7.37.3.2第2課時三角函數的圖象和性質三角函數的圖象與性質正弦、余弦函數的圖象與性質成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數學同步資源大全QQ群552511468也可聯系微信fjmath加入百度網盤群4000G一線老師必第備7資章料一三鍵轉角存函自動數更新永不過期掌握y＝sin

x，y＝cos

x

的最大值與最小值，并會求簡單三角函數的值域和最值．(重點、難點)掌握y＝sin

x，y＝cos

x

的單調性，并能利用單調性比較大小．(重點)1．通過單調性與最值的計算，提升數學運算素養．3．會求函數y＝Asin(ωx＋φ)及y＝2．借助函數圖象，培養直觀想象素Acos(ωx＋φ)的單調區間．(重點、養．易錯點)01必備知識·情境導學探新知知識點π3回顧正、余弦函數的圖象，嘗試探究函數y＝sin2x－的定義域、值域、單調性、周期性、奇偶性、對稱軸、對稱中心．2kπ＋π

k∈Z)2(x＝2kπ—π

k∈Z)2(函數正弦函數y＝sin

x，x∈R余弦函數y＝cos

x，x∈R最值π當x＝

2kπ＋2(k∈Z)時，取得最大值

1

；π當x＝2kπ－2(k∈Z)時，取得最小值－1

當

x＝2kπ(k∈Z)時，取得最大值1；當

x＝2kπ＋π(k∈Z)

時，取得最小值

－1

_周期性周期函數，T＝

2_π周期函數，T＝

2π

函數 正弦函數y＝sin

x，x∈R余弦函數y＝cos

x，x∈R奇偶性對稱單調性

π

π2kπ—

，2kπ＋

2

2(k∈Z)上是增函數；在

π

3π2kπ＋

，2kπ＋

2 2

(k∈Z)在

[2kπ－π，2kπ](k∈Z)

上是增函數；在

[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)

上是減函數偶函數，圖象關于y軸對稱奇

函數，圖象關于原點在

ππ2kπ－2，2kπ＋2

π

3π2kπ＋2，2kπ＋

2

(k∈Z)上是減函數x＝kπ＋π

k∈Z)2(函數正弦函數y＝sin

x，x∈R余弦函數y＝cos

x，x∈R對稱性關于x＝kπ

π

k∈Z)成＋2(軸對稱，關于_(kπ，0)_(k∈Z)

成中心對稱關于

x＝kπ(k∈Z)

成軸對稱，關于

π

成中心對稱kπ＋2，0(k∈Z)

π2π2[提示]

不正確．正弦函數在每個閉區間2kπ－

，2kπ＋

(k∈Z)上是增函數，并不是在整個定義域上是增函數，同樣的，余弦函數在每個閉區間[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是減函數，并不是在整個定義域上是減函數．[提示]π由正弦函數和余弦函數的單調性可知m＝2，n＝π．[提示]

π

2(1)∵y＝sinx＋＝cos

x，∴是偶函數．(2)T＝2π

π．f(－x)＝3sin(－2x)＝－3sin

2x，故為奇函數．2

＝

π2π2(3)y＝sin

x在－，上是增函數．(4)y＝cos

x的值域為[－1,1]．[答案]

(1)×

(2)√

(3)×(4)×2，1

321212[由sin

x∈[－1,1]，得sin

x∈－，12，121

32

2所以

sin

x＋1∈

，

．]kπ

2，0，k∈Z[y＝sin(2x＋π)＝－sin

2x，2由2x＝kπ

得x＝kπ(k∈Z)，kπ

2

∴y＝sin(2x＋π)的對稱中心為

，0，k∈Z．]02關鍵能力·合作探究釋疑難類型1

類型2類型3π[解]

令z＝x－3，則y＝2sin

z．π∵z＝x－3是增函數，∴y＝2sin

z是增(減)函數時，

π

3函數y＝2sin

x－

也是增(減)函數．π2π2由z∈2kπ－，2kπ＋(k∈Z)，3π

π2π2得x－∈2kπ－，2kπ＋(k∈Z)，6即x∈2kπ－，2kπ＋π

5π6

(k∈Z)，

π

3π6故函數

y＝2sin

x－的增區間為2kπ－，2kπ＋5π6

(k∈Z)．

π

3同理可求函數

y＝2sin

x－

的減區間為2kπ＋5π

6，2kπ＋116π(k∈Z)．[母題探究]求函數y＝2sin

π4x—的減區間．[解]

y＝2sinπ4－x＝－2sin

x—π4，42令

z＝x－π，而函數

y＝－2sin

z

的減區間是－π＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)．∴原函數遞減時，得－24

2π＋2kπ≤x－π≤π＋2kπ(k∈Z)，π

3π得－4＋2kπ≤x≤4

＋2kπ(k∈Z)．4

4π∴原函數的減區間是－π＋2kπ，3π＋2k

(k∈Z)．求正、余弦函數的單調區間的策略結合正、余弦函數的圖象，熟記它們的單調區間.在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函數的單調區間時，應采用“換元法”整體代換，將“ωx＋φ”看作一個整體“z”，即通過求

y＝Asin

z

的單調區間而求出原函數的單調區間.求形如

y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函數的單調區間同上.[跟進訓練]1．求下列函數的增區間：(1)y＝cos

2x；[解]

由

2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，2所以kπ－π≤x≤kπ(k∈Z)，π2所以函數y＝cos

2x

的增區間為kπ－，kπ(k∈Z)．π

π6

2

(2)y＝sin

－x，x∈

，2π．π

6－x＝－sinx－

π

6，[解]

因為

y＝sin所以函數y＝sinπ

6－x的增區間就是函數y＝sin

π

6x－的減區間，由2kπ＋π≤x－π≤2

62kπ＋3π2

，k∈Z，得2kπ＋2π5π3

≤x≤2kπ＋

3

，k∈Z．π2因為

x∈

，2π，所以所求函數的增區間為

3，2π

5π3

．[解]

sin

194°＝sin(180°＋14°)＝－sin

14°，cos

160°＝cos(90°＋70°)＝－sin

70°．∵0°<14°<70°<90°，函數y＝sin

x在區間(0°，90°)內是增函數，∴sin

14°<sin

70°，∴－sin

14°>－sin

70°，∴sin

194°>cos

160°．2(2)cos

3，sin1

，－cos

7；10

4[解]

sin

1

10＝cosπ2—1

10，－cos74＝cosπ－

7

4，3∵0<π－7 π－

1

<

<π，4<2

10

2函數y＝cos

x

在(0，π)上是減函數，

∴cosπ－

>cos

7

π

4

2—101

32>cos

，即－cos

7>sin

1

3．4

10>cos

2(3)sinsin3π8與sincos3π8

．[解]

cos3π8π

π2

8＝cos

－

＝sinπ8．∵0<

<π

3π

π8

8

2

π

2<

，函數y＝sin

x

在0，內是增函數，π∴sin

8<sin3π

3π

3π8，∴cos

8<sin

8

．8

<sin

8

<1函數y＝sin

x

在(0,1)內是增函數，∴sincos8

<sinsin3π

3π8

．比較三角函數值大小的步驟異名函數化為同名函數；利用誘導公式把角轉化到同一單調區間上；(3)利用函數的單調性比較大小.[跟進訓練]2．比較大小：(1)cos－7π

8

與cos7π6；[解]

cos

－7π

8

＝cos7π8＝cos

π－

π

8＝－cos

π，而

cos

7π6

＝－8

6cos

π，∵

π

π

π

π

π0<8<6<2，∴cos

8>cos

6．∴－cosπ8<－cosπ6，∴cos－7π

8

<cos7π6．(2)sin

7與

cos

5．4

3[解]

∵cos53＝sin2＋π

53，π

7

π

5

3

2<4<2＋3<2π，π2又

y＝sin

x

在

，3π2

上是減函數，∴sin74>sin2π

53＋

＝cos53，即sin74>cos53．[解]

∵－π≤x≤π，6

6∴0≤2x＋π≤2π3 3

，π3∴0≤sin2x＋

≤1，π3∴當sin2x＋＝1

時，取得最大值2；π3當sin2x＋＝0

時，取得最小值0．π6(2)求函數

y＝－2cos2x＋2sin

x＋3，x∈

，5π6

的值域．[解]

y＝－2(1－sin2x)＋2sin

x＋3＝2sin2x＋2sin

x＋121212＝2sin

x＋

＋

．∵x∈π6，5π6

，1∴2≤sin

x≤1．當sinx＝1

時，取得最大值5；1

5當sin

x＝2時，取得最小值2．5

2

∴函數

y＝－2cos2x＋2sin

x＋3的值域為

，5．[母題探究]π

π

ππ1．(變條件)將本例(1)中“－6≤x≤6”改為“－3≤x≤6”，求yπ3＝2sin2x＋的最值．[解]

∵－π≤x≤π，3

6∴－π≤2x＋π≤2π3

3 3，2∴－

3≤sin2x＋π3≤1，∴當sin2xπ3＋

＝1

時，取得最大值2，當sin2x＋3π

32＝－

時，取得最小值－3．2．(變條件)本例(2)中“y＝－2cos2x＋2sin

x＋3”改為“y＝－2cos2x＋2cosx＋3”，其它條件不變，求值域．21272[解]

y＝－2cos

x－

＋

，π∵x∈

，5π6 6

，∴－ 3≤cos

x≤

3．2

2當cos

x＝12時，取得最大值27．當

cos

x＝－

3 3－

3．2

時，取得最小值2求形如y＝Asin

x＋B

或y＝Acos

x＋B

型的三角函數的最值問題，一般運用三角函數的有界性求最值．求最值時要注意三角函數的定義域，尤其要注意題目中是否給定了區間．求解形如y＝asin2x＋bsin

x＋c(或y＝acos2x＋bcos

x＋c)，x∈D的函數的值域或最值時，通過換元，令t＝sin

x(或cos

x)，將原函數轉化為關于t

的二次函數，利用配方法求值域或最值即可．求解過程中要注意t＝sin

x(或cos

x)的有界性．[跟進訓練]3．求下列函數的值域．(1)y＝cos

x＋

π

，x∈0，

π

6

2；

π

π

6

2π6

π[解]

由

y＝cos

x＋

，x∈0，

可得

x＋

∈

，2π6 3

，π6因為函數

y＝cos

x

在區間

，2π3

上單調遞減，所以函數的值域為2－

，1

32

．(2)y＝cos2

x－4cos

x＋5．[解]

y＝cos2

x－4cos

x＋5，令

t＝cos

x，則－1≤t≤1．y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，當t＝－1，函數取得最大值10；t＝1

時，函數取得最小值2，所以函數的值域為[2,10]．學習效果·課堂評估夯基礎03π2π21．函數y＝－cos

x

在區間－，上是()A．增函數C．先減后增函數B．減函數D．先增后減函數π2π2C

[因為y＝cos

x

在區間－，上先增后減，π2π2所以y＝－cos

x

在區間－，上先減后增．])2．正弦函數y＝sinx，x∈R

的圖象的一條對稱軸是(A．y

軸

B．x

軸2C．直線

x＝π

D．直線

x＝πC

[當x＝π時，y

取最大值，∴x＝π是一條對稱軸．]2

2π33．函數

y＝sin2x－的增區間是

．kπ－1212，kπ＋

(k∈Z)π

5π

π2π

π3

2[令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)得kπ－π≤x≤5π＋kπ(k∈Z)．]12

124．將

cos

150°，sin

470°，cos760°按從小到大排列為

．cos

150°＜cos

760°＜sin

470°

[cos

150°＜0，sin

470°＝sin

11