1.2運算基礎二、二進制的運算和計算機中的四則運算一、各種進制數的表示和它們之間的轉換三、各種數制的編碼、字符編碼、BCD碼、

ASCII碼、漢字編碼四、邏輯電路和邏輯運算計算機中的各種數制在計算機內部，信息廣泛采用二進制形式表示，有時還會使用十進制、八進制、十六進制。2進制，用兩個阿拉伯數字：0、1；8進制，用八個阿拉伯數字：0、1、2、3、4、5、6、7；10進制，用十個阿拉伯數字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；16進制，用十六個阿拉伯數字……等等，阿拉伯人或說是印度人，只發明了10個數字啊？16進制就是逢16進1，但我們只有0~9這十個數字，所以我們用A，B，C，D，E，F這五個字母來分別表示10，11，12，13，14，15。字母不區分大小寫。對任意進位制數都可以寫成按權展開的多項式的和的形式：十進制使用廣泛，它主要用在計算機外部。特點：一是十進制由十個不同的數符組成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，即基數為“10”；二是十進制遵循每相鄰兩位“逢十進一”的原則。二進制是用于計算機內部描述各種信息的一種數制。特點：一是二進制由“0”和“1”兩個符號構成，即基數為2；二是每相鄰兩位遵循“逢二進一”的原則。K=Kn-1×Rn-1+Kn-2×Rn-2+……+K1×R1+K0×R0+K-1×R-1+K-2×R-2+……=Ki×Ri式中：i－－數位；m，n－－正整數；

R－－基數；Ki－－第i位數碼。為什么需要八進制和十六進制?

編程中，我們常用的還是10進制……必竟C/C++是高級語言。比如：inta=100,b=99;

不過，由于數據在計算機中的表示，最終以二進制的形式存在，所以有時候使用二進制，可以更直觀地解決問題。但，二進制數太長了。比如int類型占用4個字節，32位。比如100，用int類型的二進制數表達將是：000000000000000001100100面對這么長的數進行思考或操作，沒有人會喜歡。用16進制或8進制可以解決這個問題。因為，進制越大，數的表達長度也就越短。不過，為什么偏偏是16或8進制，而不其它的，諸如9或20進制呢？

2、8、16，分別是2的1次方，3次方，4次方。這一點使得三種進制之間可以非常直接地互相轉換。8進制或16進制縮短了二進制數，但保持了二進制數的表達特點。1）二進制數用B(Binary),八進制數用O(Octonary),O也可用Q表示,十進制數用D(decimal),十六進制數用H(Hexadecimal)表示.:101B,123Q,789,10CEH分別表示二進制、八進制、十進制和十六進制數2）給數加括號并加數字下標如(1001)2,,(2357)8,(8790)10,(1AFF)16分別表示二進制、八進制、十進制和十六進制。書寫規則常用的書寫方法有兩種:應該還有其他寫法，如c＋＋中的表示等。數制之間的轉換下面是豎式：將01100100換算成十進制第0位0*20

=

0第1位0*21

=

0第2位1*22

=

4第3位0*23

=

0第4位0*24

=

0第5位1*25

=32第6位1*26

=64第7位0*27

=

0

＋---------------------------

100

2進制數轉換為10進制數用橫式計算為：0*20+0*21+1*22+1*23+0*24+1*25+1*26+0*27=100

0乘以多少都是0，所以我們也可以直接跳過值為0的位：1*22+1*23+

1*25+1*26=100二進制數00101010十進制數4225+23+21=42轉換方法：e.g110進制數轉換為2進制數給你一個十進制，比如：6，如果將它轉換成二進制數呢？10進制數轉換成二進制數，這是一個連續除2的過程：把要轉換的數，除以2，得到商和余數，將商繼續除以2，直到商為0。最后將所有余數倒序排列，得到數就是轉換結果。十進制數58二進制數00111010轉換方法：

2|58……02|1……12|29……12|14……02|7……12|3……102|1……1e.g2取余數對應二進制位數223……余1……K0最低位211……余1……K125……余1……K222……余0……K321……余1……K4最高位

即：23D=10111B總結：十進制整數轉換成二進制數用“除2取余倒讀法”轉換成其它進制數就可概括為“除R取余倒讀法”。例：十進制數23轉換成二進制數對應二進制位數取整數K-1最高位1K-21K-30K-4最低位10.8125×

21.62500.6250×

21.25000.2500×

20.50000.5000×

21.0000即：0.8125D=0.1101B總結：十進制數轉換成其它進制數方法“乘R取整順讀”例：將十進制數0.8125轉換成對應的二進制數十六進制數轉換成十進制數十六進制數的第0位的權值為16的0次方，第1位的權值為16的1次方，第2位的權值為16的2次方……所以，在第N（N從0開始）位上，如果是數X（X大于等于0，并且X小于等于15，即：F）表示的大小為X*16的N次方。假設有一個十六進數2AF5,那么如何換算成10進制呢？用豎式計算：2AF5換算成10進制:

第0位：

5*160=5第1位：

F*161=240第2位：

A*162=2560第3位：

2*163=8192

＋-------------------------------------

10997

直接計算就是：5*160

+F*161+A*162+2*163=10997(別忘了，在上面的計算中，A表示10，而F表示15)現在可以看出，所有進制換算成10進制，關鍵在于各自的權值不同假設有人問你，十進數1234為什么是一千二百三十四？你盡可以給他這么一個算式：1234=1*103+2*102+3*101+4*100三位組合法：把二進制數以小數點為中心，分別向左、右每三位分為一組，不夠補零；然后，每組用等值的八進制數碼表示。例：將二進制數101.1011轉換成等值八進制數.(101.1011)2=101.101

100=(5.54)8分解三位法：把八進數的各位依次用對應的三位二進制數碼表示。例：將八進制數12.56轉換成等值二進制數(12.56)8=001010.101110=(1010.10111)2二進制數和八進制數之間的轉換與二進制轉換成八進制類似用“四位組合法和分解四位法”例：將二進制數101110轉換成等值十六進制數。(101110)2=0010

1110=(2E)16將十六進制數5.B8轉換成等值二進制數分別轉換成等值(5.B8)16=0101.1011

1000=(101.10111)2二進數與十六進制數之間的轉換二進制十六進制十進制BCD碼00000000000001110001001022001000113300110100440100010155010101106601100111770111100088100010019910011010A101011B111100C121101D131110E141111F15數碼對照表機器數：“數”以某種方式存儲在計算機中，一般稱為機器數。機器數的范圍一個計算機的字長為8位或16位時,它的無符號整數的最大值分別是(11111111)2=(255)102=(65535)102.機器數的符號無符號數：不考慮正負的數，相反稱為有符號數有符號數:計算機中有符號數的符號被數字化了；一般最高位為0表示正號，為1表示負號常用的編碼方式有三種：原碼、反碼、補碼。數據的表示

無符號數與有符號數的區別僅在于，無符號數沒有符號位，全部有效位均用來表示數的大小。在計算機中，無符號數常用來表示地址。1.無符號數（1）原碼符號位用0表示正，用1表示負，數值部分不變。原碼和真值的關系如下式所示：2.有符號數例如：求X=+105的原碼（X)原=01101001

求X=－105的原碼（X)原=11101001

原碼表示簡單直觀,但0的表示不唯一，加減運算復雜,如果兩個異號數相加或兩個同號數相減就要做減法。 （2）反碼正數的反碼與原碼相同，負數的反碼是符號位用1表示，數值位按位取反。原碼和真值的關系如下式所示：例如：X=-4,（X)原=10000100,（X)反=11111011,

（X)反=10010100，則其原碼為11101011，為－107

反碼的缺點與原碼類似，多用在求反邏輯運算中。（3）補碼正數的補碼與原碼相同；

負數補碼為其反碼加1；

0無正負之分；

n位二進制數補碼的表示范圍為＋(2n-1－1)～－2n-1

補碼和真值的關系如下：例如：X=-4,（X)原=10000100,（X)補=11111100

補碼運算時可以將符號位參與運算，可以用加法代替減法運算，提高了運算速度。計算機中的有符號二進制數據默認為補碼表示。X為正數時有：（X)原＝（X)反＝（X)補X為負數時有：（X)補＝（X)反＋1，((X)補)補＝（X)原

((X)反)反＝（X)原

補碼的求法1）根據定義求：（X)補＝2n＋X如X＝－，n＝8，則（X)補＝28＋（－）＝100000000－＝，有減法運算不方便。2）利用原碼求：一個負數的補碼等于其原碼除符號位以外的各位按位取反，再在最低位加1。如X＝－，（X)原＝，則（X)補＝＋1＝3）簡便的求補：從原碼的最低位起，到出現第一個1以前（包括第一個1）的數字不變，以后逐位取反，但符號位不變。如X=－1010111,（X)原＝，則（X)補＝X＝－，則（X)原＝11110000，則（X)補＝3.機器數中小數點位置（1）定點數:小數點位置固定不變。浮點數:小數點位置可以浮動。定點數的表示方法純整數：小數點在數的最右方。純小數：小數點在數的符號位之后。純整數和純小數都可以用原碼、反碼、補碼來表示。如：87.37=0.8737×102同樣(110.11)2=(0.11011×23)2

這就是浮點數表示法一個二進制數N

可表示為:N

=±2±P×S(N,P,S均為二進制數)S稱為尾數，即全部的有效數字（一般數值小于1），2前面的±號是尾數的符號，P稱為階碼（一般為整數）即指明小數點的實際位置，2右上方的±號是階碼的符號。浮點數在機器中的編碼分成兩部分,排列如下：階符階碼P尾符尾碼S（2）浮點數的表示方法Pentium將階碼以一種偏置形式存放于格式之中，即將真階碼加上一個常數偏置值才是格式階碼，以保證偏置后的格式階碼恒為正數。單精度的階碼偏置值為+127，雙精度的階碼偏置值為+1023，擴展精度的階碼偏置值為+16383。一個浮點數數的真階碼要通過它的格式階碼減去偏置值而得到。Pentium微處理器支持的浮點格式現在想知道，-5在計算機中如何表示？在計算機中，負數以其正值的補碼形式表達。原碼：一個整數，按照絕對值大小轉換成的二進制數，稱為原碼。比如0000000000是5的原碼。反碼：將二進制數按位取反，所得的新二進制數稱為原二進制數的反碼。取反操作指：原為1，得0；原為0，得1。（1變0;0變1）比如：將0000000000每一位取反，得11111111111111111111111111111010。稱：11111111111111111111111111111010是0000000000的反碼。反碼是相互的，所以也可稱：11111111111111111111111111111010和0000000000互為反碼。現在想知道，-5在計算機中如何表示？(續）補碼：反碼加1稱為補碼。也就是說，要得到一個數的補碼，先得到反碼，然后將反碼加上1，所得數稱為補碼。比如：0000000000的反碼是：11111111111111111111111111111010。那么，補碼為：11111111111111111111111111111010+1=11111111111111111111111111111011所以，-5在計算機中表達為：11111111111111111111111111111011。轉換為十六進制：0xFFFFFFFB（在c中）或0FFFFFFFBH（在匯編中）。BCD（BinaryCodeDecimal）碼：把每1位十進制數用4位二進制編碼表示的數字編碼。它的全名為十進制數的二進制編碼（二-十進制編碼）8421BCD碼：每個十進制位用4位二進制數表示，而4位二進制數的位權分別為8、4、2、1，故命名之。十進制數8421BCD碼十進制數8421BCD碼000008100010001910012001010000100003001111000100014010012000100105010113000100116011014000101007011115000101014.數字編碼8421BCD編碼表例：(36.97)10=(00110110.10010111)BCD(100100110001.01000101)BCD=(931.45)10BCD碼壓縮型BCD碼用4位二進制數表示1位十進制數非壓縮型BCD碼用8位二進制數表示1位十進制數1).ASCII編碼：是由美國國家標準委員會制定的一種包括數字、字母、通用符號在內的字符編碼集。ASCII碼是一種7位二進制編碼，能表示27＝128個國際上最通用的西文字符。5.字符型數據的表示ASCII編碼字符集包括4類常用的字符。（1）數字0～9對應的ASCII碼值分別為0110001B~0111001B用十六進制數表示為31H～39H（2）字母包括26個大寫英文字母和26個小寫英文字母。字母A～Z的ASCII碼值為41H～5AH，字母a~z的ASCII碼值為61H～7AH。可以看出：對應的大、小寫字母的ASCII碼值相差20H。（3）通用符號如：＋、－、＝、*、／、，等共32個。（4）控制字符包括空格SP（20H）、回車CR（0DH）等共34個。注：ASCII碼是一種7位編碼，但它存放時必須占全一字字節，也即占用8位，一般最高位置0，其余7位是ASCII值。ASCII碼表規律：小寫字母大于大寫字母，字母大于數字，所有的字符都大于空格，空格大于所有的控制字符。2).漢字編碼漢字與英文差別很大：象形字、數目多、形和劃差異大計算機常用鍵盤以拼音文字為主解決錄入問題：與拼音鍵盤兼容－－外碼（音、形、劃）在計算機中表示漢字需安排一個確定的編碼且與ascii易于區分:GB2312-80,簡國標碼，再到機內碼。二進制的運算和計算機中的四則運算1．算術運算 算術運算是指利用＋、－、×、÷、（）等符號連接二進制數完成的運算。（自然運算規則與十進制同）

計算機中完成二進制的四則運算 完成二進制的四則運算最終都是進行加法運算。 加法：……；乘法：部分積右移加被乘數或0

減法：加補碼；除法：部分余數左移加除數補碼或01)二進制的加減運算兩個1位二進制數的加、減運算規則加法規則：減法規則：

0+0＝00–0＝00+1＝11–1＝1（借位1）

1+0＝11–0＝11+1＝0（進位1）1–1＝0多位二進制數加、減運算法則：逢二進一、借一作二例：求11000011B＋100101B=？求11000011B－100101B=？

11000011B11000011B+100101B－100101B11101000B10011110B參見p.7二進制的補碼運算規則：[X+Y]

補=[X]補+[Y]補

[X-Y]補=[X]補-[Y]補例:[32＋25]補

=[32]補＋[25]補=00100000＋00111001=[57]補

[32－25]補

=[32]補－[25]補=00100000－=00100000+11100111=(1)00000111=[7]補2）二進制的補碼運算

分析：兩數相加時，只有當