專題04一元二次方程的解法（因式分解法）（2個知識點4種題型2個易錯考點中考2種考法）【目錄】倍速學(xué)習五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：因式分解法（重難點）知識點2：靈活運用合適的方法解一元二次方程（難點）【方法二】實例探索法題型1：利用因式分解法解一元二次方程（1）利用提公因式法（2）利用平方差公式（3）利用完全平方公式（4）十字相乘法因式分解題型2：選擇合適的方法解一元二次方程題型3：一題多解——解一元二次方程題型4：由兩方程的公共根求方程中字母的值【方法三】差異對比法易錯點1：在方程兩邊同時除以含有未知數(shù)的式子，導(dǎo)致丟根。易錯點2：用因式分解法解一元二次方程時，忽略整體取值范圍導(dǎo)致出錯【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1：用因式分解法解一元二次方程考法2：解一元二次方程與三角形綜合【方法五】成果評定法【倍速學(xué)習五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：因式分解法（重難點）（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟①將方程右邊化為0；

②將方程左邊分解為兩個一次式的積；

③令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；

④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點詮釋：

（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.知識點2：靈活運用合適的方法解一元二次方程（難點）例1.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）；（3）；（4）．【方法二】實例探索法題型1：利用因式分解法解一元二次方程利用提公因式法例2.方程：的較小的根是（ ）A． B． C． D．例3.解關(guān)于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．（2）利用平方差公式例4.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．例5.解關(guān)于的一元二次方程：．（3）利用完全平方公式例6.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；十字相乘法因式分解例7.用合適的方法解下列關(guān)于的方程：（1）；（2）；題型2：選擇合適的方法解一元二次方程例8.解關(guān)于的方程（合適的方法）：（1）；（2）．例9.解關(guān)于的方程（合適的方法）：（1）；（2）．題型3：一題多解——解一元二次方程例10.（2022秋?昆都侖區(qū)期末）解方程：x2+2x＝3．（用兩種方法解方程）題型4：由兩方程的公共根求方程中字母的值例11.方程的解相同，求的值．例12.已知方程有共同的根是，求a的值．【方法三】差異對比法易錯點1：在方程兩邊同時除以含有未知數(shù)的式子，導(dǎo)致丟根。例13.解關(guān)于的方程：（1）；（2）（3）． 易錯點2：用因式分解法解一元二次方程時，忽略整體取值范圍導(dǎo)致出錯例14.如果，請你求出的值．【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1：用因式分解法解一元二次方程1．（2022?臨沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4 C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣42．（2022?包頭）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則x1?x22的值為（）A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或63．（2022?天津）方程x2+4x+3＝0的兩個根為（）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣34．（2022?梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是．5．（2022?云南）方程2x2+1＝3x的解為．6．（2022?涼山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．7．（2022?貴陽）（1）a，b兩個實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示．用“＜”或“＞”填空：ab，ab0；（2）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習了一元二次方程的三種解法；它們分別是配方法、公式法和因式分解法，請從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程．①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．考法2：解一元二次方程與三角形綜合8．（2021?雅安）若直角三角形的兩邊長分別是方程x2﹣7x+12＝0的兩根，則該直角三角形的面積是（）A．6 B．12 C．12或 D．6或9．（2021?黔西南州）三角形兩邊的長分別為2和5，第三邊的長是方程x2﹣8x+15＝0的根，則該三角形的周長為．10．（2021?廣安）一個三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長是方程x2﹣6x+8＝0的根，則這個三角形的周長為．【方法五】成果評定法一、單選題1．（2023秋·江蘇·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的根為（

）A．或 B．或 C．或 D．2．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知，則的值為（）A．0 B．4 C．4或 D．3．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考期中）解方程）最適當?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢．直接開方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法4．（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考階段練習）方程的解是（

）A． B．C． D．5．（2011秋·江蘇·九年級統(tǒng)考期中）已知，，且，則的值為（）A．4 B． C．或1 D．或4二、填空題6．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）如果滿足一元二次方程，則代數(shù)式的值是______．7．（2022秋·江蘇·九年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測）已知關(guān)于x的方程（a、m、p為常數(shù)，）的解是，，那么方程的解為____．8．（2022秋·江蘇連云港·九年級校考階段練習）已知是一元二次方程的一個根，則方程的另一個根是______．9．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項為，則______．10．（2022秋·江蘇南京·九年級校考期中）已知一元二次方程的兩個根分別是的兩邊長，則第3條邊長___________．11．（2022春·江蘇淮安·九年級校考階段練習）已知等腰三角形兩邊長分別是方程兩根，求此等腰三角形的周長_____．12．（2023秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）三角形兩邊的長為3和4，第三邊長是方程的根，則該三角形的周長是______．三、解答題13．（2022秋·江蘇鹽城·九年級濱海縣第一初級中學(xué)校聯(lián)考階段練習）解方程．(1)；(2)．14．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）解下列方程(1)(2)(3)15．（2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）解方程：(1)(2)16．（2023秋·江蘇揚州·九年級校考期末）用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?1)；(2)．17．（2023春·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）定義一種新的運算方式：（其中且n是整數(shù)），例如，．(1)若，求n的值；(2)記，當時，求n的取值范圍．18．（2022秋·九年級課時練習）轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的一種極其重要的數(shù)學(xué)思想，實質(zhì)是把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題．例如，解方程x4－3x2－4＝0時，我們就可以通過換元法，設(shè)x2＝y(tǒng)，將原方程轉(zhuǎn)化為y2－3y－4＝0，解方程得到y(tǒng)1＝－1，y2＝4，因為x2＝y(tǒng)≥0，所以y＝－1舍去，所以得到x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．請參考例題解法，解方程：．19．（2021秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，回答問題：解方程，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋獾茫敃r，，；當時，，；原方程有四個根：，，，．仿照上面方法，解方程：．20．（2022秋·江蘇南京·九年級南師附中樹人學(xué)校校考階段練習）閱讀下面的材料，回答問題：(1)將關(guān)于x的一元二次方程+bx+c＝0變形為＝﹣bx﹣c，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項式，從而達到“降次”的目的，我們稱這樣的方法為“降次法”．已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______．(2)解方程，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設(shè)＝y(tǒng)，那么，于是原方程可變?yōu)椋?），解得＝1，＝4．當y＝1時，＝1，∴x＝±1；當y＝4時，＝4，∴x＝±2；∴原方程有四個根．請你用（2）中的方法求出方程的實數(shù)解．21．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，解決問題：解方程，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋獾茫敃r，，∴；當時，，∴；∴原方程有四個根：，，，．請參照例題，解方程．22．（2022秋·江蘇南京·九年級校考階段練習）解題時，最容易想到的方法未必是最簡單的，你可以再想一想，盡量優(yōu)化解法．【例題呈現(xiàn)】關(guān)于x的方程的解是，（均為常數(shù)，），則方程的解是．【解法探討】（1）小明的思路如圖所示，請你按照他的思路解決這個問題：（2）小紅仔細觀察兩個方程，她把第二個方程中的“”看做第一個方程中的“x”，則“”的值為，從而更簡單地解決了問題．【策略應(yīng)用】（3）小明和小紅認真思考后認為，利用方程結(jié)構(gòu)的特點，就能輕松解決以下問題，請用他們說的方法解決如下問題：已知，求出的值．23．（2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，回答問題：解方程，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常采用換元法降次：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋獾茫敃r，，∴；當時，，∴；∴原方程有四個根：，，，．仿照上述換元法解下列方程：．24．（2021秋·江蘇揚州·九年級校考期末）閱讀下列材料：為解方程可將方程變形為然后設(shè)，則，原方程化為①，解①得，．當時，無意義，舍去；當時，，解得；∴原方程的解為，；上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題．利用以上學(xué)習到的方法解下列方程：（1）；（2）．25．（2021秋·江蘇常州·九年級常州市北郊高級中學(xué)校考期中）我們知道，解一元二次方程，可以把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解，其實用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想我們還可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x（x2+x﹣2）＝0，通過解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝．（2）用“轉(zhuǎn)化”的思想求方程＝x的解．（3）試直接寫出的解．26．（2022秋·江蘇·九年級期中）【閱讀材料】求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為的形式．求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組；求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解；求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為，解方