點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試練習(xí)題(含答案)

點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試以下是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試的單項(xiàng)選擇題。1.已知$X=\{a,b,c,d,e\}$，下列集族中，哪個(gè)是$X$上的拓?fù)洌竣?T=\{X,\varnothing,\{a\},\{a,b\},\{a,c,e\}\}$②$T=\{X,\varnothing,\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,b,c,e\}\}$③$T=\{X,\varnothing,\{a\},\{a,b\}\}$④$T=\{X,\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{d\},\{e\}\}$答案：③2.設(shè)$X=\{a,b,c\}$，下列集族中，哪個(gè)是$X$上的拓?fù)洌竣?T=\{X,\varnothing,\{a\},\{a,b\},\{c\}\}$②$T=\{X,\varnothing,\{a\},\{a,b\},\{a,c\}\}$③$T=\{X,\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,c\}\}$④$T=\{X,\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\}\}$答案：④3.已知$X=\{a,b,c,d\}$，下列集族中，哪個(gè)是$X$上的拓?fù)洌竣?T=\{X,\varnothing,\{a\},\{a,b\},\{a,c,d\}\}$②$T=\{X,\varnothing,\{a,b,c\},\{a,b,d\}\}$③$T=\{X,\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,c,d\}\}$④$T=\{X,\varnothing,\{a\},\{b\}\}$答案：②4.設(shè)$X=\{a,b,c\}$，下列集族中，哪個(gè)是$X$上的拓?fù)洌竣?T=\{X,\varnothing,\{b\},\{c\},\{a,b\}\}$②$T=\{X,\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\},\{a,c\}\}$③$T=\{X,\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,c\}\}$④$T=\{X,\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\}\}$答案：③5.已知$X=\{a,b,c,d\}$，下列集族中，哪個(gè)是$X$上的拓?fù)洌竣?T=\{X,\varnothing,\{a,b\},\{a,c,d\}\}$②$T=\{X,\varnothing,\{a,b\},\{a,c,d\}\}$③$T=\{X,\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,c,d\}\}$④$T=\{X,\varnothing,\{a\},\{c\},\{a,c\}\}$答案：③6.設(shè)$X=\{a,b,c\}$，下列集族中，哪個(gè)是$X$上的拓?fù)洌竣?T=\{X,\varnothing,\{a\},\{b\},\{b,c\}\}$②$T=\{X,\varnothing,\{a,b\},\{b,c\}\}$③$T=\{X,\varnothing,\{a\},\{a,c\}\}$④$T=\{X,\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\}\}$答案：③7.已知$X=\{a,b,c,d\}$，拓?fù)?T=\{X,\varnothing,\{a\}\}$，則$\{b\}=$①$\varnothing$②$X$③$\{b\}$④$\{b,c,d\}$答案：③8.已知$X=\{a,b,c,d\}$，拓?fù)?T=\{X,\varnothing,\{a\}\}$，則$\{b,c,d\}=$①$\varnothing$②$X$③$\{b\}$④$\{b,c,d\}$答案：①9.已知$X=\{a,b\}$，拓?fù)?T=\{X,\varnothing,\{a\}\}$，則$\{a\}=$答案：$\{a\}$。10、已知$X=\{a,b\}$，拓?fù)?T=\{X,\emptyset,\{a\}\}$，則$\{b\}$的補(bǔ)集為$\{a\}$。11、已知$X=\{a,b,c,d\}$，拓?fù)?T=\{X,\emptyset,\{a\}\}$，則$\{a\}$的補(bǔ)集為$\{b,c,d\}$。12、已知$X=\{a,b,c,d\}$，拓?fù)?T=\{X,\emptyset,\{a\}\}$，則$\{c\}$的補(bǔ)集為$\{a,b,d\}$。13、設(shè)$X=\{a,b,c,d\}$，拓?fù)?T=\{X,\emptyset,\{a\},\{b,c,d\}\}$，則$X$的既開(kāi)又閉的非空真子集個(gè)數(shù)為$2$。14、設(shè)$X=\{a,b,c\}$，拓?fù)?T=\{X,\emptyset,\{a\},\{b,c\}\}$，則$X$的既開(kāi)又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為$2$。15、設(shè)$X=\{a,b,c\}$，拓?fù)?T=\{X,\emptyset,\{b\},\{b,c\}\}$，則$X$的既開(kāi)又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為$1$。16、設(shè)$X=\{a,b\}$，拓?fù)?T=\{X,\emptyset,\{b\}\}$，則$X$的既開(kāi)又閉的子集的個(gè)數(shù)為$2$。17、設(shè)$X=\{a,b\}$，拓?fù)?T=\{X,\emptyset,\{a\},\{b\}\}$，則$X$的既開(kāi)又閉的子集的個(gè)數(shù)為$3$。18、設(shè)$X=\{a,b,c\}$，拓?fù)?T=\{X,\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\},\{b,c\}\}$，則$X$的既開(kāi)又閉的非空真子集個(gè)數(shù)為$2$。19、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集$Q$的內(nèi)部為$\emptyset$。20、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集$Q$的邊界為$\mathbb{R}$。21、在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集$Z$的內(nèi)部為$\emptyset$。22、在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集$Z$的邊界為$Z$。23、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間$[0,1)$的邊界為$\{0,1\}$。24、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間$[2,3)$的邊界為$\{2,3\}$。25、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間$[0,1)$的內(nèi)部為$(0,1)$。26、設(shè)$X$是一個(gè)拓?fù)淇臻g，$A,B$是$X$的子集，則錯(cuò)誤的關(guān)系是$d(A\capB)=d(A)\capd(B)$。27、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A,B是X的子集。正確的關(guān)系是d(A∪B)=d(A)∪d(B)。28、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A,B是X的子集。正確的關(guān)系是d(d(A))?A∪d(A)。29、已知X是一個(gè)離散拓?fù)淇臻g，A是X的子集。正確的結(jié)論是d(A)=?。30、已知X是一個(gè)平凡拓?fù)淇臻g，A是X的子集。不正確的結(jié)論是如果A≠X，則d(A)≠X。31、已知X是一個(gè)平凡拓?fù)淇臻g，A是X的子集。正確的結(jié)論是如果A=?，則d(A)=?。32、設(shè)X={a,b,c,d}，令B={{a,b,c},{c},r1g6kpu}。由B產(chǎn)生的X上的拓?fù)涫莧T={X,?,{a},{b,c,d},{a,b,c},{c,d}}}。33、設(shè)X是至少含有兩個(gè)元素的集合，p∈X，T={{G∣p∈G}∪{?}}是X的拓?fù)洌瑒tB={{p,x}∣x∈X}是T的基。34、設(shè)X={a,b,c}，S={X,?,{a}}是X的子基。X的拓?fù)渲校許為子基的是{T={X,?,{a},{a,c}}}。35、離散空間的任一子集都是既開(kāi)又閉的。36、平凡空間的任一非空真子集都既不是開(kāi)集也不是閉集。37、實(shí)數(shù)空間R中的任一單點(diǎn)集都是閉集。38、實(shí)數(shù)空間R的子集A={1,2,3,4,……}，則A的答案為A∪{0}。39、在實(shí)數(shù)空間R中，整數(shù)集是閉集。40、在實(shí)數(shù)空間R中，整數(shù)集Z的補(bǔ)集Z'是開(kāi)集。41、已知X={1,2,3}，拓?fù)銽={X,φ,{1}}，點(diǎn)1的鄰域個(gè)數(shù)為4個(gè)。42、已知X={a,b}，X上的所有可能的拓?fù)溆?個(gè)。43、已知X={a,b,c}，X上的含有4個(gè)元素的拓?fù)溆?個(gè)。44、設(shè)(X,T)為拓?fù)淇臻g，則當(dāng)T'?T時(shí)，U∈T'?U∈T。45、在實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻gR中，區(qū)間[a,b)既是開(kāi)集又是閉集。46、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A,B?X，且滿足A的導(dǎo)集包含于B，B包含于A，則B是閉集。47、設(shè)X={1,2,3}，T={φ,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓?fù)洌珹={1,2}，則X的子空間A的拓?fù)錇門(mén)'={φ,{1},{2},{1,2}}。48、設(shè)X={1,2,3}，T={φ,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓?fù)洌珹={1,3}，則X的子空間A的拓?fù)錇門(mén)'={φ,{1},{3},{1,3}}。49、設(shè)X={1,2,3}，T={φ,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓?fù)洌珹={2,3}，則X的子空間A的拓?fù)錇門(mén)'={φ,{2},{3},{2,3}}。的積空間，P1是X到X1的投射，則X中的點(diǎn)(x1,x2,…,x6)在P1下的像為()。①(x1,x2)②x1③(x1,x2,…,x5)④(x1,x2,…,x6)答案：④60、設(shè)XX1X2X6是拓?fù)淇臻gX1,X2,,X6的積空間，P2是X到X2的投射，則X中的點(diǎn)(x1,x2,…,x6)在P2下的像為()。①(x2,x3)②x2③(x1,x2,…,x6)④(x2,x3,…,x6)答案：④61、設(shè)XX1X2X6是拓?fù)淇臻gX1,X2,,X6的積空間，P3是X到X3的投射，則X中的點(diǎn)(x1,x2,…,x6)在P3下的像為()。①(x3,x4)②x3③(x1,x2,…,x6)④(x3,x4,…,x6)答案：④62、設(shè)XX1X2X6是拓?fù)淇臻gX1,X2,,X6的積空間，P4是X到X4的投射，則X中的點(diǎn)(x1,x2,…,x6)在P4下的像為()。①(x4,x5)②x4③(x1,x2,…,x6)④(x4,x5,…,x6)答案：④63、設(shè)XX1X2X6是拓?fù)淇臻gX1,X2,,X6的積空間，P5是X到X5的投射，則X中的點(diǎn)(x1,x2,…,x6)在P5下的像為()。①(x5,x6)②x5③(x1,x2,…,x6)④(x5,x6)答案：④50、已知拓?fù)淇臻gX為{1,2,3}，其拓?fù)錇門(mén)={?,{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},{2,3},{2},{3},{1}},A={1}，則X的子空間A的拓?fù)錇閧T'={?,{1}}}51、已知拓?fù)淇臻gX為{1,2,3}，其拓?fù)錇門(mén)={?,{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},{2,3},{2},{3},{1}}，A={2}，則X的子空間A的拓?fù)錇閧T'={?,{2}}}52、已知拓?fù)淇臻gX為{1,2,3}，其拓?fù)錇門(mén)={?,{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},{2,3},{2},{3},{1}}，A={3}，則X的子空間A的拓?fù)錇閧T'={?,{3}}}53、已知實(shí)數(shù)空間R和整數(shù)集Z，R的子空間Z的拓?fù)錇閧T'={?,Z,P(Z),{Z}}}54、已知拓?fù)淇臻gX=X1×X2×…×X6，P1是X到X1的投射，則P1是滿的連續(xù)開(kāi)映射。55、已知拓?fù)淇臻gX=X1×X2×…×X6，P2是X到X2的投射，則P2是滿的連續(xù)開(kāi)映射。56、已知拓?fù)淇臻gX=X1×X2×…×X6，P3是X到X3的投射，則P3是滿的連續(xù)開(kāi)映射。57、已知拓?fù)淇臻gX=X1×X2×…×X6，P4是X到X4的投射，則P4是滿的連續(xù)開(kāi)映射。58、已知拓?fù)淇臻gX=X1×X2×…×X6，P5是X到X5的投射，則P5是滿的連續(xù)開(kāi)映射。59、已知拓?fù)淇臻gX=X1×X2×…×X6，P1是X到X1的投射，則點(diǎn)(x1,x2,…,x6)在P1下的像為(x1,x2,…,x6)。60、已知拓?fù)淇臻gX=X1×X2×…×X6，P2是X到X2的投射，則點(diǎn)(x1,x2,…,x6)在P2下的像為(x2,x3,…,x6)。61、已知拓?fù)淇臻gX=X1×X2×…×X6，P3是X到X3的投射，則點(diǎn)(x1,x2,…,x6)在P3下的像為(x3,x4,…,x6)。62、已知拓?fù)淇臻gX=X1×X2×…×X6，P4是X到X4的投射，則點(diǎn)(x1,x2,…,x6)在P4下的像為(x4,x5,…,x6)。63、已知拓?fù)淇臻gX=X1×X2×…×X6，P5是X到X5的投射，則點(diǎn)(x1,x2,…,x6)在P5下的像為(x5,x6)。1.P6是從X到X6的投射，因此P6是滿的連續(xù)開(kāi)映射。2.對(duì)于拓?fù)淇臻gX1和X2，它們的積空間X1×X2中，如果A?X1，B?X2，則A×B=X1×X2。3.有理數(shù)集Q是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)不連通子集。4.整數(shù)集Z是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)不連通子集。5.無(wú)理數(shù)集是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)不連通子集。6.如果Y為拓?fù)淇臻gX的連通子集，Z為X的子集，且Y包含Z，Z包含Y，則Z為連通子集。7.如果X1和X2是平凡空間，則它們的積空間X1×X2是平凡空間。8.如果X1和X2是離散空間，則它們的積空間X1×X2是離散空間。9.如果X1和X2是連通空間，則它們的積空間X1×X2是連通空間。10.實(shí)數(shù)空間R中的連通子集E為區(qū)間或一點(diǎn)。11.實(shí)數(shù)空間R中不少于兩點(diǎn)的連通子集E為區(qū)間。12.單位圓周S1是連通的，R-{0}是連通的，但是R2-{(0,0)}不連通，因此正確的敘述個(gè)數(shù)為2。填空題：1.{X,?}2.{X,?,{a},{b}}3.拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)4.R5、對(duì)于任意的$x\inA$，只要$x$的任意鄰域$U$滿足$U\cap(A-\{x\})\neq\varnothing$，則$x\ind(A)$。反之，如果$x\notinA$，則存在$x$的鄰域$U$使得$U\capA=\varnothing$，因此$x\notind(A)$。7、由于$A$是$X$的無(wú)限子集，因此$X-A$是$X$的非空閉集，而$A$的導(dǎo)集$d(A)$是$X-A$的子集，因此$d(A)$非空。同時(shí)由于$A$是無(wú)限的，因此$d(A)\subseteqX$，因此$d(A)=X$。8、設(shè)$A$是可數(shù)補(bǔ)空間$X$中的不可數(shù)子集，由于$A$的補(bǔ)集$X-A$是$X$的非空閉集，因此$d(A)\subseteqX-A$，而$X-A$是$X$的閉集，因此$d(A)$也是閉集。又因?yàn)?A$是不可數(shù)的，因此$d(A)$非空，因此$d(A)=X-A$，即$d(A)$是$X$的一個(gè)非空閉子集。9、由于$A$是不可數(shù)的，而$d(A)$是$A$在$X$中的閉包，因此$d(A)$是$X$的一個(gè)不可數(shù)子集。又因?yàn)?d(A)$是閉集，因此$X-d(A)$是開(kāi)集，而$X-d(A)\subseteqA$，因此$A$的內(nèi)部為$X-d(A)$，即$A=(X-d(A))^{\circ}$。10、$A=\{1,2\}$，$A$的任意元素都有$\{2\}$作為鄰域，因此$\{2\}$是$A$的內(nèi)部，即$A^{\circ}=\{2\}$。11、$A=\{1,3\}$，$A$的任意元素都有$\{1\}$作為鄰域，因此$\{1\}\subseteqA$，即$1\inA$。因此$A$的內(nèi)部包含$1$，即$A^{\circ}\supseteq\{1\}$。又因?yàn)?A$的任意元素都沒(méi)有$\{2,3\}$作為鄰域，因此$\{2,3\}$不在$A$的內(nèi)部，即$A^{\circ}\neq\{1\}$，因此$A^{\circ}=\{1\}$。12、$A=\{1,2\}$，$A$的任意元素都有$\{1\}$作為鄰域，因此$\{1\}\subseteqA$，即$1\inA$。因此$A$的內(nèi)部包含$1$，即$A^{\circ}\supseteq\{1\}$。又因?yàn)?A$的任意元素都沒(méi)有$\{3\}$作為鄰域，因此$\{3\}$不在$A$的內(nèi)部，即$A^{\circ}\neq\{1\}$，因此$A^{\circ}=\{1\}$。13、$A=\{1,3\}$，$A$的任意元素都有$\{3\}$作為鄰域，因此$\{3\}\subseteqA$，即$3\inA$。因此$A$的內(nèi)部包含$3$，即$A^{\circ}\supseteq\{3\}$。又因?yàn)?A$的任意元素都沒(méi)有$\{2\}$作為鄰域，因此$\{2\}$不在$A$的內(nèi)部，即$A^{\circ}\neq\{3\}$，因此$A^{\circ}=\varnothing$。14、$X$的平凡拓?fù)渲话?X$和$\varnothing$兩個(gè)開(kāi)集，即$T=\{X,\varnothing\}$。15、$X$的離散拓?fù)浒?X$的所有子集，因此$T=\{X,\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\}$。16、$A=\{1,3\}$，$A$的任意元素都有$\{3\}$作為鄰域，因此$\{3\}\subseteqA$，即$3\inA$。因此$A$的內(nèi)部包含$3$，即$A^{\circ}\supseteq\{3\}$。又因?yàn)?A$的任意元素都沒(méi)有$\{1\}$作為鄰域，因此$\{1\}$不在$A$的內(nèi)部，即$A^{\circ}\neq\{3\}$，因此$A^{\circ}=\varnothing$。17、$A=\{1,2\}$，$A$的任意元素都有$\{1\}$作為鄰域，因此$\{1\}\subseteqA$，即$1\inA$。因此$A$的內(nèi)部包含$1$，即$A^{\circ}\supseteq\{1\}$。又因?yàn)?A$的任意元素都沒(méi)有$\{3\}$作為鄰域，因此$\{3\}$不在$A$的內(nèi)部，即$A^{\circ}\neq\{1\}$，因此$A^{\circ}=\{1\}$。18、如果映射$f:X\rightarrowY$是單射，并且$f:X$與$f(X)$同胚，則$f$是一個(gè)嵌入。19、如果映射$f:X\rightarrowY$是滿射，并且$Y$的拓?fù)涫怯?f$的像集$f(X)$誘導(dǎo)的商拓?fù)洌瑒t$f$是一個(gè)商映射。20、如果映射$f:X\rightarrowY$滿足對(duì)于$X$中任意開(kāi)集$U$，$f(U)$都是$Y$中的開(kāi)集，則$f$是一個(gè)開(kāi)映射。21、如果映射$f:X\rightarrowY$滿足對(duì)于$X$中任意閉集$U$，$f(U)$都是$Y$中的閉集，則$f$是一個(gè)閉映射。22、如果拓?fù)淇臻g$X$存在兩個(gè)非空的閉子集$A$和$B$，使得$A\capB=\varnothing$且$A\cupB=X$，則$X$是一個(gè)不連通空間。23、如果拓?fù)淇臻gX可以被分成兩個(gè)不相交的非空開(kāi)集A和B，那么X就是不連通的空間。24、如果拓?fù)淇臻gX存在一個(gè)同時(shí)是開(kāi)集和閉集的非空真子集，那么X就是不連通的空間。25、如果Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)連通子集，Z是包含Y且被X包含的子集，那么Z也是X的一個(gè)連通子集。26、如果拓?fù)淇臻g的一個(gè)性質(zhì)在任何連續(xù)映射下都保持不變，那么這個(gè)性質(zhì)就是在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)。27、如果拓?fù)淇臻g的一個(gè)性質(zhì)在任何商空間下都保持不變，