第09講直線的方程【題型歸納目錄】題型一：點斜式直線方程題型二：斜截式直線方程題型三：兩點式直線方程題型四：截距式直線方程題型五：中點坐標公式題型六：直線的一般式方程題型七：直線方程的綜合應用題型八：判斷動直線所過定點題型九：直線與坐標軸形成三角形問題題型十：直線方程的實際應用【知識點梳理】知識點一：直線的點斜式方程方程由直線上一定點及其斜率決定，我們把叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式．知識點詮釋：1、點斜式方程是由直線上一點和斜率確定的，點斜式的前提是直線的斜率存在．點斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2、當直線的傾斜角為時，直線方程為；3、當直線傾斜角為時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示．這時直線方程為：．4、表示直線去掉一個點；表示一條直線．知識點二：直線的斜截式方程如果直線的斜率為，且與軸的交點為，根據直線的點斜式方程可得，即．我們把直線與軸的交點的縱坐標叫做直線在軸上的截距，方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．知識點詮釋：1、b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實數，即可以為正數、零、負數；距離必須大于或等于零；2、斜截式方程可由過點的點斜式方程得到；3、當時，斜截式方程就是一次函數的表示形式．4、斜截式的前提是直線的斜率存在．斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線．5、斜截式是點斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距．知識點三：直線的兩點式方程經過兩點（其中）的直線方程為，稱這個方程為直線的兩點式方程，簡稱兩點式．知識點詮釋：1、這個方程由直線上兩點確定；2、當直線沒有斜率（）或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程．3、直線方程的表示與選擇的順序無關．4、在應用兩點式求直線方程時，往往把分式形式通過交叉相乘轉化為整式形式，從而得到的方程中，包含了或的情況，但此轉化過程不是一個等價的轉化過程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設兩點式的整式形式．知識點四：直線的截距式方程若直線與軸的交點為，與y軸的交點為，其中，則過AB兩點的直線方程為，這個方程稱為直線的截距式方程．a叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距．知識點詮釋：1、截距式的條件是，即截距式方程不能表示過原點的直線以及不能表示與坐標軸平行的直線．2、求直線在坐標軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y=0得直線在x軸上的截距．知識點五：直線方程幾種表達方式的選取在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因為斜截式只需要兩個獨立變數，而點斜式需要三個獨立變數．在求直線方程時，要根據給出的條件采用適當的形式．一般地，已知一點的坐標，求過這點的直線，通常采用點斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點選擇截距式或兩點式．從結論上看，若求直線與坐標軸所圍成的三角形的面積或周長，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．知識點六：直線方程的一般式關于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為，這個方程（其中A、B不全為零）叫做直線方程的一般式．知識點詮釋：1、A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線．當時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線．當，時，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2、在平面直角坐標系中，一個關于、的二元一次方程對應著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應著無數個關于、的一次方程．知識點七：直線方程的不同形式間的關系名稱方程的形式常數的幾何意義適用范圍點斜式是直線上一定點，是斜率不垂直于軸斜截式是斜率，是直線在y軸上的截距不垂直于軸兩點式，是直線上兩定點不垂直于軸和軸截距式是直線在x軸上的非零截距，是直線在y軸上的非零截距不垂直于軸和軸，且不過原點一般式、、為系數任何位置的直線直線方程的五種形式的比較如下表：知識點詮釋：在直線方程的各種形式中，點斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點式是點斜式的特例，其限制條件更多，應用時若采用的形式，即可消除局限性．截距式是兩點式的特例，在使用截距式時，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式?；癁樾苯厥脚c截距式．若一般式化為點斜式，兩點式，由于取點不同，得到的方程也不同．知識點八：直線方程的綜合應用1、已知所求曲線是直線時，用待定系數法求．2、據題目所給條件，選擇適當的直線方程的形式，求出直線方程．對于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同．（1）從斜截式考慮已知直線，，；于是與直線平行的直線可以設為；垂直的直線可以設為．（2）從一般式考慮：且或，記憶式（）與重合，，，于是與直線平行的直線可以設為；垂直的直線可以設為．【典例例題】題型一：點斜式直線方程例1．（2023·高二課時練習）已知直線的方程是，則（）A．直線經過點，斜率為-1 B．直線經過點，斜率為-1C．直線經過點，斜率為-1 D．直線經過點，斜率為1例2．（2023·高二?？颊n時練習）過兩點的直線方程為()A． B．C． D．例3．（2023·安徽池州·高二池州市第一中學校聯考階段練習）過點且傾斜角為150°的直線l的方程為（

）A． B．C． D．例4．（2023·河南南陽·高二統考期末）過點且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．例5．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）過點，傾斜角為的直線方程為（

）A． B．C． D．題型二：斜截式直線方程例6．（2023·高二課前預習）寫出下列直線的斜截式方程：(1)斜率是，在軸上的截距是；(2)傾斜角為，在軸上的截距是；(3)傾斜角為，在軸上的截距是．例7．（2023·高二課時練習）根據條件寫出下列直線的斜截式方程：（1）傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；（2）傾斜角為60°，與y軸的交點到坐標原點的距離為3．例8．（2023·高二課時練習）寫出下列直線的斜截式方程.（1）斜率是，在y軸上的截距是；（2）斜率是，在y軸上的截距是4．題型三：兩點式直線方程例9．（2023·高二課時練習）已知直線分別經過下面兩點，用兩點式方程求直線的方程：(1)A(3,1),B(2,－3)；(2)A(2,1),B(0,－3)；(3)A(0,5),B(4,0).例10．（2023·高二課時練習）在中，已知點，，．求邊上中線所在直線的兩點式方程．例11．（2023·江蘇·高二專題練習）求經過下列兩點的直線的兩點式方程.（1），；

（2），．題型四：截距式直線方程例12．（2023·全國·高二專題練習）已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）.求：(1)△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程和截距式方程；(2)BC邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程.例13．（2023·高一課時練習）根據下列條件求直線的截距式方程，并畫出圖形.（1）在x軸、y軸上的截距分別是2，3；（2）在x軸、y軸上的截距分別是，6．題型五：中點坐標公式例14．（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學校校考期末）直線過點且與軸?軸分別交于，兩點，若恰為線段的中點，則直線的方程為__________.例15．（2023·高二單元測試）直線被直線和所截得的線段中點恰為坐標原點，則直線l的方程為______．例16．（2023·江蘇南通·高二統考期中）已知點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標為，則線段的長度為___________.例17．（2023·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中學?？茧A段練習）已知點，，線段PQ的中點為，則直線PQ的方程為______.題型六：直線的一般式方程例18．（2023·上海普陀·高二上海市晉元高級中學?？计谥校┤簦?，則經過的直線的一般方程為_________例19．（2023·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯考期末）傾斜角為，且過點的直線的方程為__________.例20．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學?？计谀┲本€l過點，若l的斜率為3，則直線l的一般式方程為______．例21．（2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區喀什第二中學校考期末）過點的直線方程（一般式）為_____．例22．（2023·陜西·高二?？茧A段練習）已知的三個頂點坐標為，，，則BC邊上的中線AE所在直線的一般方程為______．例23．（2023·浙江杭州·高二統考期中）寫出過點，且在兩坐標軸上截距相等的一條直線方程__________.題型七：直線方程的綜合應用例24．（2023·高二課時練習）當直線方程的系數A，B，C滿足什么條件時，該直線分別具有以下性質？(1)過坐標原點；(2)與兩條坐標軸都相交；(3)只與x軸相交；(4)是x軸所在直線；(5)設為直線上一點，證明：這條直線的方程可以寫成．例25．（2023·四川遂寧·高二統考期末）已知的三個頂點分別是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．(1)求BC邊上的高所在直線的方程；(2)求AB邊的垂直平分線所在直線的方程．例26．（2023·四川遂寧·高二校考期中）已知中，，，.求：(1)邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程.(2)中平行于邊的中位線所在直線的一般式方程.例27．（2023·湖北襄陽·高二襄陽四中校考開學考試）在中，已知點，，．(1)求BC邊上中線的方程．(2)若某一直線過B點，且x軸上截距是y軸上截距的2倍，求該直線的一般式方程．例28．（2023·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？计谥校┮阎捻旤c，，.(1)求過點，且在兩坐標軸上截距相等的直線的一般式方程；(2)求角的角平分線所在直線的一般式方程.例29．（2023·安徽宿州·高二校聯考期中）在中，已知頂點，，．(1)求AB邊上中線的方程：(2)求過點B，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線方程．題型八：判斷動直線所過定點例30．（2023·高二課時練習）已知實數滿足，則直線過定點_____.例31．（2023·上海浦東新·高二上海市實驗學校校考期中）已知直線，當變化時，直線總是經過定點，則定點坐標為______.例32．（2023·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）無論取何值，直線恒過定點__________．例33．（2023·福建·高二福建師大附中?？奸_學考試）直線恒過定點________.例34．（2023·湖南郴州·高二?？计谥校o論為何值，直線必過定點坐標為______題型九：直線與坐標軸形成三角形問題例35．（2023·浙江紹興·高二諸暨中學?？茧A段練習）已知直線l過點，且與x軸、y軸的正方向分別交于A，B兩點，分別求滿足下列條件的直線方程：(1)時，求直線l的方程．(2)當的面積最小時，求直線l的方程．例36．（2023·天津寧河·高二天津市寧河區蘆臺第一中學校考階段練習）設直線l的方程為(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程.(2)若l不經過第二象限，求實數a的取值范圍.(3)若直線l交x軸正半軸于點A，交y軸負半軸于點B，的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程.例37．（2023·江蘇連云港·高二校考階段練習）設為實數，若直線的方程為，根據下列條件分別確定的值：(1)直線的斜率為；(2)直線與兩坐標軸在第二象限圍成的三角形面積為.例38．（2023·全國·高二專題練習）已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．例39．（2023·甘肅蘭州·高二蘭州市外國語高級中學?？计谥校┮阎本€.(1)若直線不能過第三象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，為坐標原點，設的面積為，求的最小值及此時直線的方程．例40．（2023·高二課時練習）已知直線l經過點P(4,1)，且與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，求直線l的點斜式方程.例41．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）已知直線l過定點，且交x軸負半軸于點A、交y軸正半軸于點B，點O為坐標原點．(1)若的面積為4，求直線l的方程；(2)求的最小值，并求此時直線l的方程；(3)求的最小值，并求此時直線l的方程．題型十：直線方程的實際應用例42．（2023·高二?？颊n時練習）如圖所示，某縣相鄰兩鎮在同一平面直角坐標系下的坐標為，一條河所在的直線方程為，若在河邊l上建一座供水站P，使之到A，B兩鎮的管道最短，問供水站P應建在什么地方?

【過關測試】一、單選題1．（2023·高二課時練習）已知直線和互相垂直且都過點，若過原點，則與y軸交點的坐標為（）A． B． C． D．2．（2023·高二課時練習）經過點，且與直線垂直的直線方程為（

）A． B． C． D．3．（2023·高二課時練習）過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是（

）A． B． C． D．或4．（2023·高二課時練習）過點，且與原點距離最遠的直線方程為（

）A． B．C． D．5．（2023·高二課時練習）經過點，且傾斜角為的直線的一般式方程為（

）A． B． C． D．6．（2023·高二課時練習）經過點，且平行于直線的直線方程為（

）A． B． C． D．7．（2023·山東泰安·高二統考期末）設、是軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且，若直線PA的方程為，則直線PB的方程為（

）A． B．C． D．8．（2023·陜西·高二?？茧A段練習）已知直線過定點P，若點P在直線上，且，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2023·廣東廣州·高二廣州市培正中學?？计谥校┫铝姓f法中正確的是（

）A．若直線斜率為，則它的傾斜角為B．若，，則直線的傾斜角為C．若直線過點，且它的傾斜角為，則這條直線必過點D．若直線的斜率為，則這條直線必過與兩點10．（2023·高二課時練習）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是()A．y=-x+5 B．y=x+5C．y= D．y=-11．（2023·海南·高二統考學業考試）若直線經過點，且與坐標軸圍成的三角形面積為2，則的方程可能是（

）A． B．C． D．12．（2023·廣東廣州·高二統考開學考試）△ABC的三個頂點坐標為A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列說法中正確的是（

）A．邊BC與直線平行B．邊BC上的高所在的直線的方程為C．過點C且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為D．過點A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點D(3，5)三、填空題13．（2023·上海徐匯·高二上海市徐匯中學?？计谥校┙涍^點，并且在兩坐標軸上的截距相等的直線l為______．14．（2023·上海浦