第11講函數的奇偶性1．了解函數奇偶性的含義，了解奇函數、偶函數的圖象的對稱性；2．會用定義判斷函數的奇偶性；3．會依據函數的奇偶性進行簡單的應用。一、函數奇偶性的定義1、奇函數：如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數是奇函數，圖象關于原點對稱2、偶函數：如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數是偶函數，圖象關于軸對稱。偶函數的性質：，可避免討論．二、判斷函數奇偶性的常用方法1、定義法：若函數的定義域不是關于原點對稱，則立即可判斷該函數既不是奇函數也不是偶函數；若函數的定義域是關于原點對稱的，再判斷與之一是否相等.2、驗證法：在判斷與的關系時，只需驗證=0及是否成立.3、圖象法：奇（偶）函數等價于它的圖象關于原點（軸）對稱.4、性質法：兩個奇函數的和仍為奇函數；兩個偶函數的和仍為偶函數；兩個奇函數的積是偶函數；兩個偶函數的積是偶函數；一個奇函數與一個偶函數的積是奇函數.5、分段函數奇偶性的判斷判斷分段函數的奇偶性時，通常利用定義法判斷.分段函數不是幾個函數，而是一個函數.因此其判斷方法也是先考查函數的定義域是否關于原點對稱，然后判斷與的關系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應段的函數表達式中，與對應不同的表達式，而它們的結果按奇偶函數的定義進行比較.三、定義法判斷函數奇偶性判斷與的關系時，也可以使用如下結論：如果或，則函數為偶函數；如果或，則函數為奇函數．四、利用函數奇偶性求分段函數解析式的步驟第一步：設出所求區間上的任意；第二步：將所求區間內的轉化到已知區間內；第三步：利用函數奇偶性的定義得出所求區間的解析式。五、利用函數奇偶性求參數值得方法1、如果定義函參數，由定義域關于原點對稱列等式求解；2、如果解析式含參數（1）通過偶函數的定義或奇函數的定義列等式求解；（2）通過代入定義域內的特殊值列等式求解；（3）對于在處有定義的奇函數，利用求解。考點一：判斷函數的奇偶性例1．下列函數中既是奇函數又是增函數的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】對于A：y=5x的定義域為R，單調遞增，f（﹣x）=﹣5x，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）為奇函數，故A正確；對于B：的定義域為{x|x≠0}，，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）為奇函數，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上單調遞減，故B錯誤；對于C：y=4x2的定義域為R，f（﹣x）=4x2，所以f（﹣x）=f（x），所以f（x）為偶函數，f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，（0，+∞）上單調遞增，故C錯誤；對于D：的定義域為R，，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）為奇函數，f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞減，故D錯誤，故選：A.【變式訓練1】函數的奇偶性是（）A．奇函數B．偶函數C．非奇非偶函數D．既奇又偶函數【答案】B【解析】的定義域為，關于原點對稱，.故為偶函數.故選：B.【變式訓練2】對于兩個定義域關于原點對稱的函數和在它們的公共定義域內，下列說法中正確的是（）A．若和都是奇函數，則是奇函數B．若和都是偶函數，則是偶函數C．若是奇函數，是偶函數，則是偶函數D．若和都是奇函數，則不一定是奇函數【答案】B【解析】對于A，因為和都是奇函數，所以，，令，則，所以是偶函數，故A錯誤；對于B，因為和都是偶函數，所以，，令，則，所以是偶函數，故B正確；對于C，因為是奇函數，是偶函數，所以，，令，則，所以是奇函數，故C錯誤；對于D，因為和都是奇函數，所以，，令，則，所以是奇函數，故D錯誤.故選：B考點二：利用奇偶性求函數值例2．已知函數是定義域為的奇函數，當時，，則（）A．1B．－1C．5D．－5【答案】B【解析】根據奇函數性質可知；而，所以，所以.故選：B【變式訓練】已知是上的偶函數，當時，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為是上的偶函數，所以，所以關于對稱，當時，，所以.故選：C.考點三：利用奇偶性求參數例3．已知函數為偶函數，則的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】若函數為偶函數，則，即，整理得，故，解得.故選：B.【變式訓練】若函數為奇函數，則__．【答案】【解析】因為函數的定義域為，且函數為奇函數，所以，，解得.故答案為：.考點四：利用奇偶性求解析式例4．已知為偶函數，當時，，則當時，（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當時，，則，又因為是偶函數，所以.故選：B.【變式訓練】已知是定義域為R的奇函數，當時，，則當時，的表達式為_________．【答案】/【解析】是定義域為R的奇函數，當時，，則當時，，，所以當時，的表達式為.故答案為：1．函數的圖像關于（）A．軸對稱B．直線對稱C．坐標原點對稱D．直線対稱【答案】C【解析】因為定義域為，且，所以為奇函數，函數圖象關于原點對稱.故選：C2．下列函數中，既是偶函數，又在上單調遞減的函數是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對選項A：關于對稱，不是偶函數，排除；對選項B：定義域為，.函數為偶函數，且在上單調遞減，滿足；對選項C：定義域為，是奇函數，排除；對選項D：當，單調遞增，排除.故選：B.3．下列函數中是偶函數的是（）A．，B．C．D．，【答案】D【解析】函數，，定義域不關于原點對稱，不具有奇偶性，A選項錯誤；函數，，，，函數不是偶函數，B選項錯誤；函數，定義域為R，，函數是奇函數，C選項錯誤；函數，，定義域關于原點對稱，，函數為偶函數，D選項正確．故選：D4．已知偶函數，當時，，則當時，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當，則，，又為偶函數，∴當x<0時，.故選：D5．已知函數是偶函數，且其定義域為，則（）A．，b＝0B．C．D．，【答案】B【解析】因為偶函數的定義域為，所以，解得，所以，由偶函數定義得，所以，即，所以，故.故選：B.6．若函數為奇函數，則（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由函數為奇函數，可得，所以，所以，化簡得恒成立，所以，即,經驗證，定義域關于原點對稱，且滿足，故；故選:A．7．已知函數是定義在R上的奇函數，當時，，則的解析式是_______．【答案】【解析】由函數是定義在R上的奇函數得；當時，，∴．綜上，；故答案為：.8．已知函數其中a，b為常數，若求_________.【答案】【解析】；故答案為：9．定義在R上的奇函數，當時，（k為常數），則______．【答案】-4【解析】是定義在R上的奇函數，，解得，則當時，，.故答案為：-4.10．函數是定義在上的偶函數,則__．【答案】3【解析】因為是定義在上的偶函數,所以,解得,由得,即,則,故．故答案為:31．下列函數中，是偶函數的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，函數的定義域為R，，不是偶函數，A不是；對于B，函數的定義域為R，，不是偶函數，B不是；對于C，函數的定義域為R，，是偶函數，C是；對于D，函數的定義域為R，，不是偶函數，D不是.故選：C2．己知是定義在上的奇函數，且，則的值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】因為，所以令，則，因為，，所以，令，則.故選：D.3．已知是上的奇函數，當時，，則（）A．4B．C．7D．【答案】A【解析】當時，，因為是上的奇函數，所以，所以.故選：A.4．函數是奇函數，其圖象上有一點，則函數的圖象必過點（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數的定義域為D，因為函數是奇函數，，所以，且，所以函數的圖象必過點.故選：C.5．（多選）設函數的定義域都為R，且是奇函數，是偶函數，則下列結論正確的是（）A．是偶函數B．是奇函數C．是奇函數D．是偶函數【答案】CD【解析】因為函數的定義域都為R，所以各選項中函數的定義域也為R，關于原點對稱，因為是奇函數，是偶函數，所以，對于A，因為，所以函數是奇函數，故A錯誤；對于B，因為，所以函數是偶函數，故B錯誤；對于C，因為，所以函數是奇函數，故C正確；對于D，因為，所以函數是偶函數，故D正確.故選：CD.6．（多選）下列判斷正確的是（）A．是偶函數B．是奇函數C．是奇函數D．是非奇非偶函數【答案】BC【解析】對于A，由且，得，則的定義域不關于原點對稱，所以函數為非奇非偶函數，故A錯誤;對于B，函數的定義域關于原點對稱，當x>0時，，，當x<0時，也有，所以為奇函數，故B正確;對于C，由且，得，即，的定義域關于原點對稱，此時，所以既是奇函數又是偶函數，故C正確;對于D，由且，得且x≠0，的定義域關于原點對稱，因為，，所以函數為奇函數，故D錯誤.故選:BC.7．“a＝0”是“是偶函數”的______條件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”）【答案】充要【解析】由是偶函數，可得，經檢驗符合題意，則“a＝0”是“是偶函數”的充要條件故答案為：充要8．若函數是奇函數，則實數a的值為___________.【答案】1【解析】若是奇函數，則有.當時，，則，又當時，，所以，由，得，解得a=1.故答案為：1.9．已知是定義在上的奇函數，當時，，則時，的解析式為_