第二講 多項式

【知識概述】 多項式理論是代數學的重要組成部分，它在理論上和方法上對現代數學都有深刻的影響．與多項式有關的問題除了出現在函數、方程、不等式等代數領域中，還涉及到幾何、數論等知識，是一個綜合性的工具，也是自招與競賽中的熱點問題．

本講共分為三個模塊，分別介紹了多項式的除法、余式與因式定理和有理根定理及其應用．這些定理是代數理論中十分重要的工具，能夠有效地解決因式分解和代數式化簡求值等問題，需要學生熟練應用與掌握．

【知識結構】

模塊一多項式除以多項式【知識精要】多項式除以多項式：

兩個多項式相除，可以先把這兩個多項式按照同一字母降冪排列，然后再仿照兩個多位數相除的計算方法，用豎式進行計算．

多項式除以多項式的一般步驟：

（1）把被除式、除式按某個字母作降冪排列，并把所缺的項用零補齊；

（2）用除式的第一項去除被除式的第一項，得商式的第一項；

（3）用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項對齊），從被除式中減去這個積；

（4）把減得的差當作新的被除式，再按照上面的方法繼續演算，直到余式為零或余式的次數低于除式的次數為止，被除式除式商式余式．

如果一個多項式除以另一個多項式，余式為零，就說這個多項式能被另一個多項式整除．例：計算

所以商式為，余式為．

注意以下幾點：

（1）列豎式計算時，按某一個字母作降冪排列，所缺的項需要用零補齊；

（2）目前我們所學習的多項式除以多項式情況均為一元多項式相除．

當除式、被除式都按照降冪排列時，各項的位置就可以表示所含字母的次數．因此，計算時只需寫出系數，算出結果后，再把字母和相應的指數補上去．這種方法叫做分離系數法．按照分離系數法，上面例題的計算過程如下：于是得到商式為，余式為．

【典型例題】用列豎式的方法計算：

（1）；

（2）．

【名師點撥】考察多項式除以多項式，用列豎式的方法計算的時候，注意缺項補齊，余式的次數低于除式的次數，也可以用分離系數法簡便計算．

【答案】（1）；（2）．【解析】（1），；（2），．（1）已知能被整除，求k的值；

（2）若能被整除，試求的值；

（3）當a、b為何值時，多項式有因式和．

【名師點撥】考查整式的除法，關鍵是理解整除的含義，比如B被A整除等價于A是B的一個因式，利用乘法是除法的逆運算來進行解答，往往需要用到待定系數法．

【答案】（1）；（2）16；（3）．

【解析】（1）解法一：，對比系數得，即；

解法二：設，

即，比較系數得，解得，所以；解法三：因為能被整除，所以含有因式，即當時，，代入得，解得；

（2）解法一：因為可以被整除，不妨設：

，展開得到

，對比系數可得，解出，因此；

解法二：因為能被整除，所以當時，

，代入得到，即，

故；

（3）解法一：因為多項式有因式和，不妨設：

，展開得到：

，對比系數可得，解出，因此；

解法二：由題意可知，

當時，，

當時，，

聯立解出．

已知關于x的三次多項式除以時，余式是；除以時，余式是，求這個三次多項式．

【名師點撥】利用被除式除式商式余式的關系來解．

【答案】．

【解析】設這個三次多項式為，因為這個三次多項式分別除以和，故可以設兩個商式為：和，由題意得：

···①

···②

在①式中分別取，，得，；

在②式中分別取，，得，；

解出，，，，

所以這個三次多項式為．求被除所得的余式．

【名師點撥】按照一般的思路可用豎式進行計算，但是被除式缺項較多，補項較為繁瑣，此時可仿照同余的思想進行解答，巧妙地應用乘法公式．

【答案】6．

【解析】因為是的因式，所以也是的因式，

則，

因此被除所得的余式是6．模塊二 余式與因式定理【知識精要】

形如（n為非負整數，）的代數式叫做關于x的一元n次多項式．稱為多項式的系數，n稱為此多項式的次數． 對于任意兩個多項式，（），總存在兩個多項式和，使得，其中叫做被除式，叫做除式，叫做商式，叫做余式，余式的次數小于除式的次數．當時，有，此時稱作被整除，或被整除，和叫做的因式．

如果是一次式，則的次數小于1，因此，只能是常數（0或非零常數），這時，余式也叫余數，記為r，即有；

令得，；因此，有以下重要定理：

余數定理 多項式除以所得的余數等于．

由上述可知，如果能被整除，那么必有，反之，如果，那么能被整除，因此，得到以下重要定理：

因式定理 如果多項式能被整除，亦即有一個因式，那么，反之，如果，那么必為多項式的一個因式．

幾個推論：

（1）若是整系數多項式，則除以所得的商也是整系數多項式，余數為整數；

（2）若為整系數多項式，a、b為不同整數，則；

（3）除以（）的余數為．

【典型例題】若可被整除，求．

【名師點撥】由可被整除知可被和整除，故可利用因式定理確定p、q、a之間的關系，再代入求值．

【答案】0．

【解析】能被整除，

，

即，

①②得，，，

故．設a，b，c，d是4個不同實數，是實系數多項式，已知：

（1）除以的余數為a；

（2）除以的余數為b；

（3）除以的余數為c；

（4）除以的余數為d；

求多項式除以的余式．

【名師點撥】首先利用余數定理將條件轉化，再通過構造一個新多項式，使得它能被整除，再確定出與的關系．

【答案】余式為x．

【解析】根據余數定理，除以的余數為a，故，

同理有，，，，

考慮多項式，則有，，，，

由因式定理，含有因式，

而，故多項式除以的余式為x．設式中各系數（）都是整數，今設有四個不同的整數使（）都等于2，試證：對于任何整數x，決不等于1，3，5，7，9中的任何一個．

【名師點撥】利用余數定理找到的部分因式再利用其形式推出矛盾．

【答案】略．

【解析】根據余數定理，有

（1），

其中是一個整系數多項式，或者是一個整數，

無論x等于什么整數，，，，，總是整數，且前四者互不相同，所以（1）式右邊至少有四個不同的因數，

但是1，3，5，7，9減2分別為，1，3，5，7；不可能是四個不同的因數的乘積，因此決不等于1，3，5，7，9中的任何一個．已知有整系數的多項式，又已知存在四個不同的整數a，b，c，d，使得，證明沒有整數k，使得．

【名師點撥】構造新的多項式則它一定含有因式，設出新多項式的形式再據此推出矛盾．

【答案】略．

【解析】由已知條件，可設

，

其中，其中是整數，

如果存在整數k，使得，那么，

于是，四個整數，，，中至少有三個的絕對值都等于1，因而至少有兩個相等，與a，b，c，d是四個不同的整數矛盾，故命題得證．模塊三 有理根定理及其應用【知識精要】 有理根定理 若是一個整系數多項式，而是的一個有理根，其中r、s互質，那么必有，；特別地，如果的首項系數，那么的有理根都是整根，而且是的因子．

推論：若是一個次數n大于0的整系數多項式，如果是的一個有理根，其中r、s是互質的整數，那么，．

有理根定理的一個常見應用即是利用這個性質進行試根，結合因式定理對多項式進行因式分解，具體步驟如下：對于一個整系數一元高次多項式，找到的所有因數；將所有因數依次代入多項式，若存在一個因數a，使得，則a為多項式的一個根；由因式定理可知，必有一個因式為，因此可寫為；對于多項式可以繼續利用試根法進行因式分解，也可利用其它方法進行因式分解，最終將因式分解．

【典型例題】分解因式：．

【名師點撥】用試根法進行因式分解．

【答案】．

【解析】根據有理根定理，可知多項式的有理根只可能是，，，，

因為當，，時，，

所以必含有因式，

．已知定理：設，是整系數多項式，且的系數互質，如果，其中是有理系數多項式，那么一定是整系數多項式，請證明有理根定理及其推論．

【名師點撥】已知有理根，可將寫成一次因式和一個整系數多項式的乘積形式，展開后對應系數，即可證明．

【答案】略．

【解析】因為是的一個有理根，因此在有理數范圍內，

從而，因為r、s互質，由題設定理可知，

，式中都是整數，

令，比較兩邊系數，

即得，，因此，，

將，代入上式得，，

，．設為n次整系數多項式，若、和都為奇數，證明：無有理根．

【名師點撥】利用反證法證明．

【答案】略．

【解析】假設是它的有理根，其中p、q為整數且最大公約數，于是有

，其中是整系數多項式，

因為，，且、都是奇數，故p、q為奇數，

故為偶數，為偶數，與題設矛盾，

故無有理根．證明：若整系數多項式的常數項為奇數，而q為偶數，則（p、q為整數）不是的有理根．

【名師點撥】反證法．

【答案】略．

【解析】設是的有理根，則，

，其中是整系數多項式，

于是有，

設，令，則有

，

又因為是奇數，為偶數，在上式中，等號左邊是奇數，右邊是偶數，矛盾，故假設不成立．

求整系數多項式的全部有理根．

【名師點撥】考查有理根定理及其推論．

【答案】1和．

【解析】，故的有理根都是整數，且都是的因子，

故可能的有理根是，，，，

又，，所以1是的根，不是的根，

又，，，，

，所以2，，不是的有理根，

將代入求得，

故的有理根只有1和．【課堂練習】（20分）已知多項式有一個因式是，求m的值． 【名師點撥】考查因式定理．

【答案】．

【解析】因為多項式有一個因式是，故該多項式有一個根，

即，

解得，．

（20分）分解因式：．

【名師點撥】試根法．

【答案】．

【解析】由有理根定理，有理根可能為，，，，，，

代入可知，，且顯然任意使得多項式為負，故不可能為有理根，

，，，

而，，故只有一個有理根，

不妨設，

展開后對應系數可求得，

．（20分）（1）求多項式除以的商式和余式；

（2）求多項式除以的商式和余式．

【名師點撥】考查多項式除以多項式．

【答案】（1）商式，余式；（2）商式，余式．

【解析】（1）用分離系數法解答如下：所以商式為，余式為；

（2）用分離系數法解答如下：

故商式為，余式為．（20分）已知能被整除，求a、b的值．【名師點撥】考查含有參數的整式除法．

【答案】，．【解析】由于能被整除，不妨設：，

展開得到，對比系數可得，解出．（20分）已知關于x的方程的左邊能被整除，而被除所得余數為72，則這個方程的所有的解（按從小到大的順序）是_______________．

【名師點撥】利用余數定理和因式定理解出a、b的值．

【答案】、1、2、4．

【解析】令，

由題意得，，即，

解出，

故原方程為，即，

這個方程所有解（從小到大排列）是、1、2、4．【課后作業】（10分）（1）已知能被整除，求m的值；

（2）已知能被整除，求m、n的值．【名師點撥】考查多項式除以多項式，理解整除的含義．

【答案】（1）；（2），．

【解析】（1）由于能被整除，因此當時，，代入得，解出；

（2）由于能被整除，不妨設

，展開得到

，對比系數得，解出．（20分）（1）a、b為何值時，多項式有因式和；

（2）若被除時得到余式，求p、q．

【名師點撥】考查多項式除以多項式的應用．

【答案】（1）；（2），．

【解析】（1）由題意可知，

當時，，

當時，，

聯立解出；

（2）不妨設，

展開得到.對比系數可得，解出，故，．（20分）分解因式：． 【