《公式法因式分解（1）》教學設計本節《1.3運用公式法因式分解（1）》是八年級上冊第一章第三節內容，占兩個課時，這是第一課時。【教材分析】因式分解是基本而重要的代數初步知識，這些知識是以后學習分式和根式運算、函數等知識的基礎，在后續的數學學習中具有重要意義，同時，這些知識也是學習物理、化學等學科及其他科學技術不可缺少的數學基礎知識。【學情分析】學生的技能基礎：學生在上幾節課的基礎上，已經基本了解整式乘法運算與因式分解之間的互逆關系，在七年級的整式的乘法運算的學習過程中，學生已經學習了平方差公式，這為今天的深入學習提供了必要的基礎。學生活動經驗基礎：通過前幾節課的活動和探索，學生對類比思想、數學對象之間的對比、觀察等活動形式有了一定的認識與基礎，本節課采用的活動方法是學生較為熟悉的觀察、對比、討論等方法，學生有較好的活動經驗，也能在這一系列活動中體會到思考的樂趣。【教學目標】知識與技能：了解平方差公式的特點，掌握平方差公式的結構特征，會用提公因式法和平方差公式將多項式進行因式分解。過程與方法：培養學生的觀察和歸納能力，進一步了解整體的思想方法，通過類比的方法，運用平方差公式因式分解。發展學生的語言表達能力和逆向思維能力；情感態度價值觀：積極參加探索活動，并在此過程中培養自己勇于挑戰的勇氣和戰勝困難的自信心，養成認真勤奮，嚴謹求實的科學態度。【教學重難點】教學重點：正確熟練地運用平方差公式因式分解。教學難點：對多項式進行適當變形，靈活運用平方差公式因式分解。【教法與學法分析】教法分析:在教學過程中，還是以教科書為基礎，探討知識發生的過程，并和學生一起研究如何經過由具體到抽象概括得到公式的結構特征，這將有助于訓練學生的思維，使學生領會到數學的思想和方法。適當地進行數學活動和交流，在探究、討論、思考的過程中獲得知識，培養能力。從教學內容的呈現上，采用循序漸進的方式，逐步提高難度，可以激發同學們的求知欲望。學法分析:在整個學習過程中,學生以“自主參與、勇于探索、合作交流”的探索式學法為主，在探究平方差公式因式分解的過程中，學生采取自主探索小組交流的方式，充分發揮小組的合作團隊的作用，從而達到提高學習能力的目的。在運用平方差公式因式分解的過程中，通過自己做題來發現問題，并且改正問題中的錯誤點。【教學資源】課本，導學案，課件。【課時安排】1課時【教學過程】本節課設計了六個教學環節：練一練——想一想——做一做——議一議——自我反思——自我檢測。﹝回顧與思考﹞第一環節：練一練1、把下列各式分解因式：（1）3a3b2-12ab3（2）a(m-2)+b(2-m)活動目的：學生通過練習，復習回顧前面學習的提公因式法因式分解，為后續的多項式的因式分解做鋪墊。活動方式：學生導學案上練習，學生交流答案，并通過一系列的提問復習提公因式法因式分解。注意事項：提公因式法因式分解是上節課學習的新內容，學生在判斷公因式方面可能還比較生疏，所以需要在此適當復習。2、填空：①25x2＝(_____)2②36a4＝(_____)2③64x2y2＝(_____)2④＝(_____)2⑤4(x-y)2=〔______〕2活動目的：通過練習，能讓學生能夠迅速地判斷一個平方式，這里逆用積的乘方法則，培養學生的逆向思維，也為后續的公式法因式分解做準備，分解難度。活動方式：學生導學案上完成，一列同學挨個回答結果，對于特別復雜的可以緊追問題。注意事項：對于多項式的平方的轉化，要注意運用整體思想。3、口算：1)(x+5)(x-5)=________(2)(3x-y)(3x+y)=_________活動目的：通過練習，在此引出整式乘法中的平方差公式，然后根據因式分解與整式乘法之間的互逆關系，引出本節課的課題﹝探究新知﹞第二環節：想一想活動內容：（1）下列多項式中，他們有什么共同特征？①x2-25②9x2-y2活動方式：學生自主觀察特點，并用語言描述特征（2）嘗試將它們分別寫成兩個因式的乘積，并與同伴交流。活動方式：小組交流探究（3）平方差公式有哪些特點？a2?b2=(a+b)(a?b)左邊：有兩項；每一項都是平方項；兩項符號相反右邊：兩數的和與差的積關鍵：確定公式中的a和b活動目的：引導學生通過對整式乘法的平方差公式的運用，再通過觀察，對比，很容易將后面兩個的多項式分解，并由第一環節的感性認識上升到理性認識，通過自己的歸納能找到因式分解中平方差公式的特征，并能明確運用平方差公式因式分解的關鍵是確定公式中的a和b。活動方法:在這里給學生充足的時間開展小組討論交流，然后再展示小組的討論結果注意事項：學生對平方差公式的正確使用掌握的比較快，但用語言敘述公式的左右兩邊的共同特征有一定的困難，必須在老師的指導下才能完成。第三環節做一做活動內容：（一）火眼金睛：下列多項式可不可以用平方差公式因式分解：①X2+y2②-x2+y2③-x2-y2④x2-(-y)2活動目的：培養學生的觀察能力和對平方差公式的辨別能力。活動方式：開展小組同學交流，再全班交流注意事項：學生對符號問題，經常忽略首項的符號，在此引導學生熟練運用加法交換律整理成平方差的形式。（二）把下列各式因式分解：（1）25–16x2解：25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x)↑↑↑↑↑↑a2-b2=(a+b)(a-b)（2）9a2–（3）1-9x2（4）-9x2+y2活動目的：培養學生對平方差公式的應用能力，強調規范步驟和規范思維。活動方法：對第一題教師示范步驟，并與公式對照，強調確定公式中的a和b，后三題由學生回答公式中的a和b，然后自主完成，三位同學上黑板完成，教師適當點評。注意事項:學生對含有分數的平方差公式應用起來有一定的困難，有的學生由于受解方程的影響，習慣首先去分母，再因式分解，這是很多學生經常犯的一個錯誤。第四環節議一議活動內容：（一）學以致用把下列各式因式分解：(1)a2b2-m2(2)-4x2+(2x-3y)2(3)9(x-y)2-(x+y)2活動方式：先由學生回答每個多項式中公式中的a和b分別是什么。然后再自主完成，投影一位同學的答案，由他本人來講解，教師適當點評。歸納得出：注意1：公式中的a,b可以是單獨的數字、字母，還可以是單項式和多項式，熟練運用整體的思想。（二）拓展延伸：把下列各式因式分解：(1)-1+x4(2)x4-81y4活動方式：第一題由小組交流討論做法，全班交流，第二題由學生自主完成，個別同學回答。歸納得出：注意2：每一個多項式因式必須要分解到不能再分解為止。（三）自我挑戰：把下列各式因式分解：(1)2x3-8x(2)a5-a3(3)x6-4x4(4)(x-1)+b2(1-x)活動方法：先由教師提問學生這一組多項式能不能直接套用平方差因式分解，然后再由學生獨立完成。在這里給學生足夠的時間來練習，然后將巡視過程中發現問題的同學做的答案投影點評，強調應該注意的問題-提公因式一定要提徹底。歸納得出：注意3：分解因式時，有公因式的一定要先提公因式，再運用公式法分解活動目的：（1）讓學生理解在平方差公式a2–b2=（a+b）（a–b）中的a與b不僅可以表示單項式，也可以表示多項式，向學生滲透整體的思想方法；(2)讓學生明確因式分解必須要分解到不能再分解為止;（3）使學生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式．注意事項：在教師的引導下，學生能逐步理解平方差公式中的a與b不僅可以表示單項式，也可以表示多項式；對于高次多項式，要注意分解因式要徹底；能提公因式的一定要先提公因式。（在此略微停頓一下，讓學生回顧剛才學習平方差公式法因式分解過程中應該注意哪些問題，將知識再一次地系統化）（四）簡便運算：請用簡便方法計算下列各式：（1）642-362（2）3.52-1.52活動目的：讓學生體會到平方差公式在簡便運算中可以發揮很大作用。活動方式：先由教師引領觀察算式特點，然后學生自主完成，兩個同學板演，教師適當點評。注意事項：一定先觀察是否符合平方差公式的特點。（五）錦上添花：如圖，在一塊邊長為a的正方形紙片的四角，各剪去一個邊長為b的正方形．用a與b表示剩余部分的面積，并求當a=76，b=24時的面積。活動目的：數學來源于生活，也應用于生活，聯系實際，可以初步地發展學生綜合應用能力。讓學生感受因式分解的重要性，同時也培養學生數形結合的能力。活動方式：小組交流，找個別同學交流自己的做法。注意事項：在實際應用中，部分學生對于因式分解的實際應用不能理解，他們沒有采用因式分解的方法，而是利用計算器硬生生地計算出來。第五環節自我反思總結提升：活動內容：從今天的課程中，你有哪些收獲呢？大家可以暢所欲言。活動目的：通過學生的回顧與反思，強化學生對整式乘法的平方差公式與因式分解的平方差公式的互逆關系的理解，發展學生的觀察能力和逆向思維能力，加深對類比數學思想的理解。注意事項：1、運用公式a2-b2=(a+b)(a-b)時應注意以下幾個問題：（1）公式中的a,b可以是單獨的數字、字母，還可以是單項式和多項式，熟練運用整體的思想。（2）每一個多項式因式必須要分解到不能再分解為止。（3）分解因式時，有公因式的一定要先提公因式，再運用公式法分解。2、我們學習的因式分解的方法有：提公因式法和公式法。3、在實際問題中，會熟練運用平方差公式簡化運算。（在反思結束之后，教師送給學生一句名言：嚴謹性之于數學，猶如道德之于人！達到教書育人的目的）第六環節：自我檢測活動內容：1、判斷正誤：（1）x2+y2=（x+y）(x–y)()（2）–x2+y2=–（x+y）(x–y)()（3）x2–y2=（x+y）(x–y)()（4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)()2、把下列各式因式分解：（1）4–m2（2）9m2–4n2（3）0.16x2-0.09y2z2（4）16（x-1）2-9(x+2)2（5）–16x4＋81y4（6）3x3y–12xy活動目的：通過學生的檢測，使教師能全面了解學生對平方差公式的特征是否清楚，對平方差公式分解因式的運用是否得當，因式分解的步驟是否真正了解，以便教師能及時地進行查缺補漏。在題目的設置上，也是囊括了本節課應該注意的問題。活動方式：導學案上檢測，做完小組收齊上交。課后練習：課本第10頁習題1．4第1、2、3題【板書設計】1.3公式法因式分解（1）平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)結構特點：（1）有兩項（2）每一項都是平方項（3）兩項的符號相反《公式法因式分解（1）》學情分析《數學課程標準（2011版）》強調：“重視學生在學習活動中的主體地位”。本節課在整個學習過程中，都是以學生自主探索、合作交流的學法為主的，給學生足夠的時間和機會經歷觀察、探究、歸納、實踐等活動過程。整式乘法中的平方差公式，學生運用很熟練，通過前面的學習也已經明確了因式分解與整式乘法的互逆關系，所以在新課引入的時候，大膽直接地將整式乘法的平方差公式直接反過來，通過嘗試、探究、歸納等活動能讓學生體會所學知識的應用，也能在這一系列活動中體會到思考的樂趣。針對學生對知識的認知規律，我在例題和習題的安排上，采取由淺入深的方法，讓學生大膽探索，經歷思維過程，使學生對新知識不產生任何的畏懼感，通過例題的講解、練習的鞏固、錯題的糾正，讓學生逐步掌握運用平方差公式進行因式分解。學生在練習過程中會出現這樣那樣的錯誤和不足，在此需要耐心給學生講解、分析，加深知識理解的準確性，數學講究規范性，無論從思維還是步驟的書寫，都要從細節上入手糾正。在這一點上，本節課學生表現很棒。本節課運用了大量的數學思想，比如類比，化歸，換元思想等，還使學生的觀察，比較，歸納，語言描述等各方面的能力都得到了提高，更加著重地培養了學生逆向思維能力，這不僅對提高解題能力有益，更重要的是改善學生學習數學的思維方式，有助于形成良好的思維習慣，激發學生的創新開拓精神，培養良好的思維習性，提高學習效果、學習興趣，及思維能力和整體素質。《公式法因式分解（1）》效果分析《數學課程標準（2011版）》提出:“評價不僅要關注學生的學習結果,更要關注學生在學習過程中的發展和變化”“關注學生情感態度的發展”。本節課通過直觀教學，借助多媒體吸引學生的注意力，喚起學生的求知欲，激發學習興趣。在整個學習過程中，學生以“自主參與、勇于探索、合作交流”的探索式學法為主。第一環節練一練，學生通過三組練習復習鞏固了以前所學的知識，為本節課的學習做了鋪墊。第二環節想一想，通過探究平方差公式的結構特征，同學們小組合作交流，積極參與活動，體驗到了成功的喜悅，增強了自信心。第三環節做一做，通過教師規范的板演，學生掌握了運用平方差公式因式分解第一步變形很重要，另外確定公式中的a和b，是運用平方差公式因式分解的關鍵。這一環節有學生黑板板演的評價方式，對于學生不規范的地方給予糾正和強調。第四環節議一議，這五組練習，是按照由淺及深，由理論到實踐的思路設計的，這樣可以讓學生循序漸進地掌握如何運用平方差公式因式分解。在每一組練習完成之后師生都一起加以歸納總結。在而且在活動過程中，以學生自主探究，小組合作為主要活動方式，讓學生體會到學習的樂趣，同時，隨著問題的層層遞進，也更加激起學生求知的欲望，有助于學生思維能力的培養。在這一環節，采取了多種評價方式，出現了多種問題，比如，提公因式不徹底，符號出現錯誤，分解不徹底等，對于每一個錯誤，教師都會跟學生一起詳細分析糾正，效果很好。第五環節自我反思，學生針對本節課的學習，暢所欲言，總結本節課所得，基本都能總結出本節課所得。并且在總結之后，教師送給學生一句名言，做到不僅教書更要育人。學生可以對于數學的嚴謹性更加重視。第六環節自我檢測，這種評價方式可以更全面的了解學生對本節課的學習成果。《公式法因式分解（1）》教材分析本節《1.3運用公式法因式分解（1）》是八年級上冊第一章第三節內容，占兩個課時，這是第一課時，1.教材的地位與作用：因式分解是基本而重要的代數初步知識，這些知識是以后學習分式和根式運算、函數等知識的基礎，在后續的數學學習中具有重要意義，同時，這些知識也是學習物理、化學等學科及其他科學技術不可缺少的數學基礎知識。因式分解有承上啟下的作用，學好它可以培養學生的觀察、注意、運算能力，又可以提高學生綜合分析問題和解決問題的能力。本節內容是在完成對提公因式法的探究的基礎上，進一步探索用平方差公式來因式分解，所以要引導學生理清公式的結構特征，建立數學建構意識，化抽象數學為具體模型，恰當運用公式進行因式分解。2.教學目標：知識與技能：了解平方差公式的特點，掌握平方差公式的結構特征；會用提公因式法和平方差公式將多項式進行因式分解。過程與方法：經歷探究分解因式的方法的過程，體會整式乘法與分解因式之間的聯系；通過乘法公式的逆向變形，發展學生觀察、歸納、類比、概括能力，有條理地思考及語言表達能力，培養學生的化歸思想，同時培養合作意識。情感態度價值觀：通過探究平方差公式，讓學生獲得成功的體驗，勇于發表自己的觀點，鍛煉克服困難的意志，建立自信心，并能從交流中獲益；養成認真勤奮，嚴謹求實的科學態度。3.教學重點：正確熟練地運用平方差公式因式分解。教學難點：所多項式進行適當變形，靈活運用平方差公式因式分解。《公式法因式分解（1）》導學案一、溫故知新：1、把下列各式分解因式：（1）3a3b2-12ab3（2）a(m-2)+b(2-m)2、填空：①25x2＝(_____)2②36a4＝(_____)2③64x2y2＝(_____)2④＝(_____)23、口算：(1)(x+5)(x-5)=________(2)(3x-y)(3x+y)=_________二、探究新知：想一想：（1）下列多項式中，他們有什么共同特征？①x2-25②9x2-y2（2）嘗試將它們分別寫成兩個因式的乘積,并與同伴交流.議一議：平方差公式有哪些特點？a2?b2=(a+b)(a?b)左邊：右邊：關鍵：火眼金睛：下列多項式可不可以用平方差公式因式分解？①X2+y2②-x2+y2③-x2-y2④x2-(-y)2三、例題講解：把下列各式因式分解：（1）25–16x2（2）9a2–（3）1-9x2（4）-9x2+y2四、議一議：（一）學以致用：把下列各式因式分解：(1)a2b2-m2(2)-4x2+(2x-3y)2(3)9(x-y)2-(x+y)2注意1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（二）拓展延伸：把下列各式因式分解：(1)-1+x4(2)x4-81y4注意2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（三）自我挑戰：把下列各式因式分解：(1)2x3-8x(2)a5-a3(3)x6-4x4(4)(x-1)+y2(1-x)注意3：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（四）我能行：請用簡便方法計算下列各式：（1）642-362（2）3.52-1.52（五）錦上添花：如圖，在一塊邊長為a的正方形紙片的四角，各剪去一個邊長為b的正方形．用a與b表示剩余部分的面積，并求當a=76，b=24時的面積．五：自我檢測：1、判斷正誤：（1）x2+y2=（x+y）(x–y)()（2）–x2+y2=–（x+y）(x–y)()（3）x2–y2=（x+y）(x–y)()（4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)()2、把下列各式因式分解：（1）4–m2（2）9m2–4n2（3）0.16x2-0.09y2z2（4）16（x-1）2-9(x+2)2（5）–16x4＋81y4（6）3x3y–12xy《公式法因式分解（1）》課后反思新課程標準要求“以學定教”、“教”服務于學，實現教師帶著學生走向知識，直到學生帶著知識走向教師，走向家長，走向社會……從而真正確立學生學習的主體地位，真正確立學生學習的主人地位。因此，在本節課的設計中，我做到了以下幾點：1、備課時認真備學生。在數學教學過程中，知識的傳授不應只是教師單純地講解與學生簡單的模仿，而應通過教學活動，讓學生經歷知識的形成與應用過程，從而使學生更好的理解知識的意義，掌握必要的技能，發展應用數學的意識，增強學好數學的愿望與信心。在以后的教學中應該更多結合學生的學習情況去調整教學進度，多發現學生在學習方面的優勢和不足之處，做到有的放矢。整式乘法中的平方差公式，學生運用很熟練，對于整式乘法與因式分解的互逆關系，在上一節課也有所了解，所以在新課引入的時候，大膽直接地將整式乘法的平方差公式直接反過來使用，從而引入因式分解中的平方差公式。針對學生對知識的認知規律，我在安排例題和習題上都是由淺及深，分組分類的安排，便于激發學生對新知識的求知欲望，并且在掌握新知識方面，會更加系統規范。2、大膽讓學生參與，讓學生在錯誤中成長。在新課學習過程中，首先讓學生回憶前面在整式的乘法中遇到的乘法公式，比如平方差公式，讓學生討論怎樣的多項式能用平方差公式因式分解？真正理解公式中的a和b，理解整式乘法與因式分解的關系。使學生形成了一種逆向的思維方式。采取由淺入深的方法，讓學生大膽探索，經歷思維過程，使學生對新知識不產生任何的畏懼感，通過例題的講解、練習的鞏固、錯題的糾正，讓學生逐步掌握運用平方差公式進行因式分解。學生在練習過程中會出現這樣那樣的錯誤和不足，在此需要耐心給學生講解、分析，加深知識理解的準確性，數學講究規范性，無論從思維還是步驟的書寫，都要從細節上入手糾正。在這一點上，本節課學生表現很棒。3、關注學生能力的培養。本節課運用了大量的數學思想，比如類比，化歸，換元思想等，還使學生的觀察，比較，歸納，語言描述等各方面的能力都得到了提高，對于互逆的思維能力的培養更是發揮的淋漓盡致。逆向思維是一種啟發智力的方式，它有悖于人們通常的習慣，而正是這一特點，使得許多靠正向思維不能或是難于解決的問題迎刃而解。一些正向思維雖能解決的問題，在它的參與下，過程可以大大簡化，效率可以成倍提高．正思與反思就象分析的一對翅膀，不可或缺。傳統的課堂教學結果表明：許多學生之所以處于低層次的學習水平，有一個重要因素，即逆向思維能力薄弱，定性于順向學習公式、定理等并加以死板套用，缺乏創造能力、觀察能力、分析能力和開拓精神。因此，培養學生的逆向思維能力，不僅對提高解題能力有益，更重要的是改善學生學習數學的思維方式，有助于形成良好的思維習慣，激發學生的創新開拓精神，培養良好的思維習性，