目錄第1章行列式第2章矩陣第3章線性方程組第4章特征值與特征向量第5章二次型第6章向量空間與線性變換第7章用Mathematica解線性代數問題第1章行列式1.1二階與三階行列式1.2n階行列式的定義1.3行列式的性質1.4行列式按行(列)展開1.5克萊姆(Cramer)法則1.6拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法規則總復習題

1.1二階與三階行列式

1.1.1二元線性方程組與二階行列式

考慮二元一次線性方程組:

其中,x1,x2

為未知量,a11,a12,a21,a22為未知量的系數,b1,b2

為常數項.由加減消元法分別消去x2,x1,即得

于是,當a11a22-a12a21≠0時,方程組有唯一解:

為了便于記憶上述結果,引進記號表示代數和a11a22-a12a21,稱為二階行列式,即

其中,實線為主對角線,虛線為次對角線,橫排叫行,豎排叫列;a11,a12,a21,a22叫做行列式的元素,用aij表示,其中i表示行標,表示該元素位于第i行;j表示列標,表示該元素位于第j列;a11a22-a12a21叫做該二階行列式的展開式.

注意:

①二階行列式是一個數;

②對角線法則,即主對角線上兩個數的乘積減去次對角線上兩個數的乘積.

數列去換系數行列式D的第i列所得,則當D≠0時,上述二元一次方程組的解可表示為

這樣,便得到了二元線性方程組的公式解.

1.1.2三元線性方程組與三階行列式

類似二元線性方程組,對于三元線性方程組也有類似的公式解.

稱為三階行列式.

三階行列式是3!項的代數和,每一項都是不同行與不同列的三個數的乘積,再冠以正負號,正負號的取法可以類似于二階行列式,平行于主對角線方向取正號,平行于次對角線方向取負號,故三項為正號、三項為負號,如下所示:

類似地,可以利用三階行列式求解三元線性方程組:

系數行列式為

方程組有唯一解,即

它們分別用常數列去替換系數行列式D

的1、2、3列所得.這樣便得到了三元線性方程組的公式解.

計算二、三階行列式時應注意:

①項的符號與該項本身的符號;

②項數.

需要指出的是,如果是四元一次線性方程組,則也有類似的公式解.但是對于四階行列式的計算法并不能直接推廣二、三階行列式的對角線法則.為了求解四元及四元以上的線性方程組,需要將二、三階行列式的概念推廣.下面先介紹排列與逆序數的概念.

1.1.3n階排列及其逆序數

定義2

由數碼1,2,…,n

組成一個n

元有序數組,稱為一個n

階排列.

例如,1234,2431,25413.

定義3在一個n階排列p1p2

…pn

中,若一對數碼pt與ps,較大的數pt

排在較小的數ps

前面(ps<pt),則稱pt

與ps構成一個逆序.一個n階排列中逆序的總數稱為它的逆序數,記為τ

(p1p2…pn).顯然,τ(12…n)=0.

由逆序數定義,表示在排列中pk前比pk大的數碼的個數.

定義4若排列p1p2…pn

的逆序數τ(p1p2…pn)為奇數,則稱為奇排列,逆序數是偶數則稱為偶排列.

1.1.4對換

在n階排列p1p2…pn

中,僅將任意兩數碼pt與ps對調,其余數碼保持不動的變換稱為對換.

定理1任意一個排列經過一次對換后改變奇偶性.即經過一次對換,奇排列變成偶排列,偶排列變成奇排列.

證明首先討論一個特殊的情形,對換的兩個數碼在排列中是相鄰的位置,排列

…jk…

(1.1.1)

經過對換j,k,變成

…kj…

(1.1.2)

顯然,在排列式(1.1.1)中,如果j,k與其它的數碼構成逆序,則在排列式(1.1.2)中仍然構成逆序;如果不構成逆序,則在式(1.1.2)中也不構成逆序;不同的只是j,k的次序.如果原來j,k構成逆序,那么經過對換,逆序數就減少一個;如果原來j,k

不組成逆序,那么經過對換,逆序數就增加一個,不論增加1還是減少1,排列的逆序數的奇偶性總是變了.因此,在這個特殊的情形定理成立.

再看一般的情形,設排列為

…ji1i2…isk…(1.1.3)

經過j,k對換,排列式(1.1.3)變成

…ki1i2…isj…(1.1.4)

不難看出,這樣一個對換可以通過一系列相鄰數碼的對換來實現.從式(1.1.3)出發,把k與is對換,再與is-1對換,依次下去,把k一一地向左移動,經過s+1次相鄰位置的對換,排列式(1.1.3)就變成

…kji1i2…is…(1.1.5)

從式(1.1.5)出發,再把j一一地向右移動,經過s次相鄰位置的對換,排列式(1.1.5)就變成排列式(1.1.4).因此,j,k對換可以通過2s+1次相鄰位置的對換來實現.2s+1是奇數,相鄰位置的對換改變排列的奇偶性.顯然,奇數次這樣的對換的最終結果還是改變奇偶性.

推論1任意一個n階排列與排列12…n都可以經過一系列對換互變,并且所作對換的個數與這個排列有相同的奇偶性.

推論2n個數碼(n>1)共n!個n階排列,其中奇、偶排列各占一半.

1.2n階行列式的定義

由于四階及四階以上行列式的計算不能直接模仿二、三階行列式的對角線法則,上一節作了排列及其逆序數的準備,下面來討論n階行列式的定義.

1.2.1n階行列式

在給出n階行列式的定義之前,先來研究二階和三階行列式的結構.二階和三階行列式的定義為

可以看出:

(1)“行列式”的結構:二階行列式是由22個元素構成的兩行兩列的計算式.三階行列式是由32個元素構成的三行三列的計算式.

(2)“項”的結構:二階(三階)行列式的每一項都是取自不同行不同列的兩(三)個元素的積,且所有不同行不同列的兩(三)個元素的積都是二階(三階)行列式的項.

(3)“項數”的規律:當每一項乘積的元素行標取自然順序,則列標正好取完所有二(三)階排列,故二階(三階)行列式共有2!(3!)項.

(4)“項”的符號:每一項乘積的元素當行標按自然順序排列時,列標所構成的排列為偶排列時取正號,奇排列時取負號.因此有

根據這個規律,可以給出n階行列式的定義.

定義1由n2個數aij(i,j=1,2,…,n)組成的記號

稱為n階行列式,其中橫排稱為行,豎排稱為列.它表示所有可能取自不同的行不同的列的n個元素乘積的代數和,各項的符號是:當這一項中元素的行標按自然順序排列后,若對應的列標構成的排列是偶排列取正號,奇排列則取負號.

因此,n階行列式所表示的代數和中的一般項可寫為

其中p1p2…pn

是一個n階排列,當p1p2…pn

取遍所有n階排列時,則得到n階行列式的代數和中的所有項,即

其中表示對所有n階排列p1p2…pn

求和.

為書寫方便,記該行列式為.

注意:n階行列式共n!項

1.2.2幾類特殊的n階行列式

(1)對角行列式:主對角線以外全為0的行列式,即

證明由n階行列式的定義,所有位于不同行不同列的元素乘積只有一項(其他項全為0)

a11a22…ann

該項的行標與列標都排成了自然順序而取正號,故結論成立.

(2)次對角行列式:次對角線以外全為0的行列式,即

(3)上、下三角行列式:

證明以下三角行列式為例.其展開式一般項為a1p1a2p2…anpn

,由行列式的定義與和式中不考慮為0的項,p

應取1,這時,1行1列不能再取;p2

應取2,這時,2行2列不能再取,依此類推,pn應取n,展開式只有一項a11a22…ann,且可確定該項的符號為正,故結論成立.

1.3行列式的性質

定理n階行列式中的項為

ai1j1ai2j2…ainjn

(1.3.1)其中i1i2…in,j1j2…jn是兩個n階排列.它的符號是

(-1)τ(i1i2…in)+τ(j1j2…jn)(1.3.2)

證明為了根據定義來決定式(1.3.1)的符號,就要把這n個元素重新排列使得它們的行指標成自然順序,即排成

a1p1a2p2…anpn

(1.3.3)

于是它的符號是

(-1)τ(p1p2…pn)(1.3.4)

現在來證明,式(1.3.2)與式(1.3.4)是一致的.我們知道,由式(1.3.1)到式(1.3.3)可以經過一系列元素的交換來實現.每交換一次,元素的行指標與列指標所構成的排列i1i2…in

與j1j2…jn

就都同時交換一次,即τ(i1i2…in)與τ(j1j2…jn)同時改變奇偶性,因而它們的和

τ(i1i2…in)+τ(j1j2…jn)

的奇偶性不改變.這就是說,對式(1.3.1)進行一次元素的交換不會改變式(1.3.2)的值.因此,在一系列交換之后有

(-1)τ(i1i2…in)+τ(j1j2…jn)=(-1)τ(12…n)+τ(p1p2…pn)

=(-1)τ(p1p2…pn)

例如,a21a32a14a43是4階行列式中一項,τ(2314)=2,τ(1243)=1,于是它的符號應為(-1)2+1=-1;如按行指標成自然順序排列起來,就是a14a21a32a43,τ(4123)=3,因而它的符號也是(-1)3=-1.

按式(1.3.2)來決定行列式中每一項的符號的好處在于,行指標與列指標是對稱的,因而為了決定每一項的符號,我們同樣可以把每一項按列指標成自然順序排列起來,于是定義又可以寫成

性質1行列式D與它的轉置行列式DT的值相等.

稱DT為D的轉置行列式.事實上,元素aij在式(1.3.6)的右端位于第j行第i列,這就是說,i是它的列指標,j是它的行指標.因此,把右端按式(1.3.5)展開就等于

它正是左端按式(1.3.6)的展開式.

性質1表明,在行列式中行與列的位置是對稱的,因此,凡是有關行的性質,對列也同樣成立.．

性質2互換行列式的兩行(列),行列式的值反號.

推論1行列式有兩行(列)元素對應相同,則行列式的值為零.

性質3行列式某行(列)的公因子可提到行列式的記號外面,即

推論2行列式某行(列)各元素全為零,則行列式的值為零.

推論3行列式有兩行(列)元素對應成比例,則行列式的值為零.

性質4行列式某行(列)各元素都是二項的和,則行列式等于相應兩個行列式的和,即

性質5行列式某行(列)中所有元素的數k倍加到另一行(列)對應元素上,行列式值不變.

為了以后計算方便,我們引入以下記號:

(1)交換第i行(列)與第j行(列),記為

ri?rj(ci?cj)

(2)第i行(列)各元素的k倍加到第j行(列),記為

kri+rj(kci+cj)

(3)第i行(列)各元素乘以k,記為

rik(cik)

1.4行列式按行(列)展開

一般來說,低階行列式的計算比高階行列式的計算要簡單得多.于是,自然考慮把高階行列式表示為低階行列式的問題.下面介紹行列式的另一重要性質,即行列式按行(列)展開.為此,引入余子式和代數余子式的概念.

定義1在n階行列式中,去掉元素aij所在的第i行和第j列后,余下的元素按原順序構成的n-1階行列式,稱為元素aij的余子式,記為Mij,即

在aij的余子式Mij前添加符號(-1)i+j,稱為元素aij的代數余子式,記為Aij,即Aij=(-1)i+jMij

注意:余子式、代數余子式只與元素所在位置有關,與元素本身數值無關.

證明原式左邊第i行向上逐行交換i-1次,使第i行換到第1行,其余各行次序不變后,第j列向前逐列交換j-1次,使第j列換到第1列,其余各列次序不變,即

定理n階行列式等于它的任意一行(列)的各元素與其對應的代數余子式乘積之和,即

或

證明對第i行(第j列)的每個元素在適當位置加上n-1個0,由拆項性質4變成類似于引理2的n個行列式的和,從而使結論成立,即

推論n階行列式D的某一行(列)的元素與另一行(列)對應元素的代數余子式乘積的和為0,即

或

1.5克萊姆(Cramer)法則

1.5.1克萊姆法則

已知二元一次線性方程組當系數行列式D≠0時,方程組的解可表示為

定理1(克萊姆法則)若n元n個線性方程構成以下方程組:

克萊姆法則的意義在于方程組的解能用系數項和常數項明顯地表示出來,這具有很重要的理論研究意義.但是計算過程也有一定的局限性,一方面在于當方程組的個數較多時計算過程麻煩(需要計算n+1個行列式);另一方面,如果方程組的系數行列式為0,或者方程組所包含的未知數的個數與方程的個數不相等,則就不能再應用該法則了.如何解這類方程組是我們第3章討論的問題.

克萊姆法則的逆否命題為下列定理:

定理2未知數的個數與方程的個數相等時,若線性方程組無解或有兩個(及其兩個以上)不同的解,則其系數行列式等于0.

因此,利用克萊姆法則解線性方程組時,必須具備兩個條件:

①方程組中未知數的個數與方程的個數相等;

②方程組的系數行列式D≠0.

1.5.2齊次線性方程組

當方程組右端的常數項b1=b2=…=bn=0時,方程組稱為齊次線性方程組,即

可知取x1=x2=…=xn=0時必為其解,稱為零解,其余解稱為非零解.

齊次線性方程組必有零解,但未必有非零解

定理3

n元n個線性方程的齊次線性方程組當其系數行列式D≠0時,由克萊姆法則可知,它僅有唯一的零解x1=x2=…=xn=0.

換句話說,若n元n個線性方程的齊次線性方程組有非零解,則其系數行列式一定等于零.

定理3說明n元n個方程的齊次線性方程組系數行列式等于零是它有非零解的必要條件,在

第3章我們還將證明這個條件也是充分的.

所以方程組的唯一解為

1.6拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法規則

定義1在一個n階行列式D中任意取k行k列(k≤n),位于這些行與列的交叉處的k2個元素按原來的次序組成的一個k階行列式M,稱為行列式D的一個k階子式,在D中劃去這k行k列后余下的元素按原來的次序組成的n-k階行列式MC

稱為k階子式M的余子式.從定義立即看出,MC也是M的余子式,所以M和MC可以稱為D的一對互余的子式.

定義2設D的k階子式M在D中所在的行、列指標分別是i1,i2,…,ik;j1,j2,…,jk,則M的余子式MC前面加上符號(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)后稱為M的代數余子式.

例如,例1.6.1中M的代數余子式是(-1)(1+3)+(2+4)MC=MC,例1.6.2中M的代數余子式是(-1)(1+3+4)+(2+4+5)MC=-MC,因為M與MC

位于行列式D中不同的行和不同的列,所以我們有下述引理.

引理行列式D的任一個子式M與它的代數余子式的乘積中的每一項都是行列式D的展開式中的一項,而且符號也一致.

證明首先討論位于行列式D的左上方的情形.

定理1(拉普拉斯定理)行列式D中任意取定了k(1≤k≤n-1)行.由這k行元素所組成的一切k階子式與它們的代數余子式的乘積的和等于行列式D.

證明設D中取定k行后得到的子式為M1,M2,…,Mt,它們的代數余子式分別為A1,A2,…,At,定理要求證明

根據引理,MiAi

中的每一項都是D中的一項而且符號相同,而且MiAi

與MiAi

(i≠j)無公共項.因此為了證明定理,只要證明等式兩邊項數相等就可以了.等式左邊共有n!項,為了計算右邊的項數,首先求出t,根據子式的取法可知:

因為Mi中共有k!項,Ai

中共有(n-k)!項,所以右邊共有

項,定理得證.

從這個例子可以看出,利用拉普拉斯定理來計算行列式是不方便的.該定理主要應用于理論方面.

證明作2n階行列式:

根據拉普拉斯定理,將D按前n行展開,則因D中前n行除去左上角的n階子式外,其余的n階子式都為零,所以有

現在來證明D=C.對于D,將第n+1行的a11倍,第n+2行的a12倍,…,第2n

行的a1n倍加到第一行,得

再次將第n+1行的ak1(k=2,3,…,n)倍,第n+2行的ak2倍,…,第2n行的akn倍加到第k行,就得

這個行列式的前n行也只可能有一個n階子式不為零,因此由拉普拉斯定理有

總復習題

第2章矩陣2.1矩陣的運算2.2逆矩陣2.3矩陣的初等變換2.4分塊矩陣2.5矩陣的秩總復習題

2.1矩陣的運算

線性方程組:

其中,系數aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),常數項bi(i=1,2,…,m)按照原位置構成數表:

該數表可以決定上述方程組是否有解,以及如果有解,解怎么表示,因此下面我們研究該數表.

2.1.1矩陣的概念

定義1由m×n個數aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成一個m行n列的矩形數表:

該數表稱為一個m×n矩陣,其中aij稱為第i行第j列的元素.矩陣通常用大寫字母A,B,C等表示.可簡記為A=(aij)mn或Amn.

若兩個矩陣A,B有相同的行數和相同的列數,且對應位置的元素相等,則稱兩個矩陣A與B相等,記作A=B.即若A=(aij)mn,B=(bij)mn,且aij=bij,其中:

i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

則A=B.

注意,行列式與矩陣的區別與聯系:

(1)行列式是計算式,結果是一個數,矩陣是一個數表;

(2)行列式的行數與列數必須相等,但矩陣的行數與列數可等可不等;

(3)行列式與矩陣都有行和列以及所在行與列的元素.

2.1.2常用的矩陣

1.方陣

行數與列數都等于n的矩陣,稱為n階矩陣或n階方陣,n階方陣A也記作An

簡寫為An=(aij)n.

2.對角矩陣

主對角線以外全為零的方陣稱為對角矩陣,即

記作Λ=diag{a11,a22,…,ann}.

3.單位矩陣

主對角線上都為1,其余位置都為零的方陣稱為單位矩陣,記為En,即

4.數量矩陣

主對角線上元素都相等的對角矩陣稱為數量矩陣,記作λE,即

5.上(下)三角矩陣

主對角線以上(下)全為零的方陣稱為下(上)三角矩陣.設A=(aij)nn,若aij=0(i>j)(i,j=1,2,…,n),則稱A為n階上三角矩陣,即

設B=(bij)nn,若bij=0(i<j)(i,j=1,2,…,n),則稱B為n階下三角矩陣,即

6.行(列)矩陣

行(列)矩陣是只有一行(列)元素的矩陣,通常稱為行(列)向量.其表示如下:

7.零矩陣

零矩陣是元素全為零的矩陣,常用O表示(注意:不同行(列)的零矩陣是不相等的).

2.1.3矩陣的運算

定義2設A=(aij)mn,B=(bij)mn,令A+B=(aij+bij)mn,稱為矩陣A,B的和,即

注意:加法條件是同行、同列.

矩陣加法滿足下列運算規律(在同行同列的條件下):

(1)加法交換律:A+B=B+A;

(2)加法結合律:(A+B)+C=A+(B+C);

(3)加法零元,即A+O=O+A=A;

(4)加法負元:設A=(aij)mn,-A=(-aij)mn稱為矩陣A的負矩陣,即

A+(-A)=O

由此可定義矩陣的減法:對于同行同列矩陣A,B,規定A-B=A+(-B).

定義3設A=(aij)mn,k為實數,kA=(kaij)mn稱為數k與矩陣A=(aij)mn的數乘,即

注意:矩陣的數乘與行列式的數乘區別.顯然,kA=Ak=(kaij)mn.

矩陣的數乘滿足以下運算規律:

(1)矩陣的數乘與數的乘法(結合律):(kl)A=k(lA);

(2)矩陣的數乘與數的加法(分配律):(k+l)A=kA+lA;

(3)矩陣的數乘與矩陣的加法(分配律):k(A+B)=kA+kB;

(4)1A=A,(-1)A=-A.

此外,還滿足0A=O以及kA=O?k=0或A=O.

將矩陣的加法與數乘結合起來,統稱為矩陣的線性運算.

定義4設A=(aij)ms,B=(bij)sn,即A的列數與B的行數相同,則由元素

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

構成的m行n列矩陣C=(cij)mn稱為矩陣B,B的積,記為C=A

B.

注意:矩陣乘法的條件是A

的列數與B的行數相同.

從例2.1.2可以看出,矩陣乘法不滿足交換律.

(1)CB有意義,BC不一定有意義;

(2)即使AB,BA都有意義,但可以不同行(列),當然AB與BA不相等;

(3)即使AB與BA同行同列,也未必相等.

例如則AB=

此外,兩個非零矩陣相乘可能是零矩陣,即A≠O,B≠O時可有,AB=O,故由AB=O一般不能推出A=O或B=O.

AX稱為用X右乘A,XA稱為用X左乘A.

矩陣的乘法不滿足交換律,不滿足消去律,但滿足:

(1)乘法結合律:(AB)C=A(BC);

(2)乘法與數乘的任意結合律:k(AB)=(kA)B=A(kB);

(3)乘法對加法的左右分配律:

(A+B)C=AB+AC,C(A+B)=CA+CB;

(4)一般矩陣乘以單位矩陣不變:EmAmn=Amn,AmnEn=Amn.

這些算律都可以利用矩陣的定義去證明,在此,我們只證明乘法結合律.

定義5設A為n階方陣,則定義

A0=E,A1=A,A2=AA,…,Ak+1=AkA.

設A

是方陣,k,l是自然數,有

(1)矩陣底數冪的乘法也底數不變,指數相加滿足:AkAl

=Ak+l;

(2)矩陣底數冪的乘方也底數不變,指數相乘滿足:(Ak)l=Akl.因矩陣乘法不適合交換律,所以(AB)k與AkBk一般不相等

定義6設A=(aij)mn,稱(aji)nm為A的轉置,記作AT或A'.即若

矩陣轉置滿足以下運算規律:

(1)自反律:(AT)T=A;

(2)矩陣和的轉置等于各自轉置的和:(A+B)T=AT+BT;

(3)矩陣數乘的轉置等于轉置的數乘:(kA)T=kAT;

(4)矩陣積的轉置等于轉置的交換積:(AB)T=BTAT.

定義7設A是n階方陣,若滿足AT=A,則稱A為對稱矩陣;若滿足AT=-A,則稱A為反對稱矩陣.

注意:對稱矩陣以主對角線為軸對應位置元素相等;反對稱矩陣以主對角線為軸對應位置元素互為相反數.

定義8設方陣A=(aij)nn,稱|A|=|aij|nn(detA)為A的行列式.方陣的行列式滿足以下算律:

注意:對于n階方陣A,B,由于乘法不滿足交換律,即未必AB≠BA,但必有|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|;并且|A+B|≠|A|+|B|.

習題2.1

1.計算

2.2逆矩陣

2.2.1可逆矩陣與矩陣的逆

對于代數方程ax=b,兩邊乘以a-1可求出x=a-1b(a≠0).那么對矩陣方程AX=B,是否也可得到X=A-1B

的形式呢?若可以,則A-1的含意是什么?為此引進逆矩陣的概念.

定義1設A是n階方陣,E是n階單位矩陣,若存在n階矩陣B,使得AB=BA=E,則稱A為可逆矩陣,并稱B為方陣A的逆矩陣,記作A-1.即有A-1A=AA-1=E.

若A可逆,B,C均是A的逆矩陣,則AB=BA=AC=CA=E,故有B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C,則A的逆矩陣是唯一的.

2.2.2矩陣可逆的充要條件與逆矩陣的求法

定義2方陣A的行列式|A|的各個元素的代數余子式Aij所構成的矩陣

稱為矩陣A的伴隨矩陣.

2.2.3逆矩陣的性質

利用逆矩陣的定義,容易證明下列性質:

性質1若A可逆,則|A-1|=

.

性質2若A可逆,則A-1也可逆,且(A-1)-1=A.

性質3若A可逆,數k≠0,則kA也可逆,且(

A)-1=1kA-1.

性質4若A可逆,則AT可逆,且(AT)-1=(A-1)T.

性質5若A,B都是n階可逆矩陣,則積AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1.

注意:解矩陣方程的方法稱為逆矩陣法.對于矩陣方程,若A,B可逆,有

(1)AX=B?X=A-1B;

(2)XA=B?X=BA-1;

(3)AXB=C?X=A-1CB-1

習題2.2

1.求下列矩陣的逆矩陣.

2.解矩陣方程.

2.3矩陣的初等變換

矩陣的初等變換是矩陣中十分重要的概念,它在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣理論的探討中起著非常重要的作用.

2.3.1矩陣的初等變換

定義1對矩陣進行下列三種變換,稱為矩陣的初等變換.

(1)互換矩陣的兩行(列),記ri?rj(ci?cj);

(2)以一個非零數k乘矩陣的某一行(列),記kri(kci);(3)將矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去,記kri+rj(kci+cj).

注意:初等變換都是可逆變換.

矩陣等價:矩陣A由有限次行(列)初等變換化成B,稱A與B行(列)等價,記A?r(?c)B,無論是行等價還是列等價都稱為等價,記A?B.

等價作為矩陣之間的關系,具有反身性、對稱性和傳遞性等性質.

定理1任一矩陣A=(aij)mn都可以由初等變換化為標準形,即

注意:

(1)對于m×n矩陣A,總可以經過初等變換(包括行變換與列變換)化成標準形,該標準形由m,n,r三個數完全確定,其中r就是標準形矩陣中非零行的行數,也是非零列的列數;

(2)所有與矩陣A等價的矩陣構成一個集合,稱為矩陣A的一個等價類,標準形S是這個等價類中形狀最簡化的矩陣.

2.3.2初等矩陣及其性質

與初等變換對應的矩陣是初等矩陣.

定義2對單位矩陣E進行一次初等變換得到的矩陣,稱為初等矩陣.

三種初等變換對應下列三種初等矩陣:

(1)互換矩陣E的i行(列)與j行(列),得

(2)以非零數k乘E的i行(列),有

(3)把矩陣E的j行(i列)的c倍加到i行(j列),有

關于初等矩陣與初等變換的關系,作簡單的驗證,就可以得到以下性質.

性質1對一個m×n矩陣A作一次初等行變換就相當于在A的左邊乘以相應的同種m階初等矩陣;對A作一次初等列變換就相當于在A的右邊乘以相應的同種n階初等矩陣

由于

因此又有以下性質:

性質2方陣A可逆的充分必要條件為A可表示成有限個初等矩陣P1,P2,…,Pt的積,即A=P1P2…Pt.

2.3.3利用矩陣的初等變換求逆矩陣

設A是n階可逆矩陣,由推論,有初等矩陣P1P2…Pt,使P1P2…PtA=E,則P1P2…PtE=A-1,即P1P2…Pt(A,E)=(P1P2…PtA,P1P2…PtE)=(E,A-1).于是,我們得到初等行變換求逆的法則:

A,E肩并肩,一起行變換,A陣變E陣,E陣變A-1.

同樣也有

對于方程AX=B?X=A-1B,也滿足:A,B肩并肩,一起行變換,A陣變E陣,B陣變X陣.對于XA=B?X=BA-1可以作列變換得到.

習題2.3

1.用初等變換化下列矩陣為標準形.

2.4分塊矩陣

2.4.1分塊矩陣的概念定義矩陣A用若干橫線和縱線分成許多小矩陣,每一塊小矩陣稱為A的子塊,以子塊作為元素的矩陣稱為分塊矩陣.

可分為

2.4.2分塊矩陣的運算

(1)設A,B同行同列,同分塊法,有

則

2.4.3準對角矩陣

方陣A分塊為除了主對角線上的方塊外其余為零的分塊矩陣.

稱為準對角矩陣.對于準對角矩陣,有

A可逆的充分必要條件是主對角線上各塊A1,A2,…,As都可逆,且

*2.4.4矩陣積的行列式

引理每一方陣A=(aij)n都可以由第三種初等變換(方陣的行列式值不變)化為對角矩陣Λ=diag{d1,d2,…,dn},且A=Λ=d1d2…dn.

證明若A的第1行第1列全0,則A的第1行第1列也是Λ的第1行第1列.否則可由第三種初等變換使A的1－1位置為d1≠0,第1行(列)乘以適當數加到其余各行(列),使其第1個元素全為0,此時A由第三種初等變換化為

習題2.4

2.5矩陣的秩

矩陣的秩是研究線性方程組理論的重要基礎,它描述了矩陣的一個數值特征.

定義1設A=(aij)mn,從A中任取k行k列(k≤min(m,n)),位于這些行和列的相交處的k2個元素,保持它們原來的相對位置所構成的k階行列式,稱為矩陣A的一個k階子式.

定義2設A=(aij)mn,若A中不為零的子式最高階數為r,即存在r階子式不為零,且所有的r+1階子式(若存在)全等于零,則稱r為矩陣A的秩,記為秩(A)=r或R(A)=r,當A=O時,規定R(A)=0.

注意:0≤R(A)=R(AT)≤min(m,n).

當R(A)為滿秩矩陣.=min(m,n)時,稱矩陣A為滿秩矩陣.由此得到方陣A可逆的充分必要條件是A為滿秩矩陣.

定理1

A?B的充分必要條件是R(A)=R(B).

證明“必要性”,只證初等行變換,由初等行變換與矩陣秩的定義,第一、二種初等行變換使A→B后,A,B相對應的子式零性(等于零或不等于零)不會改變.對于第三種初等行變換,有

且設R(A)=r,下面證明R(B)≤r.

若B沒有階數大于r的子式,則當然沒有階數大于r的不等于零的子式,故R(B)≤r.

設B有s階子式D,且s>r,則有以下三種可能:

(1)D不含第i行的元素,此時D也是A的一個s階子式,而s>r,故D=0;

(2)D含i行的元素,也含j行的元素,則

矩陣秩的基本性質如下:

性質10≤R(Am×n)≤min{m,n};

性質2

R(Am×n)=R(ATm×n);

性質3

A?B?R(A)=R(B);

性質4max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B);

性質5

R(A±B)≤R(A)+R(B);

性質6

R(AB)≤min{R(A),R(B)};

性質7若AB=O,則R(A)+R(B)≤n.

習題2.5

1.求下列矩陣的秩.

總復習題

第3章線性方程組3.1消元法3.2n

維向量及向量的線性表示3.3向量組的線性相關性3.4向量組的秩與矩陣的秩3.5線性方程組解的判定3.6線性方程組解的結構總復習題

3.1消元法

3.1.1引例

例3.1.1解線性方程組.

解-2(1)+(2),得

x2+2x3=3

-(1)+(3),得

x2-x3=0

于是x2=x3=1,代入(4),得x1=0.于是原方程組有解

x2=x3=1,x1=0

實際上,把x2=x3=1,x1=0代入原方程組,我們會發現它們并不是原方程組的解.這里所出現的問題是:題目要求解方程組,而不是解方程.

解方程組的過程應該是方程組的同解過程,而我們中學的解方程組的過程不是方程組同解過程,而是方程的同解過程,例3.1.1應是

最后一個方程是0=-1,矛盾!故原方程組無解.

例3.1.2用消元法解線性方程組:

解對于式(3.1.1),由-2(1)+(2),-(1)+(3),得

上述消元法的過程實際上反復運用了以下三種方程組的變換過程:

(1)互換兩個方程的位置;

(2)用一個非零數k乘以某一方程;

(3)把某一方程的l倍加到另一方程中去.

定義1上述方程組的三種變換稱為線性方程組的初等變換.

可以證明:線性方程組的初等變換都是同解變換.

3.1.2增廣矩陣的初等變換

對于一般線性方程組:

定義2滿足下列條件的矩陣稱為階梯形矩陣:

(1)若矩陣有零行,則零行都在下方;

(2)各非零行的首(第一個)非零元素(稱為主元)的列數隨行數增加而嚴格遞增.

例如:

其中A,B是階梯形矩陣;C,D不是階梯形矩陣.

實際上,矩陣(3.1.5)還可以繼續進行行的初等變換,即

矩陣(3.1.6)對應方程組(3.1.3),即

亦即原方程組的解.形如(3.1.6)的矩陣稱為簡化階梯形矩陣.

定義3滿足下列條件的階梯形矩陣稱為簡化階梯形矩陣:

(1)主元全部為“1”;

(2)主元所在列其余元素為0.

在簡化階梯形矩陣中,主元“1”的位置規律性不強,如上面提到的矩陣B是簡化階梯形矩陣,但主元“1”的位置在(1,1)與(2,3).我們知道,數的加法具有交換律,所以在解線性方程組時可以交換兩元所在項的位置.對應矩陣的列交換,這樣可以得到標準簡化階梯形矩陣的概念.

定義4主元“1”的位置在(1,1),(2,2),…,(r,r)(r≥0)的簡化階梯形矩陣稱為標準簡化階梯形矩陣,其一般形式為

定理1每一矩陣都可以由行初等變換和列交換轉化為標準簡化階梯形矩陣.

證明設矩陣A=(aij)mn,若A=O,則A已是r=0的標準簡化階梯形矩陣;否則A≠O,必有元素aij≠0,交換A的1、i行與1、j列,使aij位于(1,1)位置,第1行乘以a1ij,使11位置為“1”,第1行乘以適當數加到其余各行,使其第1個元素全為0,此時A由行初等變換和列交換化為

推論每一矩陣都可以由行初等變換化為簡化階梯形矩陣.矩陣通過行初等變換化為簡化階梯形矩陣是一個非常重要的運算,如解方程組就是把方程組的增廣矩陣通過行的初等變換化為簡化階梯形矩陣.

矩陣A可以只通過初等行變換化為階梯形矩陣與簡化階梯形矩陣,其中階梯形矩陣不是唯一的,但簡化階梯形矩陣是唯一的(可以證明),而不同的階梯形矩陣和簡化階梯形矩陣中非零行的行數是相同的.

由定理1,我們可得到以下定理:

定理2若方程組(3.1.4)的增廣矩陣A=(A,B)通過行初等變換與列交換(不變常數列)化成矩陣

當線性方程組的增廣矩陣在初等行變換的過程中出現某行只有最后一個元素非零,其余元素全零時,即出現矛盾方程,此時原方程組無解.

對于有解線性方程組,當增廣矩陣由初等行變換化成簡化階梯形矩陣后,每行主元“1”對應未知量寫在等號左邊,其余對應項寫在等號右邊的線性方程組稱為原方程組的一般解.

例3.1.4解下列線性方程組:(3)增廣矩陣為

定理3齊次線性方程組(3.1.10)當m<n時有非零解.

證明由定理2,因為(3.1.10)的系數矩陣通過初等行變換化成簡化階梯形矩陣后每行主元“1”的個數r≤m<n,故定理3成立.

習題3.1．

1.對下列方程組的增廣矩陣作初等行變換求其一般解.

3.2n維向量及向量的線性表示

3.2.1n維向量的概念及線性運算定義1

n個實數組成的有序數組α=(a1,a2,…,an)稱為n維行向量.一般用小寫黑體α,β,γ

等希臘字母表示,其中ai

稱為向量α的第i個分量;稱為n維列向量,其中bi稱為向量β的第i個分量.β可寫成β=(b1,b2,…,bn)T.

行向量與列向量沒有本質的區別,只是形式上不同

矩陣中每一行(ai1,ai2,…,ain)(i=1,2,…,m)

都是n維行向量,每一列都是m維列向量.

向量相等:兩個n維行(列)向量當且僅當它們各對應分量都相等時,才是相等的,即若α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),當且僅當ai=bi(i=1,2,…,n)時,α=β.

零向量:所有分量均為零的向量稱為零向量,記為0=(0,0,…,0).

負向量:n維向量α=(a1,a2,…,an)的各分量的相反數組成的n維向量,稱為α的負向量,記為-α,即-α=(-a1,-a2,…,-an).

因為n維行向量是1×n矩陣,n維列向量是n×1矩陣,所以,矩陣的加法和數乘運算及其運算規律都適合于n維向量的運算.

向量的和:兩個n維向量α=(a1,a2,…,an)與β=(b1,b2,…,bn)的各對應分量之和組成的向量,稱為向量α與β的和,記為α+β,即

向量的數乘:n維向量α=(a1,a2,…,an)的各個分量都乘以k(k為一實數)所組成的向量,稱為數k與向量α的乘積,記為kα,即kα=(ka1,ka2,…,kan).

線性運算的算律:向量的加減及數乘稱為向量的線性運算,滿足以下8條算律.

(1)α+β=β+α;

(2)α+(β+γ)=(α+β)+γ;

(3)α+0=0+α=α;

(4)α+(-α)=0;

(5)(k+l)α=kα+lα;

(6)k(α+β)=kα+kβ;

(7)(kl)α=k(lα);

(8)1·α=α,其中α,β,γ都是n維向量,k,l為實數.

3.2.2向量組及線性組合

m個n維列向量組成的向量組(同維向量)A:α1,α2,…,αm

構成一個n×m矩陣

A=(α1,α2,…,αm

);

m個n維行向量組成的向量組(同維向量)B:β1T,β2T,…,βTm構成一個m×n矩陣B=(β1T,β2T,…,βTm)T.

定義2給定向量組A:α1,α2,…,αm,對于任何一組實數k1,k2,…,km,表達式

k1α1+k2α2+…+kmαm

稱為向量組A的一個線性組合(線性表示),k1,k2,…,km稱為這個線性組合的表示系數.

給定向量組A:α1,α2,…,αm與同維向量β,若存在一組實數k1,k2,…,km,使

β=k1α1+k2α2+…+kmαm

則向量β是向量組A的線性組合,稱向量β可由向量組A線性表出(線性表示).

(1)零向量可由任意一組同維向量線性表出:

0=0α1+0α2+…+0αm

(2)向量組A:α1,α2,…,αm中任意向量可由向量組A線性表出:

αi=0α1+…+0αi-1+1αi+0αi+1+…+0αm

(3)設ε1=(1,0,0,…,0),ε2=(0,1,0,…,0),…,εn=(0,0,…,0,1)稱為n維單位向量,則任意n維向量α=(α1,α2,…,αn)=α1ε1+α2ε2+…+αnεn.

若向量β可由向量組A:α1,α2,…,αm線性表出,即向量方程為

β=x1α1+x2α2+…+xmαm(3.2.1)

而

則向量方程(3.2.1)等價于線性方程組:

即把向量之間的線性關系轉化為線性方程組的解的問題.

定義3設有兩個向量組A:α1,α2,…,αm,B:β1,β2,…,βl,若B組中的每個向量可由向量組A線性表出,則稱向量組B可由向量組A線性表出.若向量組A與向量組B可互相線性表出,稱向量組A與向量組B等價,記作A?B.

向量組的等價滿足反身性、對稱性、傳遞性.

習題3.2

3.3向量組的線性相關性

定義對于向量組A:α1,α2,…,αm,若存在一組不全為零的數k1,k2,…,km,使關系式k1α1+k2α2+…+kmαm=0成立,則稱向量組α1,α2,…,αm線性相關;若關系式x1α1+x2α2+…+xmαm=0當且僅當x1=x2=…=xm=0時成立,則稱向量組α1,α2,…,αm線性無關.

由定義,我們得出下列結論:

單個向量α線性相關的充分必要條件是α=0;α線性無關的充分必要條件是α≠0.

兩個同維向量α,β線性相關的充分必要條件是α,β對應分量成比例;α,β線性無關的充分必要條件是α,β對應分量不成比例.

一個向量組不是線性相關必是線性無關,二者必取其一.線性相關與線性無關統稱線性相關性.

由向量組線性相關性與線性表示的定義,我們可得下面結論:

(1)向量組A:α1,α2,…,αm(m≥2)線性相關的充分必要條件是A中有一個向量是其余向量的線性組合;向量組A:α1,α2,…,αm(m≥2)線性無關的充分必要條件是A中每個向量都不是其余向量的線性組合.

(3)對于向量組A:α1,α2,…,αm,部分相關則整體相關;整體無關則部分無關.

證明在部分相關的不全為零系數的線性組合等于零向量的等式中用系數為零補齊其它向量,則得整體相關.

定理1設α1,α2,…,αs與β1,β2,…,βt是兩個向量組,如果:

(1)向量組α1,α2,…,αs可以經向量組β1,β2,…,βt線性表出;

(2)s>t,那么向量組α1,α2,…,αs必線性相關

推論1如果向量組α1,α2,…,αs可以經向量組β1,β2,…,βt線性表出,且α1,α2,…,αs線性無關,那么s≤t.

推論2兩個線性無關的等價的向量組所含向量個數相同.

推論3

m個n維向量組成的向量組A:α1,α2,…,αm,當m>n時必線性相關,特別地,n+1個n維向量必線性相關.

定理2若向量組αi=(ai1,ai2,…,ain)(i=1,2,…,m)線性無關,則其擴充組

也線性無關.

證明對于任意m個實數x1,x2,…,xm,若x1β1+x2β2+…+xmβm

=0,則

定理3若aij

n≠0,則向量組αi=(ai1,ai2,…,ain)(i=1,2,…,n)線性無關.

證明對于任意n個實數x1,x2,…,xn,若x1α1+x2α2+…+xnαn=0,則

其系數行列式ajin=aijn≠0,故方程組(3.3.2)只有零解,則αi

=(ai1,ai2,…,ain

)(i=1,2,…,n)線性無關.

習題3.3

3.4向量組的秩與矩陣的秩

定義1設n維向量組A:α1,α2,…,αs中有r個向量構成向量組,即

Aj:αj1,αj2,…,αjr

滿足:①向量組Aj:αj1,αj2,…,αjr

線性無關;②α1,α2,…,αs

中每個向量αk可由j線性表示,則稱j為向量組α1,α2,…,αs的極大無關組.

例3.4.1求向量組α1=(1,1,2),α2=(0,1,1),α3=(-1,-2,-3)的極大無關組.

解

α1,α2;α2,α3;α1,α3這三組向量的對應分量都不成比例而均線性無關.而α3=-α1-α2,α1=-α2-α3,α2=-α1-α3,可得α1,α2;α2,α3;α1,α3這三個向量組都是α1,α2,α3的極大無關組.

注意:

①向量組的極大無關組不唯一;

②極大無關組與向量組本身等價;

③由等價的性質,極大無關組所含向量的個數相等.

定義2向量組α1,α2,…,αs的極大無關組所含向量的個數,稱為這個向量組的秩,記作R(α1,α2,…,αs).

例3.4.1中,R(α1,α2,…,αs)=2.只有零向量構成的向量組無極大無關組,規定其秩為零.

1.向量組的秩與矩陣的秩的關系

矩陣的行秩與列秩的定義:矩陣的行向量組成的向量組的秩稱為矩陣的行秩;矩陣的列向量組成的向量組的秩稱為矩陣的列秩.

定理矩陣的行秩等于其列秩,都等于矩陣的秩.

證明由于矩陣的行(列)初等變換可逆,且其逆變換還是行(列)初等變換,則矩陣的初等行(列)變換不改變行(列)秩.

設矩陣A的行秩為r,則A有r行線性無關,把這r行構成的矩陣記為B,則B由初等行變換化為簡化階梯形矩陣后,非零行的行數也應是r,即每行主元“1”的總個數也應是r,故主元所在列構成的行列式值為1.又初等變換不改變矩陣的值,則A必有一個r階子式非零,故R(A)>r.

另一方面,設R(A)=s,則A必有一個s階子式非零,由這s階子式的行構成的向量組線性無關(3.3節定理3).又由3.3節定理2知,這s行在A所在的行向量線性無關,故s<r,則s=r,即矩陣的行秩等于其秩.同理等于其列秩.

2.向量組的極大無關組的性質

性質1向量組的每個極大無關組與自身等價.

性質2一個向量組的兩個極大無關組等價.

性質3等價的兩向量組的極大無關組等價,故必有相同的秩.

性質4同維向量組B:β1,β2,…,βl可由向量組A:α1,α2,…,αm

線性表出的充分必要條件是

習題3.4

1.求下列向量組的秩與極大無關組,并把其余向量用極大無關組線性表示.

3.5線性方程組解的判定

對于一般線性方程組

定理線性方程組(3.5.1)有解的充分必要條件是R(A)=R(A).在線性方程組(3.5.1)有解的情況下:

①R(A)=R(A)=r=n時解唯一;

②R(A)=R(A)=r<n時解有無窮多個.

若線性方程組(3.5.1)有解,設R(A)=R(A)=r<n,則A有一個r階子式非零,不失一般性,設A的左上角有r階子式aijr≠0,取線性方程組(3.5.1)的r個方程構成的方程組:

即

把方程組(3.5.2)的每個方程等號后面全都看做常數項,則原方程組(3.5.1)有公式解:

其中D=aijr,Dj

是D中第j列換成方程組(3.5.2)的常數項所得行列式.把Dj

按第j

列展開,得

例3.5.1

λ為何值時,下列線性方程組有唯一解、無解、無窮多解?在有無窮多解時,求其一般解.

分析對含參數線性方程組的求解,常采取以下方法:

(1)對其增廣矩陣施行初等行變換化為階梯形矩陣,然后根據系數矩陣秩與增廣矩陣秩在參數為何值時相等來判斷解的情況;

(2)當方程的個數與未知數的個數相同時,可計算系數行列式不等于零(利用克萊姆法則)時的參數值為唯一解的情況,再計算等于零時的參數值,判斷解的其它情況.

故得出以下結論:

(1)當λ≠0且λ≠±1時,r(A)=r(A)=3,原方程組有唯一解;

(2)當λ=0時,r(A)=2,r(A)=3,原方程組無解;

(3)當λ=1時,r(A)=2,r(A)=3,原方程組無解;

(4)當λ=-1時,r(A)=r(A)=2<3,原方程組有無窮多解,且

故原方程組一般解為

習題3.5

3.6線性方程組解的結構

3.6.1齊次線性方程組解的結構

齊次線性方程組的矩陣形式為

AX=O(3.6.1)

性質1若ξ1,ξ2是齊次線性方程組(3.6.1)的兩個解,則ξ1+ξ2也是它的解.

證明由已知Aξ1=O,Aξ2

=O,則A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2

=O+O=O,故ξ1+ξ2

也是方程組(3.6.1)的解.

性質2若ξ是齊次線性方程組(3.6.1)的解,則cξ也是它的解(c為常數).

證明由已知Aξ=O,則A(cξ)=cAξ=cO=O,故cξ也是(3.6.1)的解.結論:齊次線性方程組解的線性組合仍是它的解.齊次線性方程組(3.6.1)解集的極大無關組稱為方程組(3.6.1)的一個基礎解系.齊次線性方程組(3.6.1)的通解是基礎解系的線性組合.

定理若齊次線性方程組(3.6.1)的系數矩陣A的秩R(A)=r<n,則方程組的基礎解系存在,且每個基礎解系中恰含有n-r個解向量.

證明因線性方程組(3.6.1)有解,R(A)=r<n,則A有一個r階子式非零,不失一般性,設A的左上角有r階子式aijr≠0,取方程組(3.6.1)的前r個方程構成的方程組為

即

把方程組(3.6.2)的每個方程等號后面都看做常數項,則原方程組(3.6.1)有公式解:

其中D=aijr,Dj

是D中第j列換成方程組(3.6.2)的常數項所得行列式.把Dj按第j列展開,得

令(xr+1,xr+2,…,xn)T分別取單位列向量ε1,ε2,…,εn-r,得到原方程組一組解:

由于ε1,ε2,…,εn-r線性無關,則ξ1,ξ2,…,ξn-r也線性無關(3.3節定理2).對于方程組(3.6.1)的任一解X=(g1,g2,…,gn)T,則

故ξ1,ξ2,…,ξn-r是AX=O的一個基礎解系.

AX=O的通解為X=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r,其中ξ1,ξ2,…,ξn-r是AX=O的一個基礎解系.

例3.6.1求下列齊次線性方程組的基礎解系與通解.

分析求基礎解系是基本計算題,可對其系數矩陣作初等行變換得出簡化階梯形矩陣而有一般解.下面有兩種辦法得出基礎解系:①令自由變量組成的向量分別取單位向量,由一般解可得基礎解系,再得通解;②把一般解變形為所有未知數的列向量等于以自由未知數為系數的線性組合,即通解,其自由未知數的系數列向量即基礎解系.

當a=1時,四個方程變成一個方程,即方程組(3)一般解為

基礎解系為

通解為

其中a,b,c為任意數.

3.6.2非齊次線性方程組解的結構

非齊次線性方程組為

AX=β(3.6.3)

取β=O,得到對應的齊次線性方程組AX=O.對于非齊次線性方程組AX=β,我們容易得到:

性質3非齊次線性方程組的任兩解之差是其對應的齊次線性方程組的解.

性質4非齊次線性方程組的解加上對應的齊次線性方程組的解仍是該非齊次線性方程組的一個解.

定理2若AX=β有解,則其通解為

其中ξ1,ξ2,…,ξn-r

是AX=O的一個基礎解系,η*是AX=β的一個特解,r是系數矩陣A的秩.

推論在方程組AX=β有解的情況下,解是唯一的充分必要條件是它的導出組AX=O只有零解.

證明充分性:如果方程組AX=β有兩個不同的解,那么它的差就是導出組AX=O的一個非零解.因之,如果導出組AX=O只有零解,那么方程組AX=β有唯一解.

必要性:如果導出組AX=O有非零解,那么這個解與方程組AX=β的一個解(因為它有解)的和就是AX=β的另一個解,也就是說,AX=β不止一個解.因之,如果AX=β有唯一解,那么它的導出組AX=O只有零解.

故其一般解為

就是所給方程組對應齊次線性方程組的一個基礎解系.因此所給方程組的通解為

其中k1,k2,k3

為任意常數.

習題3.6

1.求下列齊次線性方程組的基礎解系與通解.

總復習題

第4章特征值與特征向量4.1向量的正交性與4.2整系數多項式的4.