§4.2彈性力學平面問題的有限元法有限元求解基本原理彈性力學的有限元分析計算可分為三個步驟:1結構離散化這是有限元法的基礎，用由有限個方位不同但幾何性質及物理性質均相似的單元組成的集合體來代替原來的連續體或結構。每個單元僅在節點處和其他單元及外部有聯系。對于不同的問題，根據自身的特點，可選用不同類型的單元。對同一問題也可以分別或同時選用多種單元。§4.2彈性力學平面問題的有限元法例：飾一個妄受載正的懸淘臂梁稱和用庭三角狡形單音元離五散化禮的模謝型真實慰系統有限梅元模遵型離散有限車元模暖型由園一些添簡單寶形狀朗的單黑元組促成，斑單元予之間乖通過銹節點舌連接蓬，并為承受擇一定斤載荷君。注意段：1)節點任是有場限元犧法的缸重要偷概念積，有江限元鍬模型攜中，乖相鄰偉單元需的作院用通鴿過節沫點傳概遞，閃而單惹元邊憲界不評傳遞律力，頂這是揚離散宗結構推與實侵際結唐構的駐重大隊差別蹦；2）節充點力邊與節是點載考荷的基差別單元：即來原始摸結構兆離散零后，冤滿足咸一定箱幾何封特性妹和物下理特已性的菌最小淡結構肆域節點：單齊元與獄單元乘間的尺連接顆點。節點統力：單慰元與蘆單元畫間通橋過節割點的柴相互犧作用攏力。節點始載荷：作幼用于渴節點鹿上的療外載火。節點錫自由她度(DO冊Fs)：用棵于描校述一泳個物陶理場婚的響獨應特顫性。分離普但節巾點重婦疊的攏單元A和B之間昌沒有夾信息造傳遞校（需洪進行剃節點耽合并被處理給）信息穴是通雁過單注元之盛間的立公共比節點鋤傳遞堤的。具有若公共含節點錢的單線元之盟間存客在信址息傳防遞非法輸結構喘離散不同怕材料節點苗不合瀉法典型丘單元謊類型單元類型單元形狀節點數節點自由度桿單元22梁單元23平面單元32平面四邊形42軸對稱問題32板殼單元43四面體單元432.單元薄分析主要炸內容腐：由節點薪位移求內千部任顏意點啊的位蹄移，功由節漠點位存移求單元步應變司，應幸力和辜節點沈力。3.整體痕分析(1棟)由節影點平意衡方匪程，宰建立千以整剝體剛旋度矩活陣[K]為系求數的右，整渣體節庸點位附移c99pzsu和外遷載{R}的關懂系式——整體秋平衡便方程。(2彈)考慮旱幾何副邊界羞條件方，修睬改總聽體剛逢度矩辮陣，閘求解串全部襪未知寄位移遵分量悶。a)受拉陡階梯汽桿示些意圖①u1u2u3E(1),A(1)②F3123E(2),A(2)l(1)l(2)R1x二.有緩限棋元碌求策解歐基趁本遞原堵理(一維黨問題)引例:用有朱限元蘭法求攔圖1所示括受拉眨階梯撈桿的多位移擾和應屋力。譽已知會桿截持面面暫積A(1市)=2玻×1幟0-4m2，A(2概)=1誰×1膛0-4m2，各翻段桿知長l(1利)=l(2炭)=0努.1律m；材會料彈擊性模街量E(1化)=E(2左)=2舍×1逮07Pa，作刑用于菌桿端丟的拉菠力F3=1韻0N。1.單元菌劃分根據旺材料最力學體的平嶺面假阿設，澤等截曠面受姑拉桿柄的同退一截路面可散認為藍具有惑相同暑的位筋移和述應力訂，即私位移句只與概截面鄉豐的軸璃向坐紀標(x)有關墳，所擦以可粥將階脊梯桿降看作柳由兩廣個“一維管單元”組蝕成，替同一毫個單剪元內崖截面艷面積炸及材岡料特葬性不遲變。爪最簡油單的緒情況毀是，窮每一豆個單唉元有潑兩個宰節點螞，他舉們分傳別位難于單罰元兩授端。們相鄰膛兩單傾元靠猛公共鞠節點辦聯結鮮。受懲拉階腥梯桿翠就簡男化為周由兩螺個一維維單猴元和跨三個施節點虜構成賣的有咳限單相元模盟型。圖中供①和雹②是上單元故號，1,困2,闊3是節匯點號。取鉛節點席位移跌作為郵基本束未知膠量，典應力壇由求母得的飾節點飯位移礦算出驗。c)單元眨圖b)有限緊元模帽型①u1E(1),A(1)Node1Node2l(1)R1u2u2u3②F3Node3E(2),A(2)l(2)Node2uiAeEeNodeiNodejlePiujPjx圖5-翁6②①1232.確定鬼單元偵插值并函數(形函喚數)有限湊元法心將整吸個求例解域宣離散農為一果系列淘僅靠跡公共劑節點浮聯結刪的單嫩元，著而每丹一個晚單元娘本身企卻視秧為光情滑連蔥續體賢。單元削內任親一點只的場蓄變量(如位至移)可由西本單嗽元的保節點刑值根兩據場附變量綁在單狠元中漸的假純定分核布規錫律(插值途函數)插值范求得統。本例截中，姜每單框元有緣瑞兩個危節點彼，采富用線浴性插見值。孩圖c是一轎典型貍單元贈圖，秤兩節腿點分樓別為i和j，節川點場巴變量踏值分春別記烏為ui和uj。設單寧元中龍坐標襲為x處的填場變芝量為u(x)。單元揭的位醋移場仁為u(x)，龍由兩毒個端拋點的融位移俗來進店行線向形插沉值確睬定，弦設u(x)為：(1摔.a真)單元節點條件：

(1.b)將節點條件(1.b)帶入(1.a)，可以求得a0和a1：

(1.c)則其中N(x)叫做形狀高函數社矩陣(s艇ha活pe摘f棚un帽ct遠io騰n溝ma炊tr質ix周),為qe叫做節點返位移營列陣(n綢od胡al捆d矮is蛇pl厲ac理em川en附t弟ve酒ct下or柿),即(2席)形函貝數矩擾陣的吃分量賤數目勁應與某單元超自由黎度數畏目相殿等3.單元稍方程(單元預節點堡位移痰與節盒點力砌的關鬧系)由等姑截面吹桿變需形與認拉力念的關攔系(虎克差定律)得到(3掠)式中被，Pi和Pj分別萌為作宴用于架單元e的節褲點i和節點j的節扁點力掛。式(3迫)寫成折矩陣系形式浪為：(4鍋)或簡峰記為栗：[k]eqe=Pe(5僅)[k]e常稱首為單元屋剛度曉矩陣(s柜ti表ff息ne仍ss院m騾at塊ri崇x恰of隨e腰le被me省nt耐)，簡頑稱單系元剛蝴陣:Pe={PiPj}T稱為邊單元節點巷力列省陣(n狐od宣al綿f歲or章ce峽v第ec偉to魄r)。式(5襲)稱為單元唐方程。到目歲前為墻止，圓單元待方程(4姨)或(5刊)尚不爬能求銷解，盈因為俱節點免力列共陣Pe尚屬耕未知斬。Pe的分撥量Pi和Pj為相鄰莊單元加作用倆于單劈燕元e的節臂點i和j的力盯，即屬于遼單元層之間財的作濟用力頸。只劑有將公具有拾公共踏節點島的單元遮“組痛集”棄在一蘭起才釘能確若定上露述節憐點力該和節池點外載閱荷之販間的漂關系撕。4.單元頌組集建立代總體鉛方程膝組為雙獲得戰總體集方程組，傭必須索先將殊單元嬸方程罪按照南局部盜自由啦度(ui和uj)和總體跌自由描度(u1、u2和u3)的對烏應關即系進究行擴慣展。①u1E(1),A(1)Node1Node2l(1)R1u2u2u3②F3Node3E(2),A(2)l(2)Node2iijj單元1i=1;j=2單元局部坐標全局坐標單元2i=2;j=3(6餡)式中楚，各谷項上猛角碼滑表示褲單元趨序號竟；下養角碼森表示蕉自由秀度及總體丟序號澇。具體銜來說虹，單元1的擴屠展方傅程為：(7霸)由于敵相鄰旦兩單浴元公蹄共節兔點上好的基悅本場殃變量酷（位患移）弦相同啞，所姓以可鞭將擴練展后岡的各懲單元救方程婚相加島。單元2的擴因展方裙程為：(8朱)將式(6舊)和式(7優)相加遙得：(9路)組集騙后的純結果枕簡記冠為：Kq=P式中駱，K稱為頭總體倡特性成矩陣(常稱切為總狗體剛晝度矩摸陣和健總剛傍陣)，P稱為租總體脊節點棍載荷統列陣判。需指染出的焰是，振對單網元的一個昂公共坦節點援而言核，除瓦了有董相鄰相單元怖作用萍于該址節點逼的力返之外宮，還惹可能霧有做戲用于迅該節夾點的嶺外載典荷。若簽一節點紡上無懇外載宜荷作練用(如本臨例中牧節點2)，則機說明長各相靈鄰單鹽元作饅用于修該節湖點的吧力是育平衡秧的，差即該東節點凱的節點嘉合力資為零。上述群組集瀉過程很可記蛾為：有限元模型單元總數若某節點沸上有搭外載功荷作彼用(如節蜜點3)，則掌各單飲元作行用于該節氣點的設內力鞏和(即方感程(8廟)中第3式左嚴端項塵的負暮值)與該贊節點腳的外醬載荷(F3)相平受衡，即泄：(1醬0)即，遇列陣F各分篇量的皆含義服是作鉆用于柿相應呼自由按度(節點界位移)上的艱節點充外載珍荷。畢將相霧應數骨據代獎入式(8夠)得：(1妖1)上式爆即為前本題風的總佛體線邊性代遷數方擁程組炎，但泰不能悶獲得叼唯一報解，通因為慕上式況中的矩陣葉是奇私異的。這勒種奇傅異性陵不是說因數映據巧疊合造喬成的騾，而掛是有餅其必待然性掛。原聲因在萄于總而體方毒程組滔式(8協)只考搬慮了耕力平玩衡條摔件，繡而只遮根據蕉力平洋衡不鄙能唯鞭一地譽確定紫系統螺的位凍移，因站為系礦統在轟有任惱意剛娃性位恢移的該情況混下仍詠可處邊于力通平衡瀉狀態擾。為敏獲得宰各節厭點位磨移的視唯一腳解，準必須罰消除質可能倡產生恰的剛秋體位哈移，哈即必須厲計入心位移枯邊界牙條件。本題大的位涌移邊乘界條釋件為u1=0拿,那么芽，式(1強1)中只皺剩下便兩個離待求襯的自鉛由度u2和u3。也就乒是說，拜可從辛式(1飛1)中消翼去一弓個方綁程。驗譬如懼，舍去堂第一臉個方煎程并焦將u1=焰0代入弦后得非：(1蝴2)解得取：u2=2未.5頂×1構0-4m；u3=7匆.5樸×1副0-4m。q=[u1u2u3]T=腿[0蟲2.成5×址10-47.化5×抱10-4]Tm.這與絹材料召力學石求得珍的結輛果相踢同。5.計入早邊界蝦條件橋，解掠方程絨組應變跌的表腹達由幾必何方吧程得筑知，1D單元歸中任普一點勉的應屈變(1倚3)其中(1表4)B(x)稱為單元斤應變波矩陣，或絡稱為幾何活函數脊矩陣(s憂tr裂ai唐n-范di贈sp幼la涂ce烤me脫nt惹m辯at欲ri冤x)桂.6.計算鑄單元雙應變過和應楊力(1岔5)其中(1樣6)S(x)叫做應力臉矩陣(s杏tr芒es衫s-東d