關于絕對值不等式的解法PPT第1頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三復習：如果a>0，則

|x|<a的解集是(-a,a)；

|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)Oa-axO-aax|x|<a|x|>a第2頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三1.含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集.不等式a>0a=0a<0|x|<a_______________|x|>a___________________________{x|-a＜x＜a}??{x|x＞a或x＜-a}{x∈R|x≠0}R2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法.(1)|ax+b|≤c?____________.(2)|ax+b|≥c?__________________.-c≤ax+b≤cax+b≥c或ax+b≤-c第3頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三1.不等式|x－1|＜2的解集是_____.【解析】由|x－1|＜2得－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.答案：(－1,3)2.不等式|4－3x|≥2的解集是_____.【解析】|4－3x|≥2?|3x－4|≥2?3x－4≤－2或3x－4≥2，解得或x≥2.答案：第4頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三解含絕對值不等式的核心任務解含絕對值不等式的核心任務是：去絕對值，將不等式恒等變形為不含絕對值的常規不等式，然后利用已經掌握的解題方法求解；注意不可盲目平方去絕對值符號.第5頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三類型一簡單絕對值不等式的解法

1.不等式的解集是_____.2．不等式的解集為______.【解析】1.解得2≤x≤6.答案：［2,6］第6頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【拓展提升】絕對值不等式的常見類型及其解法(1)形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a∈R)型不等式.

此類不等式的簡單解法是等價轉化法，即①當a>0時，|f(x)|<a?-a<f(x)<a.|f(x)|>a?f(x)>a或f(x)<-a.②當a=0時，|f(x)|<a無解.|f(x)|>a?f(x)≠0.③當a<0時，|f(x)|<a無解.|f(x)|>a?f(x)有意義即可.第7頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三(2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式.

此類問題的簡單解法是利用平方法，即

|f(x)|<|g(x)|?［f(x)］2<［g(x)］2?［f(x)+g(x)］［f(x)-g(x)］<0.(3)形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式.

此類不等式的簡單解法是等價轉化法，即①|f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x),②|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)可正也可負).

若此類問題用分類討論法來解決，就顯得較復雜.第8頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三(4)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式.

此類問題的簡單解法是利用等價轉化法，即

a<|f(x)|<b(0<a<b)?a<f(x)<b或-b<f(x)<-a.(5)形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式.

此類問題的簡單解法是利用絕對值的定義，即

|f(x)|<f(x)?x∈?，

|f(x)|>f(x)?f(x)<0.第9頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三類型二含多個絕對值不等式的解法

【典型例題】1.不等式|x－1|＞|x－2|的解集為______.2.不等式|x+1|+|x-1|≥3的解集為______.【變式練習】若將題1中的不等式改為求它的解集.第10頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三探究提示：1.題1中可采用不等式兩邊同時平方的方式去掉絕對值符號.2.解決題2的關鍵是理解絕對值的幾何意義.【解析】1.|x－1|＞|x－2|?(x－1)2＞(x－2)2所以原不等式的解集為答案：第11頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三2.方法一：如圖,設數軸上與-1,1對應的點分別為A,B,那么A,B兩點間的距離為2,因此區間［-1,1］上的數都不是不等式的解.設在A點左側有一點A1到A,B兩點的距離和為3,A1對應數軸上的x.所以-1-x+1-x=3,得同理設B點右側有一點B1到A,B兩點的距離和為3，B1對應數軸上的x,所以x-1+x-(-1)=3.所以第12頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三從數軸上可看到，點A1，B1之間的點到A，B的距離之和都小于3；點A1的左邊或點B1的右邊的任何點到A，B的距離之和都大于3，所以原不等式的解集是第13頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三方法二：當x≤-1時,原不等式可以化為-(x+1)-(x-1)≥3,解得當-1＜x＜1時,原不等式可以化為x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,無解.當x≥1時,原不等式可以化為x+1+x-1≥3.所以綜上,可知原不等式的解集為第14頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三方法三：將原不等式轉化為|x+1|+|x-1|-3≥0.構造函數y=|x+1|+|x-1|-3,即作出函數的圖象(如圖).函數的零點是從圖象可知當或時,y≥0.即|x+1|+|x-1|-3≥0.所以原不等式的解集為答案：第15頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.(1)利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現數形結合思想,理解絕對值的幾何意義,給絕對值不等式以準確的幾何解釋.(2)以絕對值的零點為分界點,將數軸分為幾個區間,利用“零點分段法”求解，體現分類討論的思想.確定各個絕對值符號內多項式的_______性，進而去掉絕對值符號.(3)通過構造函數，利用函數的圖象求解，體現了函數與方程的思想.正確求出函數的_____并畫出函數圖象(有時需要考查函數的增減性)是關鍵.

正、負零點第16頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【互動探究】若將題1中的不等式改為求它的解集.【解析】又2－x≥0，所以x≤2.所以原不等式的解集為【誤區警示】本題易忽視隱含條件2-x≥0而致誤.第17頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【拓展提升】|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法(1)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式有三種解法：分區間(分類)討論法\,圖象法和幾何法.分區間討論的方法具有普遍性,但較麻煩;幾何法和圖象法直觀,但只適用于數據較簡單的情況.第18頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三(2)分區間(分類)討論的關鍵在于對絕對值代數意義的理解,即也即x∈R.x為非負數時,｜x｜為x;x為負數時,｜x｜為-x,即x的相反數.第19頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三(3)｜x-a｜+｜x-b｜≥c,｜x-a｜+｜x-b｜≤c(c>0)型不等式的圖象解法和畫出函數f(x)=｜x-a｜+｜x-b｜-c的圖象是密切相關的,其圖象是折線,正確地畫出其圖象的關鍵是寫出f(x)的分段表達式.不妨設a<b,于是這種圖象法的關鍵是合理構造函數,正確畫出函數的圖象,求出函數的零點,體現了函數與方程結合、數形結合的思想.第20頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

其他類型的絕對值不等式【典型例題】1.不等式｜2x-3｜＜3x+1的解集是_____.2.設函數f(x)=|x-1|+|x-a|,如果對任意x∈R,f(x)≥2,則a的取值范圍是_______.3.解不等式：|x2－3|＜2x.第21頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【解析】1.|2x-3|<3x+1,由題意知3x+1>0,原不等式轉化為-(3x+1)<2x-3<3x+1.以上不等式等價于所以原不等式的解集為答案：第22頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三2.若a=1,則f(x)=2|x-1|,不滿足題設條件.若a<1,則?f(x)的最小值為1-a.若a>1,則?f(x)的最小值為a-1.綜上可知，所求a的取值范圍是(-∞,-1］∪［3,+∞).答案：(-∞,-1］∪［3,+∞)第23頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三3.因為|x2－3|＜2x，所以x＞0，所以|x2－3|＜2x?－2x＜x2－3＜2x?解不等式組得第24頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【拓展提升】含參數的不等式問題分類及解題策略(1)一類要對參數進行討論，另一類對參數并沒有進行討論，而是去絕對值時對變量進行討論，得到兩個不等式組，最后把兩不等式組的解集合并，即得該不等式的解集.(2)解絕對值不等式的基本思想是想方設法去掉絕對值符號，去絕對值符號的常用手段有以下幾種：形如｜f(x)｜≤g(x)或｜f(x)｜>g(x)的求解方法：(ⅰ)根據實數的絕對值的意義分類討論，第25頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三即(ⅱ)根據公式：|x|<a?-a<x<a(a∈R且a>0);｜f(x)｜<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x);|x|>a?x>a或x<-a(a∈R且a≥0);｜f(x)｜>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).(ⅲ)根據|a|2=a2(a∈R)，若不等式兩邊非負,可在不等式兩邊同時平方,如｜f(x)｜≤｜g(x)｜?f2(x)≤g2(x).

第26頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【規范解答】含參數的絕對值不等式的解法【規范解答】因為a∈R,故分以下兩種情況討論：(1)當a+1≤0①,即a≤-1時，原不等式無解，即不等式的解集為?第27頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三(2)當a+1>0,即a>-1時，……………………6分原不等式可變為-a-1<2x+3<a+1.……………8分所以………10分綜上可知，當a>-1時，原不等式的解集為②當a≤-1時，原不等式的解集為?.

………12分第28頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【防范措施】含參數的絕對值不等式解含參數的絕對值不等式的題型，容易忽略對參數的符號進行討論，如本例需對a+1的符號進行討論，否則易導致錯誤結果.

第29頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三1.解關于x的不等式：|x2-a|<a.【解析】1.當a≤0時，不等式的解集為?.當a>0時，原不等式等價于-a<x2-a<a?0<x2<2a,所以綜上所述，當a≤0時，原不等式的解集為?;當a>0時，原不等式的解集為2.若不等式|ax