關于壓桿的穩定性問題第1頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三10.1壓桿穩定的基本概念

壓桿在軸向壓力F作用下處于直線的平衡狀態。1.穩定平衡

當干擾力撤消后桿件仍能恢復到原來的直線平衡狀態

2.不穩定平衡

3.臨界力

使壓桿直線形式的平衡由穩定轉變為不穩定時的軸向壓力稱為臨界力，用Fcr表示。

10.1.1平衡狀態的穩定性和不穩定性第2頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三(1)狹長矩形截面梁在橫向力超過一定數值時，會突然發生側向彎曲和扭轉。

其他形式的工程構件的失穩問題

(2)承受外壓的薄壁圓筒當外壓達到一定數值時，會突然失穩變成橢圓形。第3頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三失穩

不穩定的平衡物體在任意微小的外界干擾下的變化或破壞過程。穩定性

平衡物體在其原來平衡狀態下抵抗干擾的能力。穩定平衡隨遇平衡不穩定平衡（臨界狀態）小球平衡的三種狀態第十章壓桿穩定第4頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三10.1.2臨界狀態與臨界荷載

受壓桿滿足強度要求，即不產生破壞，安全短粗桿產生突然的橫向彎曲而喪失承載能力長細桿失去穩定性最大工作應力小于材料的極限應力建立不同的準則，即穩定性條件，確保壓桿不失穩工作最大值

<

臨界值第5頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三10.1.3三種類型壓桿的不同臨界狀態第6頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三第7頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三10.2

細長桿的臨界載荷—歐拉臨界力mmFM(x)=-FwxyBmxmwBxylF臨界力概念：干擾力去除后，桿保持微彎狀態。從撓曲線入手，求臨界力。10.2.1兩端鉸支的細長壓桿第8頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三該截面的彎矩桿的撓曲線近似微分方程壓桿任一x截面沿y

方向的位移（a)令

(b)式的通解為（A、B為積分常數）(b)得

mmxyBFM(x)=-Fw第9頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三邊界條件

由公式(c)討論：

若

mxmwBxylF則必須第10頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三

這就是兩端鉸支等截面細長受壓直桿臨界力的計算公式（歐拉公式）。令n=1,得當時，撓曲線方程為撓曲線為半波正弦曲線.mxmwBxylF第11頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三10.2.2其它剛性支承細長壓桿臨界載荷的通用公式1.細長壓桿的形式兩端鉸支一端自由一端固定一端固定一端鉸支兩端固定第12頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三2.其它支座條件下的歐拉公式lFcr2lFcrl0.3l0.7lFcrl—長度因數—相當長度歐拉公式lFcrl/4l/4l/2l第13頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三兩端鉸支一端固定，另一端鉸支兩端固定一端固定，另一端自由表10-1各種支承約束條件下等截面細長壓桿臨界力的歐拉公式

支承情況臨界力的歐拉公式長度因數

=1=0.7=0.5=2歐拉公式的統一形式（為壓桿的長度因數）第14頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三5.討論

為長度因數

l

為相當長度（1）相當長度l

的物理意義

壓桿失穩時，撓曲線上兩拐點間的長度就是壓桿的相當長度l.

l是各種支承條件下，細長壓桿失穩時，撓曲線中相當于半波正弦曲線的一段長度.第15頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三zyx取Iy，Iz中小的一個計算臨界力.

若桿端在各個方向的約束情況不同（如柱形鉸），應分別計算桿在不同方向失穩時的臨界壓力.I為其相應中性軸的慣性矩.

即分別用Iy，Iz

計算出兩個臨界壓力.然后取小的一個作為壓桿的臨界壓力.（2）橫截面對某一形心主慣性軸的慣性矩I

若桿端在各個方向的約束情況相同（如球形鉸等），則I應取最小的形心主慣性矩.第16頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三10.3.1長細比的定義域概念——臨界應力的歐拉公式——壓桿的柔度（長細比）——慣性半徑壓桿容易失穩柔度是影響壓桿承載能力的綜合指標。10-3長細比的概念三類不同壓桿的判斷第17頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三10.3.2三類不同壓桿的區分壓桿的分類（1）大柔度桿（2）中柔度桿（3）小柔度桿第18頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三式中，為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑。

10.3.3三類壓桿的臨界應力公式

臨界力Fcr除以橫截面面積A，即得壓桿的臨界應力

引入符號

λ稱為壓桿的柔度歐拉公式的另一形式。

第19頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三

只有在臨界應力小于比例極限的情況下，壓桿的失穩屬于彈性失穩，歐拉公式才能成立。

歐拉公式的適用范圍為

或寫成

令通常將λ≥λp的壓桿稱為大柔度桿或細長桿。

第20頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三

λp為能夠應用歐拉公式的壓桿柔度的低限值，它取決于材料的力學性能。

例如對于Q235鋼，E=206GPa，σp=200MPa，可得因而用Q235鋼制成的壓桿，只有當柔度λ≥100時才能應用歐拉公式計算臨界應力。

第21頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三小柔度桿（短粗壓桿）只需進行強度計算。臨界應力總圖：臨界應力與柔度之間的變化關系圖。slPl細長壓桿。——直線型經驗公式中柔度桿粗短桿大柔度桿10.3.4臨界應力總圖第22頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三細長桿—發生彈性屈曲(p)中長桿—發生彈塑性屈曲(s<p)粗短桿—不發生屈曲，而發生屈服(<s)

粗短桿中長桿細長桿第23頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三（1）確定臨界載荷

（2）穩定性安全校核（3）根據穩定性條件，判斷壓桿的穩定性或確定許可載荷。10.4

壓桿的穩定性計算10.4.1壓桿的穩定性計算內容第24頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三

壓桿的臨界壓力與實際工作壓力之比，稱為工作安全系數。

10.4.2安全因數法與穩定安全條件1.工作安全系數2.穩定安全系數

nst

3.穩定條件第25頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三（1）計算最大的柔度系數max；

（2）根據max選擇公式計算臨界應力；（3）根據穩定性條件，判斷壓桿的穩定性或確定許可載荷。10.4.3壓桿的穩定性計算過程第26頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三10.5壓桿穩定性計算示例例10?1圖所示托架中的桿CD為圓截面桿，材料為Q235鋼，直徑d=80mm，F=40kN。若規定的穩定安全系數nst=6，試校核托架的穩定性。

解考慮桿AB的平衡

桿CD截面的慣性半徑

桿CD的柔度

第27頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三桿CD屬于大柔度桿，可用歐拉公式計算臨界力

其工作安全系數

托架滿足穩定性要求。

第28頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三

例題10-2千斤頂如圖，已知絲杠長度l=375mm，有效直徑

d=45mm，材料為45號鋼，所受最大軸向壓力Fmax=80kN，規定的穩定安全系數為nst=4.試校核絲杠的穩定性。絲杠可簡化為一端固定、一端自由解：=2截面為圓形屬于中柔度桿1）計算絲杠柔度長度因數查表得

絲杠柔度第29頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三絲杠的臨界應力絲杠的工作安全因數2）計算臨界力用直線公式，查表得：a=461MPab=2.568MPa絲杠的臨界力3）穩定性校核

故絲杠穩定性滿足要求。第30頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三例題10-3磨床液壓裝置的活塞桿如圖，已知液壓缸內徑D=65mm，油壓p=1.2MPa.活塞桿長度l=1250mm，材料為35鋼，s

=220MPa，E=210GPa，nst

=6。試確定活塞桿的直徑。第31頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三解：活塞桿承受的軸向壓力為活塞桿承受的臨界壓力為把活塞的兩端簡化為鉸支座。pD活塞桿活塞d第32頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三用試算法求直徑（1）先由歐拉公式求直徑求得d=24.6mm.取d=25mm（2）用求得直徑計算活塞桿柔度由于

>P，所以前面用歐拉公式進行試算是正確的。第33頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三(1)選用優質鋼材并不能提高細長壓桿的穩定性。

10.6結論與討論10.6.1

穩定性計算的重要性(2)可以提高中、小柔度桿的臨界力。

10.6.2影響承載能力的因素壓桿約束愈強，其穩定性愈好。

第34頁，講稿共37頁，2023年5月2日，星期三1、選擇合理的截面形狀：2、改變壓桿的約束形式：約束越牢固3、選擇合理的材料：但是對于各種鋼材來講，彈性模量的數值相差不大。（1）大柔度桿——采