4.3.1等比數列的概念【題組1等比數列的定義與判斷】1、若數列為等比數列，，，則公比（）A．-4B．C．3D．4【答案】C【解析】由題意得：，故選：C2、下面各數列是等比數列的是（）（1），，，；（2）1，2，3，4；（3）x，x，x，x；（4），，，.A．（1）（2）（3）（4）B．（1）（3）（4）C．（1）（4）D．（1）（2）（4）【答案】C【解析】對于（1），公比為2，即為等比數列；對于（2）由于，即（2）不是等比數列；對于（3）當x＝0時，不是等比數列；對于（4）公比為，即為等比數列.故選：C.3、將公比為q的等比數列依次取相鄰兩項的乘積組成的新數列，，，…．則此數列______（選填“是”或“不是”’）等比數列，若是，則公比為______．【答案】是【解析】由題意知：新數列為，則，故答案為：是，4、（多選）已知數列是等比數列，那么下列數列一定是等比數列的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】設數列是公比為的等比數列，則對選項A，因為，所以數列為等比數列，故A正確；對選項B，因為，所以數列為等比數列，故B正確；對選項C，因為，所以數列為等比數列，故C正確；對選項D，若等比數列公比，則，即，此時數列不是等比數列，故D錯誤.故選：ABC5、（多選）若數列對任意滿足，則下列關于數列的命題正確的是（）A．可以是等差數列B．可以是等比數列C．可以既是等差又是等比數列D．可以既不是等差又不是等比數列【答案】ABD【解析】因為，故可得或；若，則數列是等差數列；若，且，則數列是等比數列；若，且，則數列是等差數列；故正確；由，得不出數列是非零常數列，故不可以既是等差又是等比數列，故錯誤；數列可以既不是等差數列又不是等比數列，例如：，滿足題意，但既不是等差數列也不是等比數列，故正確.故選：.【題組2等比數列的通項與基本量】1、設是等比數列，且，，則（）A．12B．24C．32D．48【答案】D【解析】是等比數列，設其公比為，則由，得：，解得，，.故選：D.2、已知等比數列的公比，則（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】因為等比數列的公比，所以，故選：B.3、已知等比數列各項均為正數，且成等差數列，則（）A．B．C．D．或【答案】A【解析】因為、、成等差數列，所以，又因為為等比數列，所以，即，解得.因為數列的各項均為正數，所以.故選：A4、設是公比為的等比數列，，令，若數列有連續四項在集合中，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，且數列有連續四項在集合中，，數列的連續四項在集合中，又是公比為的等比數列，，∴等比數列各項的絕對值遞增或遞減，數列的連續四項為，，，，，故故選：B.5、已知數列是等差數列，是等比數列，且.則數列_______.【答案】【解析】是等比數列，且，公比，且，即；，解得，是等差數列，且，公差，且，故答案為：.6、在數列中，，，則______．【答案】64【解析】在數列中，，即，又因為，所以，所以，所以數列是以2為首項，公比為2的等比數列，所以．故答案為：64【題組3等比中項及其應用】1、數列為等比數列，，，命題，命題是、的等比中項，則是的（）條件A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要【答案】A【解析】因為數列為等比數列，且，，若，則，則是、的等比中項，即；若是、的等比中項，設的公比為，則，因為，故，即.因此，是的充要條件.故選：A.2、與的等比中項是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】與的等比中項是.故選：C.3、已知等差數列的前n項和為，若，，成等比數列，則公比為（）A．B．C．D．1【答案】D【解析】由題意，等差數列的前n項和為，則，故由，，成等比數列，可得,即,且，設等差數列的公差為d，則，解得，則數列為常數列，故，，成等比數列，則公比為，故選:D4、在正項等比數列中，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題得，所以，所以，所以，故選：A5、如果將20，50，100各加上同一個常數能組成一個等比數列，那么這個數列的公比為______．【答案】【解析】設所加的常數為，則成等比數列，均不為，所以，解得，所以這個數列的公比為.故答案為：【題組4等比數列的性質及應用】1、設等比數列中，，，則（）A．16B．32C．12D．18【答案】A【解析】由題，則故選：A.2、已知等比數列，滿足，且，則數列的公比為（）A．2B．4C．D．【答案】A【解析】令公比為，由，故且，所以，則，又，則，所以，綜上，.故選：A3、已知等比數列中，，，則（）A．27B．9C．D．【答案】A【解析】因為數列為等比數列，所以，可得；因為，所以，，，所以.故選：A.4、在等比數列中，，，則等于（）A．81B．C．3D．243【答案】A【解析】∵數列為等比數列，則∴，故選：A.5、已知等比數列中，，，則公比（）A．5B．4C．3D．2【答案】D【解析】等比數列滿足，.故選：D【題組5等比數列的證明】1、數列滿足.（1）若，求證：為等比數列；（2）求的通項公式．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由于，所以，即，所以數列是首項為，公比為的等比數列.（2）由（1）得，所以.2、已知數列滿足：，且.求證：數列是等比數列；【答案】證明見解析【解析】證明：因為，，，所以，所以，即，又，所以數列是首項為，公比為的等比數列.3、數列滿足：，．記，求證：數列為等比數列；【答案】證明見解析【解析】證明：∵，∴，∴，∴數列是以，公比為的等比數列．4、設數列滿足，，．令，證明：數列是等比數列，并求．【答案】證明見解析；．【解析】證明：∵，，所以，又，，所以，∴數列是首項為，公比為的等比數列，∴．5、數列滿足，．（1）求證：數列是等比數列；（2）求數列的通項公式．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）當時，，，解得：，當時，由可知，，兩式作差可得：，即，又，所以,所以.所以數列是首項為4，公比為2的等比數列.（2）由（1）知，兩邊同除以，得，又，所以數列是首項為，公差為1的等差數列，∴，整理得，故數列的通項公式為.【題組6等比數列的單調性與最值】1、在等比數列中，公比是，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】當時，則，因為，所以，所以，故，所以不能推出，當時，則，由，得，則，所以，所以不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.2、已知等比數列，下列選項能判斷為遞增數列的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】對于A，，，則單調遞減，故A不符題意；對于B，，，則會隨著n取奇數或偶數發生符號改變，數列為擺動數列，故B不符題意；對于C，，，則為常數數列，不具有單調性，故C不符題意；對于D，，，∵，y=在R上單調遞減，故為遞增數列，故D符合題意．故選：D﹒3、在等比數列{an}中，“a1<a2<a3”是“數列{an}遞增”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當a1<a2<a3時，設公比為q，由a1<a1q<a1q2：若a1>0，則1<q<q2，即q>1，此時，顯然數列{an}是遞增數列，若a1<0，則1>q>q2，即0<q<1，此時，數列{an}也是遞增數列，反之，當數列{an}是遞增數列時，顯然a1<a2<a3.故“a1<a2<a3”是“等比數列{an}遞增”的充要條件．故選：C4、已知等比數列的各項均為正數，公比為，且，記的前項積為，則下列選項中正確的選項是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由題意知：，即中一個大于1，另一個小于1.∵等比數列的各項均為正數，公比為，即，∴要么遞增，要么遞減，而，∴綜上知：，即為遞減數列且，∵，又，∴，而.故選：BC5、（多選）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足，，，則下列選項正確的是（）A．B．C．是數列中的最大項D．【答案】ACD【解析】由可得與異號，或，又，且，可得與同號，即，且一個大于，一個小于，若，則，不符合題意；若，則，為遞減數列，滿足，故A正確；對于B選項，由于，數列為正項遞減數列，，所以，，故B選項錯誤；對于C選項，由上可知，正項數列前項都大于，而從第項起都小于，所以，是數列中的最大值，故C選項正確；對于D選項，，D選項正確.故選：ACD.【題組7用等比數列解決實際問題】1、九連環是一個古老的智力游戲，在多部中國古典數學典籍里都有對其解法的探究，在《九章算術》中古人對其解法的研究記載如下：記解n連環需要的步驟為，，研究發現{an+1}是等比數列，已知，則（）A．127B．128C．255D．256【答案】C【解析】由題知，，，又{an+1}是等比數列，則，，所以{an+1}是以4為首項，2為公比的等比數列，即，所以，，故選：C2、我國明代著名樂律學家明宗室王子朱載堉在《律學新說》中提出十二平均律，即是現代在鋼琴的鍵盤上，一個八度音程從一個鍵到下一個鍵的8個白鍵與5個黑鍵（如圖，從左至右依次為：，，，，，，，，，，，，的音頻恰成一個公比為的等比數列的原理，也即高音的頻率正好是中音的2倍．已知標準音的頻率為，那么頻率為的音名是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為的音頻是數列的第10項，所以頻率為是該數列的第四項，其音名是故選：D3、光圈是一個用來控制光線透過鏡頭，進入機身內感光面的光量的裝置.表達光圈的大小我們可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一單位時間內進光量越多，而且上一級的進光量是下一級的2倍，如光圈從F8調整到F5.6，進光量是原來的2倍.若光圈從F4調整到F1.4，則單位時間內的進光量為原來的（）A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍【答案】C【解析】由題可得單位時間內的進光量形成公比為的等比數列，則F4對應單位時間內的進光量為，F1.4對應單位時間內的進光量為，從F4調整到F1.4，則單位時間內的進光量為原來的倍.故選：C.4、我國古代著名的思想家莊子在《莊子天下篇》中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”用現代語言敘述為：一尺長的木棒，每天取其一半，永遠也取不完.這樣，每日剩下的部分都是前一日的一半.如果把“一尺之棰”看成單位“1”，那么每日剩下的部分所構成的數列的通項公式為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】記第日剩下部分長為，顯然有，，即數列是等比數列，且公比為，所以．故選：C．5、“手指推大廈”是科技館中常見的一個游戲，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，體現了“多米諾骨牌效應”的科學原理.已知“手指推大廈”所用骨牌滿足的數學表達式是，