為了估計總體X的未知參數，前面已經介紹了矩估計法和極大似然估計法．由于總體X的未知參數的估計量是隨機變量，無論這個估計量的性質多么好，它只能是未知參數的近似值，而不是的真值．并且樣本不同，所得到的估計值也不同．那么的真值在什么范圍內呢？是否能通過樣本，尋求一個區間，并且給出此區間包含參數真值的可信程度．這就是總體未知參數的區間估計問題．§2·4區間估計1應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計定義1

設總體X的分布函數F(x;)含有一個未知參數,,對于給定值(0<<1),若由樣本X1,X2,…,Xn確定的兩個統計量和滿足則稱隨機區間是的置信度為的置信區間,

和分別稱為置信度為的雙側置信區間的置信下限與置信上限，稱為置信水平(置信度)．2.4.1區間估計的一般步驟這種估計的方法叫做區間估計.評價一置信區間好壞的兩個標準：1）精度：越小越好；2）置信度：越大越好.2應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計１）當Ｘ是連續型隨機變量時，對于給定的，我們總是按要求：求出置信區間．［注］２）當Ｘ是離散型隨機變量時，對于給定的，常常找不到區間使得恰好為．此時我們去找使得盡可能地接近．3應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計區間估計的一般步驟：1.給出“好”的點估計（按前面的標準），并知道它的分布（只依賴待估的未知參數）；2.求一個區間（參數的一個鄰域）或，使得對于給定的置信水平，且一般要求區間長盡可能小。將不等式變形得到等價的形式

其中g(x)為可逆的已知函數，的分布已知且與θ無關。4應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計對于給定的(0<<1),令

設總體X~N(,2),X1,X2,…,Xn是總體X的樣本，求,2

的置信水平為(1)的置信區間.

2.4.2單個正態總體的情況⑴均值的置信區間(a)2為已知時,因為求得的置信度水平為(1)的置信區間:(2為已知)/2/2或X是,的無偏估計,且5應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計(b)2為未知時,因為S2是2的點估計量,所以用S替換,求得的置信水平為(1)的置信區間:(2未知)/2/26應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計1)例如當=0.05

時,即1-=0.95,查表得于是得到的置信水平為0.95的置信區間:即即(4.71,5.69)這時已不是隨機區間,說明的真值含在(4.71,5.69)的可信程度為95%.2)若樣本值為,則得到一個置信區間3)置信水平為(1)的置信區間不唯一.如上例=0.05,可證又若=1,n=16,置信區間長度越短表示估計的精度越高.÷÷????è?+-96.099.0,znXznXss7應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計例1

有一大批月餅，現從中隨機地取16袋，稱得重量（以克計）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496，設袋裝月餅的重量近似地服從正態分布，試求總體均值的置信度為0.95的置信區間。解：2未知,1-=0.95,/2=0.025,n-1=15,

由公式(2)得均值的置信度為0.95的置信區間為即（500.4,507.1）

這就是說估計袋裝月餅重量的均值在500.4與507.1之間，這個估計的可信程度為95%。若以此區間內任一值作為的近似值，其誤差不大于（克），這個誤差估計的可信程度為95%。由已知的數據算得8應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計

2的無偏估計量為S*2

，(只介紹未知的情況)當1-給定后,因為即得到方差2

的一個置信度為1-

的置信區間:(2)方差2

的置信區間標準差的一個置信度為1-

的置信區間/2/29應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計例2

有一大批糖果,現從中隨機地取16袋,稱得重量（以克計）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496,設袋裝糖果的重量近似地服從正態分布，試求總體標準差的置信度為0.95的置信區間。解：現在查表得又S*=6.2022，(4.58,9.60)得所求的標準差的置信區間為由(4)式10應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計2.4.3兩個正態總體參數的區間估計

[例2.27]有A、B兩種牌號的燈泡各一批，A、B種燈泡的壽命是獨立的且分別服從.希望通過抽樣試驗并進行區間估計，考察：

(ⅰ)兩種燈泡的壽命是否有明顯差異；(ⅱ)兩種燈泡的質量穩定性是否有明顯差異.

在實際中常遇到下面的問題：已知產品的某一質量指標服從正態分布，但由于原料、設備條件、操作人員不同，或工藝過程的改變等因素，引起總體均值、總體方差有所改變,我們需要知道這些變化有多大，這就需要考慮兩個正態總體均值差或方差比的估計問題。11應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計1．兩個總體均值差的置信區間(a)

和已知,求的置信區間

相互獨立由此可得的一個置信水平為的置信區間為：

設總體X~N(1,12),Y~N(2,22),X1,X2,…,Xn1是X的樣本,Y1,Y2,…,Yn2是Y的樣本.這兩個樣本相互獨立，分別為第一、二個總體的樣本均值與方差.12應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計

(b),但為未知.從而可得的一個置信度為的置信區間為由定理1.15,時，13應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計[例2.28]在例2.27中,隨機選取A種燈泡5只,B種燈泡7只,做燈泡壽命實驗,算得兩種牌號的平均壽命分別為1000和980小時,樣本方差分別為784和1024小時2.取置信度0.99,希望進行區間估計.考察：

(ⅰ)兩種燈泡的壽命是否有明顯差異；(ⅱ)兩種燈泡的質量穩定性是否有明顯差異.

14應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計僅討論總體均值1,2

為未知的情況。

(2)兩個總體方差比的置信區間由于于是得的一個置信度為的置信區間為15應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計例

研究由機器A和機器B生產的鋼管的內徑，隨機抽取機器A生產的管子18只，測得樣本方差；抽取機器生產的管子13只，測得樣本方差。設兩樣本相互獨立，且設由機器A、機器B生產的管子的內徑分別服從正態分布，這里均未知。試求方差比的置信度為0.90的置信區間。即（0.45,2.79）由于的置信區間包含1，在實際中我們就認為兩者沒有顯著差別。解現在16應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計*單側置信區間

定義設總體的分布函數為，其中是未知參數，為總體的樣本，給定，如果存在統計量滿足：，則稱隨機區間是的置信水平為的單側置信區間，稱為單側置信下限，稱為置信水平或置信度。如果存在統計量，滿足則稱隨機區間是的置信水平為的單側置信區間，稱為單側置信上限。17應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計

例從某批燈泡中隨機地取5只作壽命試驗．測得其壽命（單位：h）如下：

10501100112012501280設燈泡的壽命服從正態分布，試求均值的置信度為0.95的單側置信區間(θ1,+∞)．

解設燈泡壽命為，由于．由=0.95查表得，使得，即，18應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計

本題中，=2.1318,因此的置信度為0.95的單側置信區間為亦即的0.95置信下限為1065．于是得的置信度為的單側置信區間為亦即的置信下限為..19應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計記，置信水平為，則

[例2.29]

大樣本場合下非正態總體均值μ的區間估計

由中心極限定理知，只要n充分大，近似地有：當已知時，的置信區間為當未知時，的置信區間為2.4.4非正態總體參數的區間估計20應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計X1,X2,…,Xn(n>50)是X的大樣本，求p的置信度為(1)

的置信區間.2.4.4非正態總體參數的區間估計[例2.30]設總體X~b(1,p),p為未知參數,X的分布律為由中心極限定理，知已知(0-1)分布的均值和方差分別為于是有近似N(0，1)21應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計記而不等式等價于此處于是得p

的近似的置信度為(1)

置信區間為:22應用數理統計第二章參數估計(3)區間估計解一級品率