平面性質與空間

中的平行關系

滿分晉級

立體幾何3級

8.1平面的基本性質與推論

00——―

就］知識點睛

1.集合的語言：

我們把空間看做點的集合，即把點看成空間中的基本元素，將直線與平面看做空間的子集，這樣便

可以用集合的語言來描述點、直線和平面之間的關系：

點A在直線/上，記作：Aw/；點A不在直線/上，記作A任/;

點A在平面a內，記作：Aec；點A不在平面a內，記作A任a；

直線/在平面a內（即直線上每一個點都在平面a內），記作/ua；

直線/不在平面a內（即直線上存在不在平面a內的點），記作/aa；

直線/和機相交于點A,記作/m-{A},簡記為/m=A

平面a與平面?相交于直線a,記作a/3=a.

〈教師備案〉數學有三種語言：文字語言、圖形語言以及符號語言，符號語言方便記憶，可以結合圖形

語言來加深理解.

我們在集合那里學習的子集之間的關系有g和U,分別區分子集與真子集.而在立體幾何

這里，線面之間的關系永遠只能是真子集，所以直接用U表示即可.

例：將下面用符號語言表示的關系改用文字語言予以敘述，并且用圖形語言予以表示.

a（3=1,A&l,ABca,ACu/3.

2.平面的三個公理：

（1）公理一：如果一條直線上的兩點在同一個平面內在$么這條直線

上所有的點都在這個平面內.圖形語言表述：如右圖：

符號語言表述：A&l,Bel,A&a,Beaniua

〈教師備案〉公理一反映了直線與平面的位置關系，由此公理我們知道如果一條直線與一個平面有公共

點，那公共點要么只有一個，要么直線上所有點都是公共點，即直線在平面內.

公理一也說明了平面是平的，用直線檢驗平面是否“平

例：①若一條直線過平面內一點和平面外一點，則它和這個平面有幾個公共點？（1個）

②若aua,bua,M&a,Neb且MwI,Nel,則（A）

A.IuaB.IaaC./a=MD.Ia=N

③若直線上有兩個點在平面外，則（A）

A.直線上至多有一個點在平面內B.直線上有無窮多個點在平面內

C.直線上所有點都在平面外D.以上結論都不對

⑵公理二：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，/一;---------7

也可以簡單地說成，不共線的三點確定一個平面./B/

圖形語言表述：如右圖，■---------J

符號語言表述：A,8,C三點不共線=>有且只有一個平面a,使Aee,Bea,Cea.

〈教師備案〉公理二可以用來確定平面，只要有不在同一條直線上的三點，便可以得到一個確定的平面,

確定一個平面的意思是有且僅有一個平面.

公理二說明平面比直線多了一個維度，所以需要多一個不共線的點來確定.

⑶公理三：如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且

只有一條過這個點的公共直線.

圖形語言表述：如右圖：

符號語言表述：Aea/3=>a/3=a,Aea.

如果兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平面相交，這條公共

直線叫做這兩個平面的交線.

〈教師備案〉公理三反映了兩個平面的位置關系，兩個平面（一般都指兩個不重合的平面）只要有公共

點，它們的交集就是一條公共直線.

此公理可以用來證明點共線或點在直線上，可以從后面的例題中看到.

3.平面基本性質的推論：

推論1：經過一條直線和直線外的一點,有且只有一個平面，

推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面.

推論3：經過兩條平行直線,有且只有一個平面.

〈教師備案〉三個推論都可以由平面基本性質的三個公理得到.推論1與2直接在直線上取點，利用公

理1與2便可得到結論，推論3是由平行的定義得到存在性的，再由公理2保證唯一性.

例：下列說法正確的是②.

①一條直線和一個點確定一個平面：

94

②三角形和梯形一定是平面圖形；

③兩兩相交的三條直線確定一個平面;

4.共面：如果空間中幾個點或幾條直線可以在同一平面內，那么我們說它們共面.

經典精講

考點1:平面的三公理及推論

【例1】⑴★下列選項錯誤的是（）

A.Awl,Aea,Bel,Bwanlua

B.Awa,Ae0,Bea,BeB=>ap=AB

C.A,B,Cea,A,B,Cw"且A,B,C不共線=>a,力重合

D./<za,Ae/=>Aea

⑵★已知點A,直線/,平面a,

①Ae/,Aea?Ael,Iea=>Aea

@A^l,/uanAga④Aw/,Asa=>/<za

以上說法表達正確的有.

⑶★★判斷下面說法是否正確：

①如果一條直線與兩條直線都相交，那么這三條直線確定一個平面.

②經過一點的兩條直線確定一個平面.

③經過空間仔意二占有且只有一個平面

④加四邊形的謫條端角線相交于一點，則該四邊形是平面圖形.

⑤兩個平面的公共點的集合，可能是一條線段.

【解析】⑴D;

⑵④：

⑶①錯誤；

②正確；

③錯誤；

④正確；

⑤錯誤；

【例2】⑴★★如圖，已知在空間四邊形ABCD中（即這四點不共面），E,EG,"分別是45、BC、CD、

A￡）上的點，且EH交FG于P.求證：P在直線上.

⑵★★如圖，在正方體ABC。-A8cA中，AC與截面08G交于O點，AC,BD交于M,

求證：C,,O,A/三點共線.

【解析】（D；Pw直線EH,Pe平面ABD,

,/Pe直線FG,/.Pe平面BCD,

又8￡>是平面ABD與平面BCD的交線,

PGBD.

⑵三點共線問題的證法是：證明此三點同在兩個相交平面內，從而在它們的交線上.

,/G，O,Me平面BCQ.

又O,加￡平面44（7￡,

根據公理2知：G，O,M在平面BC|O與平面AACG的交線上,

即G，O,M三點共線.

目標班學案1

【拓3】正方體A8CD-A8cA中,E，F,G,H,K,L分別是8、DD、、

AR、A4、BBrBC的中點，求證：這六點共面.

【解析】連結BD和KF,

?；E、L是CD、CB的中點、；.EL〃BD.

又矩形BDD、B苫KF〃BD,

：.KF//EL,二XF、EL可確定平面a,

從而E、F、K、L在同一個平面e內，

同理EH〃KL,故f、H、K、乙共面/?.

又：平面口與平面力都經過不共線的三點E、K、L,

故平面a與平面/?重合，所以E、K、LF、”共面于平面a.

同理可證Gwa,

:.E、K、L,F、H、G六點共面.

【點評】證明共面問題常有如下兩個方法：

⑴直接法：先確定一個平面，再證明其余元素均在這個平面上；

⑵間接法：先證明這些元素分別在幾個平面上，再證明這些平面重合.

【備選】在正方體ABCD-ABCQ中，分別為棱儀，eg的中點，則在空間中與三條直線AR，

EF,CO都相交的直線（）

A.不存在B.有且只有兩條C.有且只有三條D.有無數條

【解析】D;

8.2線線關系與線面平行

知識點睛

1.平行線：在同一個平面內不相交的兩條直線.

平行公理：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.

公理4（空間平行線的傳遞性）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行;

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等.

〈教師備案〉等角定理證明：

已知：如圖所示，

N54c和NB'AC'的邊相〃4夕，AC//AC,且射線AB與

A!B'同向，射線AC與A'C'同向.求證：ABAC=AB'AC

證明：對于NB4C和N8WC'在同一平面內的情形，在初中幾

何中已經證明，下面證明兩個角不在同一平面內的情形.

分別在ABAC的兩邊和ZB'A'C的兩邊上截取線段4）、AE和

A'D\A'E'，使AD=A'D',AE=A'￡,因為AD^A'D',所以

是平行四邊形

96

所以A4'/￡>￡)'.同理可得A4'2EE',因此OD/EE'.

所以DDE'E是平行四邊形.

因此3E=D￡'.于是AADE且AA'DE.所以NR4C=N&A'C.

例：如果。4〃?A，OB〃O、B\,則NAO8與NAOg的關系為.(相等或互補)

2.空間中兩直線的位置關系：

⑴共面直線：平行直線與相交直線；

⑵異面直線：不同在任一平面內的兩條直線.

〈教師備案〉根據等痢定理可以定義異面直線所成的痢的概念：過空間一點作兩異面直線的平行線，得

到兩條相交直線，這兩條相交直線成的直角或銳角叫做兩異面直線所成的角.

異面直線所成角的范圍是(0,5.

3.直線與平面的位置關系：

⑴直線/在平面e內：直線上所有的點都在平面內，記作/ua,如圖⑴；

⑵直線/與平面a相交：直線與平面有一個公共點A；記作/ia=A,如圖(2)；

⑶直線/與平面a平行：直線與平面沒有公共點，記作/〃a,如圖(3).

〈教師備案〉畫線面平行時，常常把直線畫成與平面的一條邊平行;

4.直線與平面平行的判定定理：如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條

宜線和這個平面平行.

符號語言表述：laa,maa,I//m^>l//a.!\l

圖象語言表述：如右圖./)

〈教師備案〉要證明這個定理可以考慮用反證法，

因為線線平行(/〃加)，所以它們可以確定一個平面萬，

P與已知平面a的交線恰為m,

若線面不平行，則線面相交于一點，此點必在兩個平面的交線機上，

從而得到/與機相交，與已知矛盾.

例：E,F,G分別是四面體ABCD的棱3C,CD,D4的中點，則此四面體

的棱中，與￡,F,G三點確定的平面平行的棱為.(AC,BD)

1□

考點2：線面平行的判定

A

【鋪墊】已知E,F,G,M分別是四面體的棱A￡>,CD,BD,3c的中點，/A

求證：⑴BC〃平面EFG；(2)4W〃平面￡7七./\V

【解析】⑴?；G,尸分別為如，CD的中點，則B//G\

GFu平面EFG,3C不在平面EPG內〈/'/

M

則BC〃平面EFG.

⑵連結MD交G尸于N,連結&V,

因為GF是△88的中位線，所以點N為MD的中點,

又；E是49的中點，

EN是△40。的中位線，故硒〃AM,

又硒u平面EFG,AM0平面EFG,

,AM〃面EFG.

【例3】★★如圖，正方體中，M.N分別為8<、8￡）的中點，求證：MN〃平面A4，48.

【解析】法一■：

連結AC,AB-由N為班）的中點知，N為AC,BD的交點、,

且有4V=NC,又CM=MB],

在△ABC中，MN為中位線，故MN〃AB、.

又MV<z平面AB8IA，AB|U平面ABB/，

，MV〃平面ABB^.

法二：

取3月的中點E,4?的中點F,連結ME,NF,EF,

為qc的中點，E為Bq的中點，

奴EM〃BC,S-EM=-BC-,

2

同理，NF//AD,S.NF=-AD;

2

BC//AD,且8c=AD,

EM//FN,且EM=FN,

：.四邊形MNFE是平行四邊形，；.MN//EF.

義MNa平面ABBA，EFu平面ABBA，

：.MN〃平面AB81A.

尖子班學案1

【拓2】如圖，正方體AC中，M、N分別為線段8（、班）上的點，且CW=DN,

求證：MN〃平面A4.4B.

【解析】過M點作腔〃3。，過N點、作NF〃AD,

分別交8片和鉆于E、F,連結EF.

.ME4M

ME//BC,.

,~BC~B^C

NFBN

義?：NF〃AD,：.—

AD~BD

B】MBN

又已知CM=ZW,B1C=BD,:?B】M=BN,

B、C.BD

從而有姓二竺

BCAD

又???8C〃AD,BC=ADf:?ME=NF,ME〃NF,

JM7VFE是平行四邊形，/.MN//EF.

又MN（z平面Abga，石尸u平面ABgA，

JMV〃平面AB4A.

98

目標班學案2

【拓3】已知空間四邊形"CD,P、Q分別是44蛇和△BCD的重心，求於

證：PQ〃平面ACD./'

【解析】分析：欲證線面平行，須證線線平行，即要證明P。與平面ACD中的//

某條直線平行.

證明：（法一）取BC的中點E,

:「是A45c的重心，。為△BCD的重心，

.?.連結4E,DE,有PwAE,QeDE,

且有AP:PE=2:1,DQ:QE=2:\

在八4￡/）中，有AP:PE=DQ:QE,

從而PQ//AD.

又AOu平面ACD,PQ<Z平面ACD,

PQ〃平面A8.

（法二）連結8R8Q分別交AC,C￡>于M,N,

?；BP:PM=BQ:QN=2:1,

：.PQ//MN,又MVu平面AC。，PQu平面AC。，

P。〃平面AC￡).

知識點睛

5.直線與平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交,

那么這條直線和兩平面的交線將五7_\一

符號語言表述：/〃a,/u/?,a\P=m=>I//m.\------\

圖象語言表述：如右圖.1--------—

〈教師備案〉線面平行性質定理，即線面平行，則線線平行，由平行的定義立即可得（共面且無交點）.

即線面平行的性質定理可以作為線線平行的一個判定.

若a〃a,我們要在a內找一條直線人與a平行，我們只需要過直線。做一個與a相交的平

面/?,它們的交線即為與a平行的直線匕.

經典精講

考點3：線面平行的性質

【鋪墊】如圖所示，已知a/3=AB,ay=CD,（3y=EF,若

EF//a,證明：AB//CD.

【解析】?：By=EF,：.EFc/3,

又E/〃a,aJ3=AB,則所〃AB,

同理可以證明EF//CD,

從而A3〃C￡>.

【例4】★★平行于平面a的a,Z,是兩異面直線，且分別在平面a的兩側，

A,Bwa,C,Dwb,若AC與平面a交于點M,3。與平面a交于

AM_BN

點N.求證:

MC-A?

b

D

）

）

面（

異中

或線

交線

直

相直

、有線的

行所直行

平的的平平

（B行。個

..；點平與一

行“條

0過另兩

平

=內與一于的

邊7/

戶條有行內

應兩只平.面

對a在

為有且線P平

成則則/

系；,,只有直/個

畫..a

,關/#交>一

QQ形AeBD=

A；置〃；=相3另

,M型邊B

=￡位a0b條/于

N=四.l的；-點兩/

QaN〃?則b行

B行=b，ba,行,平

,i獨c平p.a3/

D,與〃月內別

M為的。a/

CB質a〃u線線面.分

QA記面a線有則a

A性則6a直直平示,線

結面.，平，,A

〃直題,,線的的個所直

連平證與點示線則baB=

,,N得直行行一圖b交

,Q定共表交、〃〃〃

O題命a6a，平平果右相

QQ有公把條3（a

=CM命判,,,,P“。如如,條

，有般一3面.

aA〃,〃真）#0￡與與：a兩

理的沒一有b析，u〃u〃平在條行u

面DD：，、理b有

>C同N行，辨中baba〃存數J平

￡平—行,,,定,內

Au即.=時交a念題,,a定無H面a

?平系平lacaa定u面

謔絲面相

設Z,l概命uu面一在睛判平a

,Q38面睛關〃平夕a講〃〃平

>--,,的列aaaa平不存點的個：個

￡,M點置a行a精..；

a/面,行下若若若若若：行兩述一

A/McM-cr識位平/典★★④識

//3面面平①②③④ACD平這表果

結bb.的個〃★★③

-知平平經面）知面么言

連：'<?:8面兩a2如

個個面⑴⑵⑴（那語：

】平畫知：】平

兩兩】0

析1個已-4析）個，號論1

兩⑴⑵5兩符推

解2□：0點例解.面

【.【【

i例0考喋2

條相交直線，則這兩個平面平行.

〈教師備案〉面面平行的判定定理可以由線面平行的性質直接得到：如果滿足定理條件的兩個平面相交，

則這兩條相交直線都平行于平面的交線，與過直線外一點只能作一條直線與已知直線平行

的公理矛盾.故這兩個平面不相交，是平行平面.

例：①經過平面外一點可以作個平面平行于這個平面，可以作條直線平行于這個平面.

（一；無數）

②若a〃匕，a//a,h//p,則平面a與平面力的位置關系為.（平行或相交）

經典精講

提高班學案1

【鋪1】在正方體ABCD-A3cA中，求證：平面480〃平面C8Q.

【解析】由正方體的性質知，BB、〃DD、,且BB[=DDX,

四邊形BDRB]為平行四邊形，

BD〃BQ、:

又A旦//CD,且人始=C￡）,

4旦8為平行四邊形，

AO〃8c；

又A〃u平面B￡）u平面480,且A￡>\BD=D-,

BQu平面CBQ,BQu平面CBQ,B、CBQ=始，

平面AB。〃平面eg".

考點5：面面剪亍的判定

【例6】由如圖，在正方體A8C￡>-AgG4中，E、八G分別是AG、AR、

AB|的中點，

⑴求證：平面〃平面FG4.

⑵求SAAFC.S^BDE-

【解析】⑴連結BQ,

?.?尸、G、E分別為所在棱的中點，

AF//BE,FG//BR//BD,

又AFu平面AGF、FGu平面AGF,

BE〃平面AG尸，8￡>〃平面AG尸.

叉；BEBD=B,BE、BD均在平面BDE內,

平面EBD〃平面FGA.

⑵連結AC、BD相交于O,則O是AC、3￡）的中點;

從而可次口尸G《B0,AFJ^BE,

連結AC、GE,則

==2

???四邊形AQEG為平行四邊形，

AG//0E.

:.AAFGg△￡BQ,

**S&AFG?S&BDE=S&EBO*^/^EBD=耳,

【備選】如圖，8為△ACD所在平面外一點，M,N,G分別為ZVWC,/\ABD,△88的重心,

(1)求證：平面MNG〃平面ACE>；

(2)個、°MING-,

【解析】⑴連結BM、BN、BG并延長分別交AC、AD.CD于P、F、H,

'：M,N,G分別為&WC,/\ABD,ABC￡>的重心，

.BMBNBGc

??-------=2?

MPNFGH

連結PF、FH、PH布MN〃PF.

又尸產u平面ACO,MN<x平面ACD,

，MN〃平面ACD.

同理，MG〃平面AC￡>,MGMN=M,

二平面MNG〃平面AC￡).

⑵SfMNG?^MCD=1：9?

知識點睛

3.兩個平面平行的性質定理:如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行.

符號語言表述：a//p,ay=a,[5y=bna〃b.

圖象語言表述：如右圖所示.

〈教師備案>1.面面平行的性質定理可以直接由兩條交線無交點且共面得到.

2.在證明線面平行，線線平行和面面平行的題時，常常遇到平

行關系的轉化，要靈活運用兩個性質定理與兩個判定定理，

證明要求的結論.

例：下列命題正確的是(A)

A.夾在兩平行平面間的平行線段相等

B.夾在兩平行平面間的相等線段平行

C.兩平面分別與第三個平面相交，若這兩條交線平行，則這兩個平面平行

D.平行于同一直線的兩平面平行

經典精講

考點6：面面平行的性質

【例7】由已知平面c〃夕〃/,且直線/與a,p,7分別交于點A,B,

C.與/異面的直線，"與a,B,y分別交于點。，E,F,AB=6,

BC=2,EF=3,求田的長.

【解析】9.

【備選】已知平面a〃/，AB,CD為夾在a,月間的異面線段，E、F分別為A3、CD的中點.

102

求證：EF//a,EF//p.

【解析】連接跖并延長交尸于G.

AGCD=F

/.AG,CD確定平面7,且7a=AC,y\/3=DG.

'：a//p,所以AC//DG,

'：CF=DF,/.AF=FG.又AE=BE,

：.EF//BG,BGu0.

故EF//p.

同理E尸〃a.

下列選項中能夠推出直線a〃平面a的條件是（）

A.存在一條直線/j,b//a>a//bB.存在一