1.1認識三角形(2)新知導入

定義

圖示垂線線段中點角平分線OBAAB當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線把一條線段分成兩條相等的線段的點一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線復習回顧，引入新知（一）新知講解

如圖，若OC是∠AOB的平分線，你能得到什么結論？ACBO∠AOC=∠BOC在三角形中，一個內角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段，叫做三角形的角平分線．ABCD∵AD是△ABC(∠BAC)的角平分線，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC.三角形的角平分線：（二）三角形的角平分線是一條線段幾何語言：新知講解任意剪一個三角形，用折疊的方法，畫出這個三角形的三條角平分線，你發現了什么？自主探索，合作交流（二）任取一張三角形紙片ABC，把∠BAC對折，使角的兩邊重合，得到一條折痕AD,把三角形紙片展開、鋪平，試問：AD平分∠BAC嗎？DABC①三角形有3條角平分線且均在三角形的內部；②三角形的三條角平分線相交于一點

這個交點稱為三角形的內心。新知講解如圖，如果點C是線段AB的中點，你能得到什么結論？ACBAC=BC=AB在三角形中，連結三角形的一個頂點與該頂點對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線．ADCB∴BD=CD=BC三角形的中線：∵AD是△ABC的BC邊上的中線，三角形的中線是一條線段幾何語言：新知講解任意剪一個三角形，用折疊的方法，找出三條邊的中點，畫出三條中線，你發現了什么？（二）①三角形有3條中線且均在三角形的內部；②三角形的3條中線相交于一點

這個交點稱為三角形的重心。新知講解如圖，從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線。ABCD垂足注意：標明垂直的記號和垂足的字母.∵AD是△ABC的BC邊上的高線，∴AD⊥BC

（∠BDA=∠ADC=90°）三角形的角平分線是一條線段幾何語言：AD其實是點A到直線AB的最小值新知講解在一個三角形中有幾條高線？請每位同學在不同類型的三角形中畫一畫，與同伴交流你發現了什么？ABCDFOEABCD銳角三角形的三條高線交于同一點，都在三角形的內部.直角三角形的三條高線交于直角頂點鈍角三角形的三條高線不相交于一點，三條高線所在直線交于一點（二）新知講解三角形的三條高的特性：高所在的直線是否相交高之間是否相交高在三角形內部的數量鈍角三角形直角三角形銳角三角形311相交相交不相交相交相交相交三條高所在直線的交點的位置三角形內部直角頂點三角形外部注意：上述結論反過來也成立。例1：如圖，AE是在△ABC的角平分線。已知∠B=45°,∠C=60°,求下列角的大小：(1)∠BAE解:(1)∵AE是在△ABC的角平分線,ABCE∴∠CAE=∠BAE=∠BAC∵∠BAC+∠B+∠C

=180°∴

∠BAC=1800-∠B-∠C=1800-450-600=750，∴

∠BAE=750÷0.(2)∠AEB(2)∵∠AEB+∠BAE+∠B=1800.又∠0，∠B=450.∴∠AEB=18000-450

0【例2】在△ABC中,AD是△ABC的高,AE是△ABC的角平分線.已知∠BAC=80°,∠C=40°,求∠DAE的大小.解：∵AE是△ABC的角平分線，且∠BAC=80°，∴∠EAC=∠BAC=40°.∵AD是△ABC的高線，∴∠ADC=90°.∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°，∠C=40°（三）∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-40°=50°.∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=50°-40°=10°.ABDEC例3：已知△ABC中，AC=5cm。中線AD把△ABC分成兩個小三角形，這兩個小三角形的周長的差是2cm。你能求出AB的長嗎？AB<AC解:

∵AD是△ABC的中線,∴BD=CD∵△ABD的周長=AB+BD+AD,△ACD的周長=AC+CD+AD,∴△ABD的周長-△ACD的周長=AB-AC,

當AB＞AC時，AB-AC=2cm，∵

AC=5cm,

當AC＞AB時，AC-AB=2cm，同理得,AB=5-2=3(cm)

∴AB=7cm,AB>AC下列各陰影部分的面積有何關系？例4：如圖，在△ABC中,AE、AD分別是BC邊上的中線和高.試判斷△ABE和△AEC的面積有何關系？解：相等。∵AE是BC邊上的中線，∴BE=EC。∵AD是△ABC的BC邊上的高,∴AD也是△ABE的BE邊上的高和△AEC的EC邊上的高。∵S△ABE=×BE×AD,

S△ACE=×BE×AD,

∴S△ABE

=S△ABE等底同高或同底等高的兩個三角形面積相等。三角形一邊上的中線把該三角形分成面積相等的兩部分。例3：已知△ABC中，AC=5cm。中線AD把△ABC分成兩個小三角形，這兩個小三角形的周長的差是2cm。你能求出AB的長嗎？AB<AC

提問：上題中，其他條件不變。若增加條件：△ABD的面積為8，則(1)△ADC的面積為____,(2)△ABC的面積為_______

8AB>AC

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例2：如圖，已知：△ABC中，BD、CE分別是△ABC的兩條角平分線，相交于點O。(1)當∠ABC=600,∠ACB=800時，求∠BOC的度數.(2)當∠A=400時，求∠BOC的度數.解:

(1)∵BD,CE分別是△ABC的角平分線,∴∠OBC=∠ABC∴∠OBC=∠ACB∵∠ABC=600，∠ACB=800.

∴∠OBC=600÷2=300.∴∠OCB=800÷2=400.∵∠OBC+∠BOC+∠BOC=1800.∴∠OBC=1800-300-400=1100

例2：如圖，已知：△ABC中，BD、CE分別是△ABC的兩條角平分線，相交于點O。(1)當∠ABC=600,∠ACB=800時，求∠BOC的度數.(2)當∠A=400時，求∠BOC的度數.(3)當∠A=x0時，求∠BOC的度數(用含

x的代數式表示).解:

(2)∵BD,CE分別是△ABC的角平分線,∴∠OBC=∠ABC∠OBC=∠ACB∵∠ABC+∠ACB+∠A=1800.∠A=400∴∠ABC+∠ACB=1800-∠A=1800-400=1400.∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB(∠ABC+∠ACB)=1400÷2=700.

∵∠OBC+∠BOC+∠BOC=1800.

∴∠OBC=1800-700=1100

例2：如圖，已知：△ABC中，BD、CE分別是△ABC的兩條角平分線，相交于點O。(1)當∠ABC=600,∠ACB=800時，求∠BOC的度數.(2)當∠A=400時，求∠BOC的度數.(3)當∠A=x0時，求∠BOC的度數(用含x的代數式表示).解:

(3)∵BD,CE分別是△ABC的角平分線,∴∠OBC=∠ABC∴∠OBC=∠ACB∵∠ABC+∠ACB+∠A=1800.∠A=x0∴∠ABC+∠ACB=1800-∠A=(180-x)0.∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB(∠ABC+∠ACB)(180-x)0=(90-x)0∵…結論等底同高或同底等高的兩個三角形面積相等。因此三角形一邊上的中線把這個三角形分成面積相等的兩部分。看圖填空1.在如圖所示的網格中，每個小長方形的長為2，寬為1，A,B兩點在格點上，若點C也在格點上，那么以A,B,C為頂點面積為2的三角形有________個.2.已知：在△ABC中，E為BC上一點，EC=2BE,D為AC的中點，若S△ABC=12，則S△ADF-S△BEF=______.A.BABCD