1資料總離差平方和與自由度的分解；

2列出方差分析表，計算各項均方和F值，進行F檢驗，以判斷各變異因素的影響大小；

3若F檢驗顯著，則進行多重比較。方差分析的基本步驟歸納如下兩因素方差分析

【例1】對某地區5類海產食品中無機砷含量進行檢測，測定結果見表1，其中藻類以干重計，其他4類以鮮重計。試分析不同類型海產品的砷含量差異是否顯著。

2.1各處理重復數相等的方差分析表1五種不同類型海產品中無機砷含量0.57兩因素方差分析

這是一個單因素試驗，k=5，n=7。現對此試驗結果進行方差分析：

1、計算各項平方和與自由度兩因素方差分析2、列出方差分析表，進行F檢驗

表2不同類型海產品無機砷含量方差分析表兩因素方差分析根據df1=dft=4,df2=dfe=30查臨界F值得：F0.05(4,30)=2.69，F0.01(4,30)=4.023、多重比較采用新復極差法SSR因為F＞F0.01(4,30)，即P＜0.01，表明品種間無機砷含量差異達到1%顯著水平，有極顯著差異。兩因素方差分析

因為MSe=0.0084，n=7，所以為：根據dfe=30，秩次距k=2，3，4，5由附表6查出α=0.05和α=0.01的各臨界SSR值，乘以，即得各最小顯著極差，所得結果列于表2。兩因素方差分析

表3SSR值及LSR值兩因素方差分析表4不同類型海產品無機砷含量差異重比較結果(SSR法)結論：藻類中無機砷含量極顯著高于貝類、軟體類、甲殼類以及魚類；貝類、軟體類、甲殼類3種海產品無機砷含量差異不顯著，但均極顯著高于魚類。類型平均數/（mg/kg）差異顯著性α=0.05α=0.01藻類（D）1.341aA貝類（B）0.637bB軟體類（E）0.636bB甲殼類（C）0.613bB魚類（A）0.393cC兩因素方差分析第三節兩因素試驗的

方差分析考查兩個因素對試驗指標的影響情況兩因素方差分析3.1交叉分組資料的方差分析

設試驗考察A、B兩個因素，A因素分a個水平，B因素分b個水平。所謂交叉分組是指A因素每個水平與B因素的每個水平都要搭配，兩者交叉搭配形成ab個水平組合即處理，試驗因素A、B在試驗中處于平等地位

。如果將試驗單元分成ab個組，每組隨機接受一種處理，因而試驗數據也按兩因素兩方向分組，這種試驗數據資料稱為兩向分組資料，也叫交叉分組資料。分無重復觀測值和重復觀測值兩種類型。兩因素方差分析對于A、B兩個試驗因素的全部ab個水平組合，每個水平組合只有一個觀測值（無重復），全試驗共有ab個觀測值，其數據模式如表5所示。3.1.1兩因素無重復試驗資料的方差分析兩因素方差分析

表5兩因素無重復觀測值的試驗數據模式注：A因素有a個水平，B因素有b個水平，共計有ab個水平組合，每一組合觀測一次，有ab個觀測值（表5），xij為A的第i水平與B的第j水平組合觀測值。兩因素方差分析A的第i水平b個觀測值之和A的第i水平b個觀測值的平均數B的第j水平a個觀測值之和B的第j水平a個觀測值的平均數ab個觀測值的總和ab個觀測值的總平均數兩因素方差分析

兩因素無重復觀測值試驗資料的數學模型為：

式中，μ為總平均數；(5-26)αi，βj分別為Ai、Bj的效應；

αi=μi-μ，βj=μj-μ，

μi、μj分別為Ai、Bj觀測值總體平均數，且Σαi=0，Σβj=0；

εij為隨機誤差，相互獨立，且服從N(0，σ2)兩因素方差分析A因素的每個水平有b次重復，B因素的每個水平有a次重復，每個觀測值同時受到A、B兩因素及隨機誤差的作用。因此全部ab個觀測值的總變異可以分解為A因素水平間變異、B因素水平間變異及試驗誤差三部分；自由度也相應分解。離差平方和與自由度的分解如下：兩因素方差分析

矯正數總平方和

A因素離差平方和

B因素離差平方和各項離差平方和與自由度的計算公式為:

誤差平方和SSe=SST-SSA-SSB

總自由度dfT=ab-1A因素自由度dfA=a-1B因素自由度dfB=b-1

誤差自由度dfe=dfT

-dfA–dfB

=(a-1)(b-1)兩因素方差分析相應均方為兩因素方差分析【例2】某廠現有化驗員3人，擔任該廠牛奶酸度（°T）的檢驗。每天從牛奶中抽樣一次進行檢驗，連續10天的檢驗分析結果見表6。試分析3名化驗員的化驗技術有無差異，以及每天的原料牛奶酸度有無差異（新鮮牛奶的酸度不超過20°T

）。化驗員B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10xi.xi.A111.7110.8112.3912.5610.6413.2613.3412.6711.2712.68121.3312.13A211.7810.712.512.3510.3212.9313.8112.4811.612.65121.1212.11A311.6110.7512.412.4110.7213.113.5812.8811.4612.94121.8512.19x.j35.1032.2637.2937.3231.6839.2940.7338.0334.3338.27364.3x.j11.7010.7512.4312.4410.5613.1013.5812.6811.4412.76表6牛奶酸度測定結果兩因素方差分析A因素（化驗員）有3個水平，即a=3；B因素（天數）有10個水平，即b=10，共有a×b=3×10=30個觀測值。1計算各項離差平方和與自由度兩因素方差分析兩因素方差分析兩因素方差分析2列出方差分析表，進行F檢驗

表7資料的方差分析表變異來源SSdfMSF值顯著性化驗員間0.028320.01420.550日期間26.759192.9732115.240**誤差0.4635180.0258合計27.250929

結果表明，3個化驗員的化驗技術沒有顯著差異，不同日期牛奶的酸度有極顯著差異。注：F0.01(9,18）=3.60兩因素方差分析3多重比較在兩因素無重復觀測值試驗中，A因素每一水平的重復數恰為B因素的水平數b，故A因素的標準誤為；同理，B因素的標準誤對例5-4分析，a=3，MSe=0.0258。故根據dfe=18，秩次距k=2，3，…，10，查臨界q值，計算最小顯著極差LSR，見表8。兩因素方差分析

表8q值與LSR值dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.280.3833.614.70.340.4444.005.090.370.4754.285.380.400.5064.495.60.420.5274.675.790.430.5484.825.940.450.5594.966.080.460.57105.076.20.470.58兩因素方差分析B因素各水平均值多重比較結果見表9測定日期x.jx.j-10.56x.j-10.7511.4411.7012.4312.4412.6812.7613.10B713.583.02**2.832.141.881.151.140.900.820.48B613.102.542.351.661.400.670.660.420.34B1012.762.202.011.321.060.330.320.08B812.682.121.931.240.980.250.24B412.441.881.691.000.740.01B312.431.871.680.990.73B111.701.140.950.26B911.440.880.69B210.750.19B510.56表9不同測定日牛奶酸度多重比較結果（q法）兩因素方差分析處理均值5%顯著水平1%極顯著水平B713.58

a

AB613.10

b

ABB1012.76

bc

BCB812.68

bc

BCB412.44

c

CB312.43

c

CB111.70

d

DB911.44

d

DB210.75

e

EB510.56

e

E附表：多重比較結果字母表示兩因素方差分析

結果表明，除B2與B5，B1與B9，B4與B3，B8與B3、B4，B10與B3、B4、B8差異不顯著外，其余不同測定日間牛奶酸度均差異極顯著或顯著。酸度最高的是B7，最低的是B5和B2。從牛奶質量要求看，連續10d的牛奶酸度均在鮮奶范圍內。兩因素方差分析

在進行兩個因素或多個因素的試驗時，除了要研究每一個因素對試驗指標的影響外，往往更希望知道因素之間的交互作用對試驗指標的影響情況。通過研究環境溫度、濕度、光照、氣體成分等環境條件對導致食品腐爛變質的酶和微生物的活動的影響有無交互作用，對有效控制酶和微生物活動，保持食品質量有著重要意義。兩因素方差分析

兩個因素無重復觀測值試驗只適用于兩個因素間無交互作用的情況；若兩因素間有交互作用，則每個水平組合中只設一個試驗單位(觀察單位)的試驗設計是不正確的或不完善的。這是因為：

(1)在這種情況下，SSe,dfe實際上是A、B兩因素交互作用平方和與自由度，所算得的MSe是交互作用均方，主要反映由交互作用引起的變異。

(2)這時若仍按前述方法進行方差分析，由于誤差均方值大（包含交互作用在內），有可能掩蓋試驗因素的顯著性，從而增大犯Ⅱ型錯誤的概率。

(3)每個水平組合只有一個觀測值，無法估計真正的試驗誤差，因而不可能對因素的交互作用進行研究。兩因素方差分析交互作用交互作用：在多因素試驗中一個因素對試驗結果的影響依賴于另一因素所取的水平時，稱兩因素有交互作用。在多因素對比試驗中，某些因素對指標的影響往往是互相制約、互相聯系的。即在試驗中不僅因素起作用，而且因素間有時聯合起來起作用，這種聯合作用并不等于各因素單獨作用所產生的影響之和，稱這種聯合作用為交互作用。例：某農場對四塊大豆試驗田作施肥試驗。每塊田以不同的方式施以磷肥和氮肥，其產量如下：可以看出當施氮肥和不施氮肥時，施以4公斤磷肥后的增產數量是不同的當施磷肥和不施磷肥時，施以6公斤氮肥后的增產數量是不同的若N,P分別起作用時增產為50,30kg。但同時施時其效果并不是50+30=80kg，而是增產560-400=160kg，增加的80公斤則為交互作用的效果。P1=0P2=4P2-P1N1=040045050N1=6430560130N2-N130110兩因素方差分析

對兩因素和多因素等重復試驗結果進行分析，可以研究因素的簡單效應、主效應和因素間的交互作用（互作效應）。3.2兩因素等重復試驗的方差分析兩因素方差分析下一張

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三種效應1．簡單效應（simpleeffect）是指在某一因素同一個水平上，比較另一因素不同水平對試驗指標的影響。兩因素方差分析三種效應2．主效應（maineffect）是指某一因素各水平間的平均差別。它與簡單效應的區別是，主效應指的是某一因素各水平間的平均差別是綜合了另一因素各水平與該因素每一水平所有組合的情況。兩因素方差分析三種效應3.互作效應（interactioneffect）如果某一因素的各簡單效應隨另一因素的水平變化而變化，而且變化的幅度超出隨機波動的程度，則稱兩個因素間存在互作效應。兩因素方差分析

設A、B兩因素，A因素有a個水平，B因素有b個水平，共有ab個水平組合，每個水平組合有n次重復試驗，則全試驗共有abn個觀測值。試驗結果的數據模式如表10所示。兩因素等重復試驗的方差分析兩因素方差分析表10兩因素等重復觀測值試驗數據模式

兩因素方差分析A因素B因素Ai合計xi..B1B2…BbA1x1jlx111x121…x1b1x112x122…x1b2x1..x113x123…x1b3…………x11nx12n…x1bnx1j.x11.x12.x1b.x1j.x11.x12.x1b.A2………………………………兩因素等重復試驗數據模式（部分）兩因素方差分析表10中每個組合處理n

次重復之和B因素第j水平an個數據之和abn個數據總和A因素第i水平bn個數據之和兩因素方差分析其中，為總平均數；

αi為Ai的效應；

βj為Bj的效應；

(αβ)ij為Ai與Bj的互作效應。(5-32)兩因素等重復試驗資料的數學模型為:分別為Ai、Bj、AiBj觀測值總體平均數；且兩因素方差分析3.2.1離差平方和與自由度分解其中，SSA×B，dfA×B為A因素與B因素交互作用平方和與自由度。

為隨機誤差，相互獨立，且服從N（0，σ2）。兩因素方差分析

若用SSAB，dfAB表示A、B水平組合間的平方和與自由度，即處理間平方和與自由度，則處理引起的變異可進一步剖分為A因素、B因素及A、B交互作用三部分，于是SSAB、dfAB可分解為：

兩因素方差分析矯正數

總平方和與自由度因素水平組合平方和與自由度A因素平方和與自由度各項平方和、自由度及均方的計算公式如下：B因素平方和與自由度兩因素方差分析

交互作用平方和與自由度誤差平方和與自由度所以，相應均方為因素A的方差因素B的方差A、B互作的方差誤差方差兩因素方差分析3.2.2列方差分析表，進行F檢驗兩因素方差分析FA顯著，應對A因素各水平的平均數作多重比較，其平均數標準誤為：FB顯著，應對B因素各水平的平均數作多重比較，其平均數標準誤為：FAB顯著，應對各組合的平均數作多重比較，其平均數標準誤為：

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3.2.3多重比較兩因素方差分析配方（A）食品添加劑（B）B1B2B3A1876875866A2978997866A37810779689表113種食品添加劑對3種不同配方蛋糕質量的影響【例3】現有3種食品添加劑對3種不同配方蛋糕質量的影響試驗結果，試作方差分析兩因素方差分析A因素（配方）有3個水平，即a=3；B因素（食品添加劑）有3個水平，即b=3；共有ab=3×3=9個水平組合；每個水平組合重復數n=3；全試驗共有=3×3×3=27個觀測值。

（1）計算各項平方和與自由度

兩因素方差分析兩因素方差分析兩因素方差分析變異來源平方和自由度均方F值顯著性A因素間6.2323.125.29*B因素間1.5620.781.32AxB22.2145.559.41**誤差10.67180.59總變異40.6726表12方差分析表（2）列出方差分析表，進行F檢驗查臨界F值：F0.05（2,18）=3.55，F0.01（2,18）=6.01；

F0.01（4,18）=4.58。因為，FA＞F0.05(2,18）；FB<F0.05(2,18）；FA×B＞F0.01（4,18），表明不同配方、食品添加劑與配方的互作對蛋糕質量有顯著或極顯著影響，而食品添加劑間的差異不顯著。因此，應進一步進行不同處理均數間、配方各水平均數間的多重比較。兩因素方差分析

①配方因為A因素各水平的重復數為bn，故A因素各水平的標準誤為：對本例而言，（3）多重比較由dfe=18，秩次距k=2,3，從附表5中查出SSR0.05與SSR0.01的臨界值，計算LSR值，結果列于表13。兩因素方差分析

表13配方各水平均數比較SSR值與LSR值dfe秩次距SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.761.0433.124.270.801.09處理均值5%顯著水平1%極顯著水平A3

7.9

a

AA2

7.7

a

ABA1

6.8

b

B表14配方間平均數多重比較結果（SSR法）

因素A主效應分析，結果表明配方A3與A1之間差異極顯著，A2與A1差異顯著，A2與A3差異不顯著。兩因素方差分析

因B因素各水平的重復數為an，故B因素各水平的標準誤為：在本例，B因素的影響不顯著，不必進行多重比較。

以上所進行的多重比較，實際上是A、B兩因素主效應的檢驗。若A、B因素交互作用不顯著，則可從主效應檢驗中分別選出A、B因素的最優水平，得到最優水平組合；若A、B因素交互作用顯著，則應進行水平組合平均數間的多重比較，以選出最優水平組合，同時可進行簡單效應的檢驗。兩因素方差分析

因為水平組合數通常較大(本例ab=4×4=16)，采用最小顯著極差法進行各水平組合平均數的比較，計算較麻煩。為了簡便起見，常采用LSD法。兩因素方差分析

因為水平組合的重復數為n，故水平組合的標準誤為：本例

②各水平組合平均數間的比較兩因素方差分析水平組合均值5%顯著水平1%極顯著水平A3B39.3

a

AA2B18.7

ab

ABA1B18.0

abc

ABA3B27.7

bc

ABCA2B27.3

bc

BCA2B37.0

cd

BCA1B26.7

cd

BCA3B16.7

cd

BCA1B35.7

d

C表15個水平組合平均數多重比較結果（SSR法）分析結果表明，A3B3，A2B1，A1B1為優組合，按此組合選用配方和添加劑可望得到較好的蛋糕質量。兩因素方差分析

以上的比較結果可以看出，當A、B因素的交互作用顯著時，一般