(jìn)而得出甲、乙兩車(chē)之間的路程.【解題過(guò)程】解：（1）答案：75；3.6；4.5.設(shè)乙車(chē)的速度為v，根據(jù)圖象可得甲乙兩車(chē)在甲車(chē)行駛2小時(shí)相遇，可得2×60+2v=270，解得v=75，所以乙車(chē)的速度為75千米/時(shí)，∴a=小時(shí)，b=小時(shí)，∴答案為75；3.6；4.5.（2）如圖，根據(jù)（1）可得A（2，0），B（3.6，216），C（4.5，270）.設(shè)當(dāng)2＜x≤y=k1x+b1，則，解得，∴當(dāng)2＜x≤3.6時(shí)，y=135x-270，設(shè)當(dāng)3.6＜x≤y=k2x+b2，則，解得，當(dāng)2＜x≤3.6時(shí)，y=60x.（3）∵甲車(chē)的速度為60千米/時(shí)，∴當(dāng)甲車(chē)到達(dá)距B地70千米時(shí)行駛的時(shí)間為小時(shí)，∴此時(shí)甲、乙兩車(chē)之間的路程為（60+75）×（-2）=180千米.【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖象；待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.22.（2019吉林長(zhǎng)春，22，9分）教材呈現(xiàn)：下圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第78頁(yè)的部分內(nèi)容.請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程.結(jié)論應(yīng)用：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，E為邊BC的中點(diǎn)，AE、BD交于點(diǎn)F.如圖②，若平行四邊形ABCD為正方形，且AB=6，則OF的長(zhǎng)為如圖③，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)G，若四邊形OFEG的面積為，則平行四邊形ABCD的面積為【思路分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)可得△DEG∽△ACG，進(jìn)而得出，進(jìn)而證明出結(jié)論；（1）首先根據(jù)四邊形ABCD是正方形可得△BEF∽△DAF，進(jìn)而得出，進(jìn)而得出，然后根據(jù)OF=BD-BD即可得出答案；（2）連接OE，根據(jù)（1）可得BF=BD，OF=BD，進(jìn)而得出=2，然后根據(jù)△BEF和△OEF的高相同可得和，進(jìn)而求出S△BOC的面積，進(jìn)而得出答案.【解題過(guò)程】證明：∵D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，∴DE∥AC，DE=AC，∴△DEG∽△ACG，∴，∴，∴.（1）答案：.∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，OB=BD，∴△BEF∽△DAF.∵E為邊BC的中點(diǎn)，∴，∴，∴OF=BD-BD=BD.∵AB=6，∴BD=6，∴OF=.故答案為.（2）答案：6.連接OE.由（1）可知BF=BD，OF=BD，∴=2.∵△BEF和△OEF的高相同，∴,同理可得，∴，∴，∴.【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).23.（2019吉林長(zhǎng)春，23，10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線(xiàn)CB運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AB于點(diǎn)N，連結(jié)PQ，以PN、PQ為鄰邊作PQMN，設(shè)PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.①AB的長(zhǎng)為②PN的長(zhǎng)用含t的代數(shù)式表示為當(dāng)PQMN為矩形時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P且平行于BC的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)PQMN一邊中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出t的值.【思路分析】本題主要考查勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，（1）根據(jù)勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)PN⊥AB可得△APN∽△ABC，進(jìn)而得出PN=，進(jìn)而得出答案；（2）當(dāng)PQMN為矩形時(shí)，PQ⊥PN可得△CPQ∽△CAB，進(jìn)而得出，求出t；（3）當(dāng)0＜t≤時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AB，垂足為D，可得△QDB∽△ACB，進(jìn)而得出ND的長(zhǎng)，進(jìn)而求出S；當(dāng)＜t≤3時(shí)，設(shè)QM與AB的交點(diǎn)為D，可得△QDB∽△ACB，進(jìn)而得出ND的長(zhǎng)，進(jìn)而求出S；（4）當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)MN的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P且平行于BC的直線(xiàn)交MN于D點(diǎn)，與AB交點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥PD，垂足為E，可得△DEN∽QCP，進(jìn)而得出，根據(jù)PD∥BC可得PF，NF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出NE，再根據(jù)D是MN的中點(diǎn)可得，解出t；當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)QM的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P且平行于BC的直線(xiàn)交QM于D點(diǎn)，與AB交點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥PD，垂足為E，可得△NPF∽△EDQ，進(jìn)而得出，根據(jù)PD∥BC可求出PF，NF的長(zhǎng)，根據(jù)D為QM的中點(diǎn)可得，解出t即可.【解題過(guò)程】解：（1）答案：25；3t.①∵AC=20，BC=15，∠C=90°，∴AB=;②∵PN⊥AB，∴∠PNA=90°，∴△APN∽△ABC，∴，∴PN==3t.故答案為25；3t.（2）當(dāng)PQMN為矩形時(shí)，PQ⊥PN.∵PN⊥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴，∴，解得t=.（3）當(dāng)0＜t≤時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AB，垂足為D.∵∠C=90°，∴△QDB∽△ACB，∴，∴DB=，由（1）知AN=4t，∴ND=25-(9-3t)-4t=16-t，∴S=(16-t)·3t=-3t2+48t；當(dāng)＜t≤3時(shí)