11．1.5旋轉(zhuǎn)體課程標(biāo)準(zhǔn)1.認(rèn)識(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．2．知道圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題． 新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以____________所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體圖示及相關(guān)概念軸：________叫做圓柱的軸底面：________的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫篲_______的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，____________柱體：____________統(tǒng)稱為柱體知識(shí)點(diǎn)二圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以____________________所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體圖示及相關(guān)概念軸：________叫做圓錐的軸底面：________的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫篲___________旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，____________錐體：____________統(tǒng)稱為錐體知識(shí)點(diǎn)三圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征定義以________________所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體圖示及相關(guān)概念軸：圓錐的________底面：________旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫篲_________旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，__________臺(tái)體：__________統(tǒng)稱為臺(tái)體知識(shí)點(diǎn)四球的結(jié)構(gòu)特征定義以____________所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球圖示及相關(guān)概念球心：半圓的________半徑：半圓的________直徑：半圓的________知識(shí)點(diǎn)五1．簡(jiǎn)單組合體由________組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體．2．簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成形式有兩種基本形式：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成的；另一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成的．狀元隨筆等邊三角形繞其一邊的中線所在直線旋轉(zhuǎn)半周形成的面所圍成的幾何體是什么幾何體？[提示]圓錐知識(shí)點(diǎn)六旋轉(zhuǎn)體的面積問題1．側(cè)面積公式(1)S圓柱側(cè)＝____________．(2)S圓錐側(cè)＝____________．(3)S圓臺(tái)側(cè)＝____________．2．旋轉(zhuǎn)體的表面積(1)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積與底面積之和稱為旋轉(zhuǎn)體的表面積．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式幾何體側(cè)面展開圖表面積公式圓柱S圓柱＝____________，r為底面半徑，l為母線長(zhǎng)圓錐S圓錐＝____________，r為底面半徑，l為母線長(zhǎng)圓臺(tái)S圓臺(tái)＝______________，r′為上底面半徑，r為下底面半徑，l為母線長(zhǎng)(3)球的表面積S＝________(R為球的半徑)．基礎(chǔ)自測(cè)1．判斷(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)圓臺(tái)有無(wú)數(shù)條母線，它們相等，延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)．()(2)用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．()(3)用任意一個(gè)平面去截球，得到的是一個(gè)圓面．()(4)圓臺(tái)的高就是相應(yīng)母線的長(zhǎng)．()2．圓錐的母線長(zhǎng)為10，底面半徑為6，則其高等于()A．6 B．8C．10 D．不確定3．如圖所示的組合體的結(jié)構(gòu)特征是()A．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱柱B．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)圓柱C．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱錐D．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱臺(tái)4．有下列說法：①球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心的連線；②球的直徑是球面上任意兩點(diǎn)間的連線；③用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的是一個(gè)圓．其中正確說法的序號(hào)是________．課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例1(1)判斷下列各命題是否正確①圓柱上底面圓上任一點(diǎn)與下底面圓上任一點(diǎn)的連線都是圓柱的母線；②一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái)；③圓錐、圓臺(tái)中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形；④到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球．依據(jù)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念逐項(xiàng)判斷．(2)下列三個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為()①經(jīng)過球面上任意兩點(diǎn)，可以作且只可以作一個(gè)球的大圓；②球面積是它大圓面積的四倍；③球面上兩點(diǎn)的球面距離，是這兩點(diǎn)所在截面圓上以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的劣弧的長(zhǎng)．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)方法歸納(1)圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球都是一個(gè)平面圖形繞其特定邊(弦)旋轉(zhuǎn)而成的幾何體，必須準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)各旋轉(zhuǎn)體對(duì)旋轉(zhuǎn)軸的具體要求．(2)只有理解了各旋轉(zhuǎn)體的生成過程，才能明確由此產(chǎn)生的母線、軸、底面等概念，進(jìn)而判斷與這些概念有關(guān)的命題的正誤．跟蹤訓(xùn)練1(1)下列命題中正確的是()A．直角三角形繞一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體C．圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)D．通過圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條母線(2)長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱分別是3，4，5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是()A．25π B．50πC．125π D．以上都不對(duì)題型2簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征例2如圖所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.當(dāng)梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征．狀元隨筆關(guān)鍵是弄清簡(jiǎn)單組合體是由哪幾部分組成．方法歸納本題是不規(guī)則圖形的旋轉(zhuǎn)問題．對(duì)于不規(guī)則平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題，首先要對(duì)原平面圖形作適當(dāng)?shù)姆指睿话惴指畛删匦巍⑻菪巍⑷切位驁A(半圓或四分之一圓)等基本圖形，然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的形成過程進(jìn)行分析．跟蹤訓(xùn)練2(1)描述下列幾何體的結(jié)構(gòu)特征．(2)一直角梯形ABCD如圖所示，分別以AB，BC，CD，DA所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，試說明所得幾何體的大致形狀．題型3旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算【思考探究】1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)平行于底面的截面是什么樣的圖形？[提示]圓面．2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)過軸的截面是什么樣的圖形？[提示]分別為矩形、等腰三角形、等腰梯形．3.經(jīng)過圓臺(tái)的任意兩條母線作截面，截面是什么圖形？[提示]因?yàn)閳A臺(tái)可以看成是圓錐被平行于底面的平面所截得到的幾何體，所以任意兩條母線長(zhǎng)度均相等，且延長(zhǎng)后相交，故經(jīng)過這兩條母線的截面是以這兩條母線為腰的等腰梯形．4.球的截面是什么？[提示]球的截面均是圓面，球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的小圓．例3(1)母線長(zhǎng)為12cm，兩底面面積分別為4πcm2(2)已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)，且距離為1，那么這個(gè)球的半徑是________；狀元隨筆(1)作出圓臺(tái)的軸截面，是一個(gè)等腰梯形，計(jì)算等腰梯形的高即為圓臺(tái)的高．(2)作出球的大圓，注意球心與截面的圓心連線垂直于截面，注意在直角三角形中求解即可．(3)如圖，一豎立在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處，若該小蟲爬行的最短路程為43m，求此圓錐底面圓的半徑．方法歸納與圓錐有關(guān)的截面問題的解決策略求解有關(guān)圓錐的基本量的問題時(shí)，一般先畫出圓錐的軸截面，得到一等腰三角形，進(jìn)而可得到直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)直角三角形的問題進(jìn)行求解．通常在求圓錐的高、母線長(zhǎng)、底面圓的半徑長(zhǎng)等問題時(shí)，都是通過取其軸截面，化歸求解．巧妙之處就是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來(lái)解決．跟蹤訓(xùn)練3(1)母線長(zhǎng)為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2的圓臺(tái)還原為圓錐后，其它條件不變，求圓錐的母線長(zhǎng)；(2)如圖，在底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為3的圓柱，求圓柱的底面半徑．教材反思1．本節(jié)課的重點(diǎn)是了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義及結(jié)構(gòu)特征，難點(diǎn)是能根據(jù)結(jié)構(gòu)特征識(shí)別和區(qū)分這些幾何體．2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)判斷旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法及旋轉(zhuǎn)體軸截面的應(yīng)用．(2)簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成形式及識(shí)別方法．3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)概念理解不到位而致錯(cuò)．11．1.5旋轉(zhuǎn)體新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]知識(shí)點(diǎn)一矩形的一邊軸底面?zhèn)让婺妇€底面旋轉(zhuǎn)軸垂直于軸平行于軸不垂直于軸的邊圓柱和棱柱知識(shí)點(diǎn)二直角三角形的一條直角邊側(cè)面母線底面軸旋轉(zhuǎn)軸垂直于軸直角三角形的斜邊不垂直于軸的邊棱錐和圓錐知識(shí)點(diǎn)三直角梯形垂直于底邊的腰底面?zhèn)让婺妇€底面軸旋轉(zhuǎn)軸直角梯形的上邊和下邊不垂直于軸的邊不垂直于軸的邊棱臺(tái)與圓臺(tái)知識(shí)點(diǎn)四半圓的直徑球心半徑直徑圓心半徑直徑知識(shí)點(diǎn)五1．簡(jiǎn)單幾何體知識(shí)點(diǎn)六1．(1)2πrl(2)πrl(3)π(r1＋r2)l2．(2)2πr(r＋l)πr(r＋l)π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(3)4πR2[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：(1)用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分是圓臺(tái)，由此可知此說法正確．(2)用與底面平行的平面去截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．(3)因?yàn)榍蚴且粋€(gè)幾何體，包括表面及其內(nèi)部，所以用一個(gè)平面去截球，得到的是一個(gè)圓面．(4)圓臺(tái)的高是指兩個(gè)底面之間的距離．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：由圓錐的軸截面可知，圓錐的母線、底面半徑與高構(gòu)成直角三角形，所以其高為102-答案：B3．解析：由簡(jiǎn)單組合體的基本形式可知，該組合體是一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱錐．答案：C4．解析：利用球的結(jié)構(gòu)特征判斷：①正確；②不正確，因?yàn)橹睆奖剡^球心；③不正確，因?yàn)榈玫降氖且粋€(gè)圓面．答案：①課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)①錯(cuò)．由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應(yīng)平行于軸．②錯(cuò)．直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐組成的簡(jiǎn)單組合體，如圖所示．③正確．④錯(cuò)．應(yīng)為球面．(2)當(dāng)球面上的兩點(diǎn)與球心共線時(shí)可作無(wú)數(shù)個(gè)球的大圓，①錯(cuò)；S球＝4πR2，S大圓＝πR2.所以S球＝4S大圓，②正確；球面上兩點(diǎn)的球面距離是球面上的兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，并非在任意截面圓上，所以③錯(cuò)．【答案】(1)見解析(2)C跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)A錯(cuò)誤，應(yīng)為直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；若繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的是兩個(gè)圓錐構(gòu)成的一個(gè)組合體．B錯(cuò)誤，沒有說明這兩個(gè)平行截面與底面的位置關(guān)系，當(dāng)這兩個(gè)平行截面與底面平行時(shí)正確，其他情況則是錯(cuò)誤的．D錯(cuò)誤，通過圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，只有一條母線．故選C.(2)由于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)是球的直徑．所以可求得這個(gè)球的直徑是52，然后代入球的表面積公式S＝4πR2即可．答案：(1)C(2)B例2【解析】如圖所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)圓錐后的剩余部分．跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)圖①所示的幾何體是由兩個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體；圖②所示的幾何體是由一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐得到的組合體；圖③所示的幾何體是在一個(gè)圓柱中間挖去一個(gè)三棱柱后得到的組合體．(2)以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)可得到一個(gè)圓臺(tái)；以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)可得到一個(gè)圓柱和圓錐的組合體；以CD所在直線為軸旋轉(zhuǎn)可得到一個(gè)圓臺(tái)，下底挖去一個(gè)小圓錐，上底增加一個(gè)較大的圓錐；以AD所在直線為軸旋轉(zhuǎn)可得一個(gè)圓柱，上面挖去一個(gè)圓錐，如圖所示．例3【解析】(1)截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)．由已知可得O1A＝2cm，OB＝5cm.又由題意知，腰長(zhǎng)為12cm，所以高AM＝122-5-2(2)如圖所示，因?yàn)閮蓚€(gè)平行截面的面積分別為5π、8π，所以兩個(gè)截面圓的半徑分別為r1＝5，r2＝22.因?yàn)榍蛐牡絻蓚€(gè)截面的距離d1＝R所以d1－所以R2＝9，所以R＝3.(3)作出圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示，該小蟲爬行的最短路程為PP′，在△OPP′中，OP＝OP′＝4m，PP′＝43m，取線段PP′的中點(diǎn)A，連接OA.在Rt△POA中，PA＝12PP′＝23m，