頁線性代數復習要點第一部分行列式1.排列的逆序數2.行列式按行（列）展開法則3.行列式的性質及行列式的計算行列式的定義行列式的計算：=1\*GB3①(定義法)=2\*GB3②（降階法）行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零.=3\*GB3③(化為三角型行列式)上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.④若都是方陣（不必同階）,則⑤關于副對角線：⑥范德蒙德行列式：⑦型公式：⑧(升階法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不變的方法.⑨(遞推公式法)對階行列式找出與或,之間的一種關系——稱為遞推公式，其中,,等結構相同，再由遞推公式求出的方法稱為遞推公式法.(拆分法)把某一行（或列）的元素寫成兩數和的形式，再利用行列式的性質將原行列式寫成兩行列式之和，使問題簡化以例計算.⑩(數學歸納法)2.對于階行列式，恒有：，其中為階主子式；3.證明的方法：①、；②、反證法；2.逆矩陣的求法方陣可逆.=1\*GB3①伴隨矩陣法eq\o\ac(○,注)：=2\*GB3②初等變換法=3\*GB3③分塊矩陣的逆矩陣：④,⑤配方法或者待定系數法（逆矩陣的定義）行階梯形矩陣可畫出一條階梯線，線的下方全為；每個臺階只有一行，臺階數即是非零行的行數，階梯線的豎線后面的第一個元素非零.當非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是時，稱為行最簡形矩陣初等變換與初等矩陣對換變換、倍乘變換、倍加（或消法）變換初等變換初等矩陣初等矩陣的逆初等矩陣的行列式()()()?矩陣的初等變換和初等矩陣的關系：對施行一次初等eq\o\ac(○,行)變換得到的矩陣,等于用相應的初等矩陣eq\o\ac(○,左)乘；對施行一次初等eq\o\ac(○,列)變換得到的矩陣,等于用相應的初等矩陣eq\o\ac(○,右)乘.注意：初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣.矩陣的秩關于矩陣秩的描述：①、，中有階子式不為0，階子式(存在的話)全部為0；②、，的階子式全部為0；③、，中存在階子式不為0；?矩陣的秩的性質：①≥;;≤≤②③④⑤≤⑥若、可逆，則；即：可逆矩陣不影響矩陣的秩.⑦若；若⑧等價標準型.⑨≤,≤≤⑩,?求矩陣的秩：定義法和行階梯形陣方法6矩陣方程的解法()：設法化成第三部分線性方程組1.向量組的線性表示2.向量組的線性相關性3.向量組的秩4.向量空間5.線性方程組的解的判定6.線性方程組的解的結構（通解）（1）齊次線性方程組的解的結構（基礎解系與通解的關系）（2）非齊次線性方程組的解的結構（通解）線性表示：對于給定向量組，若存在一組數使得，則稱是的線性組合，或稱稱可由的線性表示.線性表示的判別定理:可由的線性表示由個未知數個方程的方程組構成元線性方程：①、有解②、③、（全部按列分塊，其中）；④、（線性表出）⑤、有解的充要條件：（為未知數的個數或維數）2.設的列向量為,的列向量為，則，為的解可由線性表示.即：的列向量能由的列向量線性表示，為系數矩陣.同理：的行向量能由的行向量線性表示，為系數矩陣.即：線性相關性判別方法：法1法2法3推論?線性相關性判別法（歸納）?線性相關性的性質零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交.單個零向量線性相關；單個非零向量線性無關.部分相關,整體必相關；整體無關,部分必無關.（向量個數變動）原向量組無關,接長向量組無關；接長向量組相關,原向量組相關.（向量維數變動）兩個向量線性相關對應元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關.向量組中任一向量≤≤都是此向量組的線性組合.若線性無關，而線性相關,則可由線性表示,且表示法唯一4.最大無關組相關知識向量組的秩向量組的極大無關組所含向量的個數，稱為這個向量組的秩.記作矩陣等價經過有限次初等變換化為.向量組等價和可以相互線性表示.記作：矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩.行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行（列）向量間的線性關系向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關.向量組線性無關,且可由線性表示,則≤.向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價；任一向量組和它的極大無關組等價.向量組的任意兩個極大無關組等價.向量組的極大無關組不唯一，但極大無關組所含向量個數唯一確定.若兩個線性無關的向量組等價,則它們包含的向量個數相等.設是矩陣,若，的行向量線性無關；5.線性方程組理論線性方程組的矩陣式向量式其中（1）解得判別定理（2）線性方程組解的性質：(3)判斷是的基礎解系的條件：①線性無關；②都是的解；③.(4)求非齊次線性方程組Ax=b的通解的步驟

（5）其他性質一個齊次線性方程組的基礎解系不唯一.√若是的一個解，是的一個解線性無關√與同解（列向量個數相同）,且有結果：①它們的極大無關組相對應,從而秩相等；②它們對應的部分組有一樣的線性相關性；③它們有相同的內在線性關系.√矩陣與的行向量組等價齊次方程組與同解（左乘可逆矩陣）；矩陣與的列向量組等價（右乘可逆矩陣）.第四部分方陣的特征值及特征向量1.施密特正交化過程2.特征值、特征向量的性質及計算3.矩陣的相似對角化，尤其是對稱陣的相似對角化1.標準正交基個維線性無關的向量,兩兩正交,每個向量長度為1.向量與的內積.記為：④向量的長度⑤是單位向量.即長度為的向量.2.內積的性質：①正定性：②對稱性：③線性性：設A是一個n階方陣,若存在數和n維非零列向量,使得，則稱是方陣A的一個特征值，為方陣A的對應于特征值的一個特征向量.的特征矩陣（或）.的特征多項式（或）.④是矩陣的特征多項式⑤，稱為矩陣的跡.⑥上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的各元素.⑦若,則為的特征值,且的基礎解系即為屬于的線性無關的特征向量.⑧一定可分解為=、,從而的特征值為：,.eq\o\ac(○,注)為各行的公比，為各列的公比.⑨若的全部特征值，是多項式,則:①若滿足的任何一個特征值必滿足②的全部特征值為；.⑩與有相同的特征值，但特征向量不一定相同.特征值與特征向量的求法(1)寫出矩陣A的特征方程，求出特征值.(2)根據得到A對應于特征值的特征向量.設的基礎解系為其中.則A對應于特征值的全部特征向量為其中為任意不全為零的數.與相似（為可逆矩陣）與正交相似（為正交矩陣）可以相似對角化與對角陣相似.（稱是的相似標準形）6.相似矩陣的性質：①,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.eq\o\ac(○,注)是關于的特征向量,是關于的特征向量.②③從而同時可逆或不可逆④⑤若與相似,則的多項式與的多項式相似.矩陣對角化的判定方法①n階矩陣A可對角化(即相似于對角陣)的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量.這時,為的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為的特征值.設為對應于的線性無關的特征向量,則有：.②可相似對角化，其中為的重數恰有個線性無關的特征向量.eq\o\ac(○,注)：當為的重的特征值時，可相似對角化的重數基礎解系的個數.③若階矩陣有個互異的特征值可相似對角化.實對稱矩陣的性質：①特征值全是實數,特征向量是實向量；②不同特征值對應的特征向量必定正交；eq\o\ac(○,注)：對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關；③一定有個線性無關的特征向量.若有重的特征值,該特征值的重數=；④必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經正交變換化為標準形；⑤與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經可逆線性變換化為標準形；⑥兩個實對稱矩陣相似有相同的特征值.9.正交矩陣正交矩陣的性質：①；②；③正交陣的行列式等于1或-1；④是正交陣,則，也是正交陣；⑤兩個正交陣之積仍是正交陣；⑥的行（列）向量都是單位正交向量組.10.11.施密特正交規范化線性無關,單位化：技巧：取正交的基礎解系，跳過施密特正交化。讓第二個解向量先與第一個解向量正交，再把第二個解向量代入方程，確定其自由變量.第四部分二次型1.二次型及其矩陣形式2.二次型向標準形轉化的三種方式3.正定矩陣的判定1.二次型其中為對稱矩陣，與合同.（）正慣性指數二次型的規范形中正項項數負慣性指數二次型的規范形中負項項數符號差(為二次型的秩)④兩個矩陣合同它們有相同的正負慣性指數他們的秩與正慣性指數分別相等.⑤兩個矩陣合同的充分條件是：與等價⑥兩個矩陣合同的必要條件是：2.經過化為標準形.正交變換法配方法（1）若二次型含有的平方項，則先把含有的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進行，直到都配成平方項為止，經過非退化線性變換，就得到標準形;若二次型中不含有平方項，但是(),則先作可逆線性變換,化二次型為含有平方項的二次型，然后再按(1)中方法配方.初等變換法3. 正定二次型不全為零，.正定矩陣正定二次型對應的矩陣.4.為正定二次型（之一成立）：（1），；（2）的特征值全大于；（3）的正慣性指數為；（4）的所有順序主子式全大于；（5）與合同，即存在可逆矩陣使得；（6）