第07講空間向量的應用【題型歸納目錄】題型一：求平面的法向量題型二：利用向量研究平行問題題型三：利用向量研究垂直問題題型四：異面直線所成的角題型五：線面角題型六：二面角題型七：距離問題【知識點梳理】知識點一：直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量：點A是直線l上的一個點，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點O，則點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使或，這就是空間直線的向量表達式.知識點詮釋：（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應用，可以參與向量運算或向量的坐標運算．2、平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量，那么過點A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.知識點詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應用時，可適當取平面的一個法向量．已知一平面內兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．3、平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數法求解，一般步驟如下：（i）設出平面的法向量為；（ii）找出（求出）平面內的兩個不共線的向量的坐標，；（iii）根據法向量的定義建立關于x、y、z的方程；（iv）解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．知識點二：用向量方法判定空間中的平行關系空間中的平行關系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行設直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉化為相應的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識點三、用向量方法判定空間的垂直關系空間中的垂直關系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直設直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據線面垂直的判定定理轉化為直線與平面內的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據面面垂直的判定定理轉化為證相應的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．知識點四、用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則．知識點詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當兩方向向量的夾角是鈍角時，應取其補角作為兩異面直線所成的角．（2）求直線和平面所成的角設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（3）求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角．①當法向量與的方向分別指向二面角的內側與外側時，二面角的大小等于的夾角的大?。诋敺ㄏ蛄康姆较蛲瑫r指向二面角的內側或外側時，二面角的大小等于的夾角的補角的大小．知識點五、用向量方法求空間距離1、求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發的平面的任一條斜線段對應的向量；③求出法向量與斜線段向量的數量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2、線面距、面面距均可轉化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．3、點線距設直線l的單位方向向量為，，，設，則點P到直線l的距離.【典例例題】題型一：求平面的法向量例1．（2023·廣東廣州·高二廣州市培正中學校考期中）如圖，在棱長為3的正方體中，點在棱上，且．以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．求平面的一個法向量.

例2．（2023·高二課時練習）在棱長為2的正方體中，E，F分別為棱的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：(1)平面的一個法向量；(2)平面的一個法向量.例3．（2023·高二課時練習）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當的空間直角坐標系，求平面PCD的一個法向量.題型二：利用向量研究平行問題例4．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點.分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D﹣xyz.

(1)求點E、F的坐標；(2)求證：EF∥平面ACD1.例5．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點在棱上，點為，證明：直線平面.例6．（2023·高二課時練習）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點．求證：平面平面.例7．（2023·高二課時練習）已知棱長為1的正方體在空間直角坐標系中的位置如圖所示，分別為棱的中點，求證：.題型三：利用向量研究垂直問題例8．（2023·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習）如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點.(1)求證：.(2)求證：平面.例9．（2023·高二課時練習）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E為BB1的中點，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.例10．（2023·高二課時練習）如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點．求證：平面DEA⊥平面ECA.例11．（2023·高二課時練習）如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點M是線段AP上一點，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.例12．（2023·高二課時練習）如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD.例13．（2023·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體中，分別是的中點，建立適當的空間直角坐標系，證明：．

題型四：異面直線所成的角例14．（2023·貴州銅仁·高二統考期末）已知正四棱柱中，，，點，分別是和的中點，是線段的中點，則直線和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．例15．（2023·湖北武漢·高二校聯考期中）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例16．（2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學?？茧A段練習）如圖所示，已知正方體，，分別是正方形和的中心，則和所成的角是（

）A． B． C． D．例17．（2023·廣東深圳·高二統考期末）在三棱錐中，平面，，，則直線與夾角的余弦值是（

）A． B．C． D．例18．（2023·北京順義·高二牛欄山一中?？计谥校┤鐖D，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（1）求證：AB⊥A1C；（2）在棱AA1上是否存在一點F，使得異面直線AC1與BF所成角為60°，若存在，求出AF長；若不存在，請說明理由．例19．（2023·河南安陽·高二校考階段練習）如圖：在三棱錐中，底面，，點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，.（1）求證：平面；（2）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.題型五：線面角例20．（2023·廣東深圳·高二深圳中學?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面，，底面為直角梯形，，，，點在棱上，且．

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．例21．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期中）如圖，在長方體中，，，，交于點E.(1)證明：直線平面；(2)求AD與平面所成角的正弦值.例22．（2023·河南平頂山·高二統考期末）如圖所示，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，.(1)求證：平面；(2)若E為PC的中點，求與平面所成角的正弦值.例23．（2023·廣西柳州·高二柳州地區高中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，M為PC中點．(1)求證：平面MBD；(2)若，求直線BM與平面AMD所成角的正弦值．例24．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學?？计谥校┧睦忮F中，底面，四邊形是正方形，.(1)求證：平面平面；(2)設點為棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值.例25．（2023·福建莆田·高二莆田華僑中學校考期中）在三棱柱中，平面平面，側面為菱形，，，，E是的中點.(1)求證：平面；(2)點P在線段上（異于點，），與平面所成角為，求的值.題型六：二面角例26．（2023·江西萍鄉·高二統考期末）如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點.

(1)證明：平面平面；(2)求銳二面角的余弦值.例27．（2023·山東濱州·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點E在棱PB上．

(1)證明：平面平面PBC；(2)當時，求二面角的余弦值．例28．（2023·河南洛陽·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，且直線PB與CD所成角的大小為．

(1)求BC的長；(2)求二面角的余弦值．例29．（2023·廣東深圳·高二深圳中學?？计谥校┤鐖D，在斜三棱柱中，側面與側面都是菱形，．(1)證明：；(2)若，求二面角的正弦值．例30．（2023·湖南株洲·高二統考期末）如圖，四邊形是正方形，平面，，，，為的中點．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦.例31．（2023·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學?？茧A段練習）在四棱錐中，，，，，．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值．例32．（2023·四川廣安·高二廣安二中校考期中）如圖，在三棱錐中，底面．，D為中點，且．(1)求的長；(2)求銳二面角的余弦值．例33．（2023·福建南平·高二?？茧A段練習）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱BC的中點，AB=4，AA1=3.(1)證明：A1D⊥B1C1；(2)若E為棱AB上一點，且滿足A1E⊥DE，求二面角A-A1E-C的正弦值例34．（2023·江西南昌·高二南昌二中?？茧A段練習）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，，，點F為PB中點，點E在邊BC上移動．(1)求證：平面AFC；(2)若二面角的大小為60°，則CE為何值時，三棱錐的體積為．例35．（2023·云南昆明·高二統考期末）如圖，在直三棱柱中，側面為正方形，，，M，N分別為和的中點，為棱上的點.(1)證明：；(2)是否存在點D，使得平面與平面夾角的余弦值為？如果不存在，請說明理由；如果存在，求線段的長.例36．（2023·湖北·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，點E為棱PC的中點，．(1)證明：平面PAD；(2)在棱PC上是否存在點F，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．題型七：距離問題例37．（2023·廣東廣州·高二廣州市培正中學?？计谥校┤鐖D，已知四棱錐的底面是菱形，對角線，交于點，，，，底面，設點是的中點．

(1)直線與平面所成角的正弦值；(2)點到平面的距離.例38．（2023·高二課時練習）如圖，設在直三棱柱中，，，E，F依次為的中點．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；(2)求點到平面AEF的距離．例39．（2023·河南漯河·高二?？计谀┰诶忾L為4的正方體中，點P在棱上，且．(1)求直線與平面所成的角的正弦值大??；(2)求點P到平面的距離．例40．（2023·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學?？计谥校┤鐖D，正方體的棱長為2，點為的中點．(1)求點到平面的距離為；(2)求到平面的距離．例41．（2023·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯考期末）如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．例42．（2023·江蘇淮安·高二淮陰中學校聯考階段練習）已知點，若點和點在直線上，則點到直線的距離為___________.例43．（2023·安徽池州·高二池州市第一中學校聯考階段練習）已知點，若，兩點在直線l上，則點A到直線l的距離為______.例44．（2023·高二課時練習）如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中點，M是棱CC1上的點，且CC1=3CM，則直線BM與B1N之間的距離為____.例45．（2023·湖南懷化·高二校聯考期末）正方體中，棱長為，則直線與的距離為__________．【過關測試】一、單選題1．（2023·廣東江門·高二江門市培英高級中學校考期中）已知直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則＝（）A．﹣3 B．3 C．6 D．92．（2023·高二課時練習）正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．3．（2023·高二課時練習）如圖，已知正方體的棱長為a，設，則（

）A． B． C． D．4．（2023·高二課時練習）已知平面α的一個法向量，點在α內，則到α的距離為（

）A．10 B．3C． D．5．（2023·江蘇常州·高二校聯考期中）下列說法正確的是（

）A．若向量、共線，則向量、所在的直線平行；B．若向量、所在的直線是異面直線，則向量、一定不共線；C．若直線l的方向向量為，平面的法向量，則l；D．若、、是空間三個向量，則對空間任一向量，總存在唯一的有序實數組，使.6．（2023·江蘇·高二校聯考階段練習）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，=λ，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則異面直線A1F與BE所成角θ的余弦值為（

）

A． B． C． D．7．（2023·江西景德鎮·高二景德鎮一中?？计谥校┰诶忾L為2的正方體中，E，F分別為AD，BC的中點，為線段EF上的一動點，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2023·湖南婁底·高二湖南省新化縣第一中學校考期末）如圖，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分別為PD，PB的中點，點G在線段AP上，AC與BD交于點O，，若平面，則（

）A． B． C． D．1二、多選題9．（2023·江蘇·高二南師大二附中校聯考階段練習）下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關系的結論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，則B．直線的方向向量，平面的法向量是，則C．兩個不同的平面的法向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則10．（2023·高二課時練習）下列命題是真命題的有(

)A．A，B，M，N是空間四點，若不能構成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經過三點，是平面α的法向量，則u+t＝111．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學?？计谥校cP在正方體的側面及其邊界上運動，并保持，若正方體邊長為，則的可能取值是（

）A． B． C． D．12．（2023·廣西·高二校聯考期中）如圖，為正方體，邊長為1，下列說法正確的是（

）

A．平面 B．到面的距離為C．異面直線與的距離為 D．異面直線與的夾角為三、填空題13．（2023·廣東廣州·高二廣州市培正中學?？计谥校┰诳臻g直角坐標系中，已知點，，若點在軸上，且，則M的坐標是_____________.14．（2023·高二課時練習）矩形ABCD中，，平面ABCD，且，則