等比數列的前項和（第一課時）一、教材分析本節課選自《普通高中課程標準數學教科書數學（5）》（人民教育出版社B版）第二章2.3.2節第一課時。《等比數列前n項和》這一節內容是在學生學習了等差數列、等比數列的概念及通項公式、等差數列的前n項和公式的基礎上進行的，是進一步學習數列知識和解決一類求和問題的重要基礎和有力工具。它不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，具有一定的探究性，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等數學思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養。二、學情分析從學生的思維特點看,很容易把本節內容與等差數列的前n項和公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是：本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q=1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。教學對象是剛進入高二的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹。三、教學目標依據課程標準，結合學生的認知水平和年齡特點，確定本節課的教學目標如下：知識與技能目標：理解等比數列的前n項和公式的推導方法；掌握等比數列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題．過程與方法目標：以數學故事為切入點，通過數據計算、公式的推導過程，提高學生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優化思維品質．情感與態度目標：通過數學故事、趣味數學問題，激發學生的學習興趣，鼓勵學生大膽嘗試、勤于思考、敢于創新品質，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的嚴謹美．閱讀數學人物故事，感受往圣前賢孜孜不倦追求科學真理的品質，激勵學生求知創新的欲望.四、教學重點和難點重點：等比數列的前項和公式的推導及其簡單應用．從教材體系來看，它為后繼學習提供了知識基礎，具有承上啟下的作用；從知識特點而言，蘊涵豐富的思想方法；就能力培養來看，通過公式推導教學可培養學生的運用數學語言交流表達的能力.突出重點方法：“抓三線、突重點”，即(一)知識技能線：情境故事→公式推導→公式運用；（二）過程與方法線:特殊到一般、具體到抽象→錯位相減法等；（三）能力線：觀察能力→解決問題能力→靈活運用能力及嚴謹態度.難點：等比數列的前項和公式的推導．從學生認知水平來看，學生的探究能力和用數學語言交流的能力還有待提高.從知識本身特點來看，等比數列前n項和公式的推導方法和等差數列的的前n項和公式的推導方法可比性低，無法用類比的方法進行，它需要對等比數列的概念和性質能充分理解并融會貫通，而知識的整合對學生來說恰又是比較困難的，而且錯位相減法是第一次碰到，對學生來說是個新鮮事物.五、教學方法利用多媒體等輔助教學，采用啟發和探究-建構教學相結合的教學模式.六、教學過程1.創設情境，提出問題學生聆聽歌曲《要嫁就嫁灰太狼》，觀看動畫片《喜洋洋和灰太狼》話說灰太狼為研究新型捕羊設備，急需大量資金，于是就找喜洋洋幫忙。“我第一天借你1萬元，第二天借你2萬元，第三天借你3萬元，每天都比前一天多借你1萬元，連續借你一個月。而你只需還款的時候，第1天還我1元，第2天還我2元，第3天還我4元…，每天返還的錢數是前一天的2倍，連續還我一個月，就好啦。哇，發財了……”灰太狼心里越想越美……再看看喜洋洋的表情，心里又嘀咕了：“這小羊老是欺騙我，會不會又在耍我？請你幫灰太狼分析一下，按照喜洋洋的投資方式，30天內喜洋洋借給灰太狼多少錢？灰太狼又該返還給喜洋洋多少錢？設計意圖：設計這個情境目的是在引入課題的同時激發學生的興趣，調動學習的積極性．故事內容緊扣本節課的主題與重點．此時設問：同學們，你們知道30天內喜洋洋借給灰太狼多少錢？灰太狼又該返還給喜洋洋多少錢？帶著這樣的問題，學生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和．這時我對他們的這種思路給予肯定．設計意圖：在實際教學中，由于受課堂時間限制，教師舍不得花時間讓學生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學生的認知規律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個教學關鍵處學生難以轉過彎來，因而在教學中應舍得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學生學習的障礙．同時，形成繁難的情境激起了學生的求知欲，迫使學生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學埋下伏筆.2.師生互動，探究問題在肯定他們的思路后，我接著問：喜羊羊每天借給灰太狼的錢與灰太狼每天的還款額分別構成了什么數列1，2，22，…，229是什么數列？應歸結為什么數學問題呢？探討1：，記為（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯系？（學生會發現，后一項都是前一項的2倍）探討2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2則有，記為（2）式．比較（1）(2）兩式，你有什么發現？經過比較、研究，學生發現：（1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到：．老師指出：這就是錯位相減法，并要求學生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？設計意圖：經過繁難的計算之苦后，突然發現上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數學的興趣和學好數學的信心．3.類比聯想，解決問題這時我再順勢引導學生將結論一般化，這里，讓學生自主完成，并喊一名學生上黑板，然后對個別學生進行指導．設計意圖：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感．對不對？這里的q能不能等于1？等比數列中的公比能不能為1？q=1時是什么數列？此時sn=？（這里引導學生對q進行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學打下基礎．）再次追問：結合等比數列的通項公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出來？（引導學生得出公式的另一形式）設計意圖：通過反問精講，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變為對知識的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力．這一環節非常重要，盡管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用．4.及時練習，熟練應用例1【莊子·天下篇】中有這樣一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。怎樣用學過的知識來說明它？例2.例3設計意圖：本例由書中的例題改編而成，利用等比數列通項公式和等比數列求和公式快速解答，“知三求二”體現方程思想,有利于提高思維的靈活性和計算準確性.例3考察分類討論思想，體現本節課的重點與難點。5.變式訓練,深化認識首先，學生獨立思考，自主解題，再請學生匯報結果，最后幻燈演示他們的解答，其它同學進行評價，然后師生共同進行總結．設計意圖：采用變式教學設計題組，深化學生對公式的認識和理解，通過直接套用公式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學生新的數學認知結構的形成．通過以上形式，讓全體學生都參與教學，以此培養學生的參與意識和競爭意識．6.課后作業，分層練習1、必做題:P51A2，B1,22、趣味題“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，試問尖頭幾盞燈？”3、推導等比數列前n項和公式還有什么方法？設計意圖：以疑導思，激發學生的探索欲望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍.另一種種方法其實就是關于的一個遞推式，遞推數列有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學生的思維發展有促進作用.7.結束語不積跬步無以至千里，不積小流無以成江海，每天的一點點進步,長期堅持下去，就會變成一筆巨大的財富！設計意圖：以名句結束，讓學生體會前賢古人對科學孜孜不倦的追求精神，領略中國古代數學的無窮魅力，最后將懸念疑問留給學生去思索，激發學生的求知熱情，也讓有限的課堂延展到課堂之外。七、教學設計說明1．情境設置趣味化.本著新課程的教學理念，考慮到高二學生的心理特點，采用歷史故事的形式創設問題情景，意在營造生動活潑的學習氣氛，激發學生的探究欲.2．問題探究活動化．教學中本著以學生發展為本的理念，充分給學生想的時間、說的機會以及展示思維過程的舞臺，通過合作探究、師生交流，發展學生的數學觀察能力和語言表達能力，展示學生解決問題的思想方法，共享學習成果。3．鞏固提高梯度化．例1例2由教科書中的例題改編而成，并進行適當的變式,可以提高學生的分析的能力。例2變式突出表現五個基本量“知三求二”的關系，通過公式的正用和逆用進一步提高學生運用知識的能力；例3考察分類討論數學思想的應用4．作業布置彈性化．通過布置彈性作業，為學有余力的學生提供進一步發展的空間．介紹相關網站讓學生查閱有關資料，有利于豐富學生的知識，拓展學生的視野，提高學生的數學素養．5.課后閱讀人文化.通過人物故事激勵學生開拓創新，設有疑問將有限的課堂時間延展到課余時間，激發學生對數學學習的無線熱情和動力。八、教后反思本節課主要有兩個方面的內容，一是求等比數列前n項和的方法，即錯位相減法；二是等比數列前n項和的公式。由于學生初次學習，以前沒有接觸過錯位相減法方法，所以要想讓學生自己總結出錯位相減這一方法應該是比較困難的，所以我先從簡單的多項式化簡，構造兩個類似的例子讓學生自己比較它們的結構出發，給他們一個直觀的感受。為拿出錯位相減做鋪墊。在教學中，學生也確實通過兩個例子的比較，比較容易的總結出了這個方法。所以由學生自己來給出前n項和公式也就順理成章了，拿出前n項和公式后，學生總習慣于直接套用公式而忽視對公式的分情況討論，所以一定要反復強調。我意識到在強調公式的時候只是從公式本身出發是不夠的，學生理解的也很模糊，所以在這里加上實際的例子效果還不錯。后面在講解例題的時候由于時間關系，沒有在黑板上進行細致的演算，一帶而過，高估了學生的計算能力。總之，結合新課程的教學理念進行相應的課后反思，努力上好每堂課，我相信可以不斷提高業務能力和水平，從而更好地服務于學生。學情分析從學生的思維特點看,很容易把本節內容與等差數列的前n項和公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是：本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q=1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。教學對象是剛進入高二的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹。效果分析本節課一開始學生聆聽歌曲《要嫁就嫁灰太狼》，觀看動畫片《喜洋洋和灰太狼》,成功激發學生的學習興趣,提高學生的學習積極性.在推導公式過程中,我先從簡單的多項式化簡，構造兩個類似的例子讓學生自己比較它們的結構出發，給他們一個直觀的感受。為拿出錯位相減做鋪墊。在教學中，學生也確實通過兩個例子的比較，比較容易的總結出了這個方法。所以由學生自己來給出前n項和公式也就順理成章了，拿出前n項和公式后，學生總習慣于直接套用公式而忽視對公式的分情況討論，所以一定要反復強調。我意識到在強調公式的時候只是從公式本身出發是不夠的，學生理解的也很模糊，所以在這里加上實際的例子效果還不錯。總之,通過學生的練習及板書,對學生的掌握還是比較滿意的。教材分析本節課選自《普通高中課程標準數學教科書數學（5）》（人民教育出版社B版）第二章2.3.2節第一課時。《等比數列前n項和》這一節內容是在學生學習了等差數列、等比數列的概念及通項公式、等差數列的前n項和公式的基礎上進行的，是進一步學習數列知識和解決一類求和問題的重要基礎和有力工具。它不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，具有一定的探究性，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等數學思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養。當堂檢測1、等比數列{an}的各項都是正數，若a1＝81，a5＝16，則它的前5項的和是（）A．179B．211C．243D．2752．等比數列1，x，x2，x3，…的前n項和Sn為()A.eq\f(1－xn,1－x)B.eq\f(1－xn－1,1－x)C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn,1－x)，x≠1,n，x＝1))D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn－1,1－x)，x≠1,n，x＝1))設計意圖：1．在等比數列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，其中首項a1和公比q為基本量，且“知三求二”．2．前n項和公式的應用中，注意前n項和公式要分類討論，即q≠1和q＝1時是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情況．課后反思“等比數列的前n項和”教學反思：作為一名高中數學教師來說,上好每一堂課，要充分挖掘教材，要從“教”的角度去看數學,還要對教學過程以及教學的結果進行反思。高中數學不少教學內容適合于開展研究性學習；教學組織形式是教學設計關注的一個重要問題,提煉出本節課的研究主題。對學生來說,學習數學的一個重要目的是要學會數學的思想。他不僅要能"做",還應當能夠教會別人去“做”。以下是我對本次課教學的一些反思:本節課主要有兩個方面的內容，一是求等比數列前n項和的方法，即錯位相減法；二是等比數列前n項和的公式。由于學生初次學習，以前沒有接觸過錯位相減法方法，所以要想讓學生自己總結出錯位相減這一方法應該是比較困難的，所以我先從簡單的