角動量和角動量守恒第一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五只有動量橫向分量具有角動量，說明角動量是描述旋轉強弱的物理量第二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五第三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例：自由下落質點的角動量任意時刻t，有（1）對A點的角動量（2）對O點的角動量第四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五5P*O:力臂剛體繞Oz軸旋轉作用在點P,

P的徑矢.對轉軸Z的力矩一力矩5.1.2、質點的角動量定理第五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五6剛體內作用力和反作用力的力矩O（一對內力）互相抵消第六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五7O討論1）若力不在轉動平面內，把力分解為平行和垂直于轉軸方向的兩個分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和其中對轉軸的力矩為零，故對轉軸的力矩第七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五8質點的角動量定理質點對某固定點所受的合外力矩等于它對該點角動量的時間變化率二、質點的角動量定理或沖量矩對同一參考點O,質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量。第八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五95.1.3、質點角動量守恒定律及其應用則或若對某一固定點，質點所受合外力矩為零,則質點對該固定點的角動量矢量保持不變。若質點做勻速直線運動中，對O點角動量是否守恒？例：質點的角動量定理第九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五10證明關于行星運動的開普勒定律:任一行星和太陽之間的聯線,在相等的時間內掃過的面積相等,即掠面速度不變.1)行星對太陽O的角動量的大小為其中是徑矢r與行星的動量p或速度v之間的夾角.表示時間內行星所走過的弧長,則有若用表示從O到速度矢量v

的垂直距離,則有用[證明]θ第十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五11其中d/dt稱為掠面速度.由于萬有引力是有心力,它對力心O的力矩總是等于零,所以角動量守恒,L=常量,行星作平面運動,而且這就證明了掠面速度不變,也就是開普勒第二定律.第十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五(2)角動量守恒說明天體系統的旋轉盤狀結構天體系統的旋轉盤狀結構第十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五5.2質點系角動量5.2.1、質點系角動量選原點O0C質心以上兩式先后代入前式質心相對于c的位矢=0

質心在c第十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五自旋角動量也叫固有角動量例,地球繞太陽轉.電子繞原子核轉軌道角動量第十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五分離出系統;代表系統內的質點,代表系統外的質點.0質點系的角動量定理對應5.2.2、質點系的角動量定理第十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五5.2.3、質點系的角動量守恒定律;討論;1)不要求系統孤立,只要求 2)矢量式有3個分量式,即 的某個分量=0,則相應角動量的分量守恒 3)系統守恒條件;第十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五17當木塊靜止于A處時,彈簧保持原長,設一質量為m的子彈以初速v0水平射向M并嵌在木塊中.當木塊運動到B(OBOA)時,彈簧的長度為L.求木塊在B點的速度vB的大小和方向.解:m和M相撞時,系統的動量守恒例.光滑水平桌面上放著一質量為M的木塊,木塊與一原長為L0,勁度系數為k的輕彈簧相連,彈簧另一端固定于O點.

第十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五18解:

AB,只有彈力作功,機械能守恒

AB,彈力對O點的力矩為零,對O點角動量守恒第十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五5-3.剛體的定軸轉動ABA’B’B”A”1.平動:在運動過程中若剛體上的任意一條直線在各個時刻的位置都相互平行,任意質元運動都代表整體運動2.轉動、定軸轉動剛體所有質元都繞一固定直線做圓周運動,該固定直線稱為剛體定軸,這種運動稱為剛體的定軸轉動

剛體的運動 平動+轉動只研究剛體繞定軸轉動5.3.1剛體的平動和定軸轉動第十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五5.3.2剛體定軸轉動的角量描述1)角位移θ:在t時間內剛體轉動角度2)角速度

:3)角加速度α:θz剛體定軸轉動角速度的方向按右手螺旋法則確定第二十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五切向分量法向分量zO4.線量與角量關系勻變速定軸轉動第二十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五質元到轉軸的垂直距離剛體到轉軸的轉動慣量zO5.4剛體定軸轉動的角動量定理角動量守恒5.4.1對定軸的力矩和角動量第二十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五質點系的角動量定理Z軸分量質元對O點的力矩（垂直z軸）zO（垂直z軸）第二十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五5.4.2定軸轉動剛體的角動量守恒角動量定理1質點由微分式積分式2質點系由微分式積分式3定軸轉動剛體積分這里定軸轉動剛體角動量守恒第二十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五25O5.5.1剛體的轉動定律2）剛體質量元受外力，內力1）單個質點與轉軸剛性連接外力矩內力矩O5.5定軸轉動剛體的轉動定律，轉動中的功和能第二十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五26剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉動慣量成反比.

轉動定律轉動慣量O其中第二十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五27轉動慣量的物理意義:1.剛體轉動慣性大小的量度2.轉動慣量與剛體的質量有關3.J

在質量一定的情況下與質量的分布有關4.J與轉軸的位置有關

5.5.2、轉動慣量的計算對質量連續分布剛體線分布面分布體分布轉動慣性的計算方法：質量離散分布剛體第二十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五28例:一均勻細棒長l質量為m1)軸Z1過棒的中心且垂直于棒2)軸Z2過棒一端且垂直于棒求:上述兩種情況下的轉動慣量oZ

1解:棒質量的線密度所以只有指出剛體對某軸的轉動慣量才有意義oZ2l第二十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五29例:勻質圓盤繞垂直于盤面通過中心軸的轉動慣量如下圖:解:圓盤半徑為R,總質量為m.設質量面密度例:勻質圓環半徑為R,總質量為m,求繞垂直于環面通過中心軸的轉動慣量如下圖:ZRdm解:zRrdrdmdSm第二十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例求一質量為m的均勻實心球對其一條直徑為軸的轉動慣量。解：一球繞Z軸旋轉，離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤。其半徑為其體積：其質量：其轉動慣量：YXZORrdZZ第三十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五均勻圓盤繞直徑的轉動慣量均勻圓環繞垂直于圓面通過圓心的軸均勻球繞直徑的轉動慣量均勻薄球殼繞直徑的轉動慣量均勻圓盤繞垂直于盤面且通過中心的軸第三十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五3)有關轉動慣量計算的幾個定理·平行軸定理zh式中:是通過質心軸的轉動慣量m是剛體質量,h是c到z的距離是平行于通過質心軸的一個軸的轉動慣量·垂直軸定理0對于薄板剛體,C薄板剛體對z軸的轉動慣量等于對x軸的轉動慣量與對y軸的轉動慣量之和第三十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五·轉動慣量疊加,如圖ACz式中:是A球對z軸的轉動慣量是B棒對z軸的轉動慣量是C球對z軸的轉動慣量·回轉半徑任意剛體的回轉半徑式中:J是剛體關于某一軸的轉動慣量,m是剛體的質量Bo例:G不是質心CG第三十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五平行軸定理證明：1）薄板質心的位矢質心相對于質心2）任意體；證明方法相同，但要利用第三十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五35已知：勻質桿M子彈m水平速度求：射入不復出解：對Mm系統系統角動量守恒勻質桿的質心速度設桿長為系統動量守恒對否？OMmc第三十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五36圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統機械能不守恒.角動量守恒；動量不守恒；以子彈和沙袋為系統動量守恒；角動量守恒；機械能不守恒.圓錐擺系統動量不守恒；角動量守恒；機械能守恒.討論子彈擊入沙袋細繩質量不計第三十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五37例3：一勻質細棒長為2L,質量為m,以與棒長方向相垂直的速度V0在光滑水平面內平動時,與前方一固定的光滑支點O發生完全非彈性碰橦,碰橦點位于棒中心的一方(1/2)L處,如圖所示,求棒在碰橦后的瞬間繞O點轉動的角速度.OBAV0V03/2L1/2L解：碰橦前瞬間,桿對O點的角動量為式中為桿的線密度,碰橦后瞬間,桿對O點的角動量為碰橦前后角動量守恒第三十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五剛體定軸轉動定律的應用Rm1m2已知：滑輪M（看成勻質圓盤）半徑R物體m1m2求：a=?am1gm2gT解：對否？T1T2T否則滑輪勻速轉動，而物體加速運動T1T2轉動定律線量與角量關系M1.第三十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五已知：2.勻質桿m長下落到θ時求：解：C轉動定律θmO質心運動定理第三十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五質心運動定理第四十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例：如圖，質量為m，長為l

的均勻直棒用輕繩懸掛起來，棒靜止不動?，F突然把其中的一根繩子剪斷，求剪斷瞬間，另一根繩子中的張力。解:第四十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例：用輕質細繩將小球P拴于鉛直細桿AB上的B點。給小球以初速度v0，v0的方向垂直于AB平面，小球運動使細線逐漸纏繞于AB桿上。初始時，小球與桿的距離為q0，求距離為q1時小球的速率。解：Z軸方向上角動量守恒第四十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例）質量為M、半徑為R的轉臺，可繞通過中心的豎直軸轉動。質量為m的人站在邊沿上，人和轉臺原來都靜止。如果人沿臺邊緣奔跑一周，求對地而言，人和轉臺各轉動了多少角度？已知：求：解：以M。m為研究對象故角動量守恒以地面為參照，建立軸的正方向如圖：+MXm第四十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五因人和臺原來都靜止故角動量（初始時刻）（2）式×dt積分：+MXm若人和轉臺的角速度分別為第四十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五+MXmAAm第四十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例：質量為M，半徑為R

的水平均勻圓盤，可繞通過中心的光滑豎直軸自由轉動，盤上有一質量為m的昆蟲。解:(1)角動量守恒(1)初始時，昆蟲與盤均靜止，問昆蟲沿盤的邊緣爬動一周時，盤相對地面轉過的角度有多大？

(2)初始時，昆蟲位于盤中心，盤以角速度w0轉動,昆蟲沿盤的一條直徑以恒定的速率u向盤的邊緣爬去，問昆蟲爬到盤的邊緣時，盤相對地面轉過的角度有多大第四十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五(2)第四十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例：長為l

的均勻細桿。當桿靜止于水平位置時,有一只小蟲以速率

垂直落在距點O為

l/4處,并背離點O

向細桿的端點A

爬行.設小蟲與細桿的質量均為m.問:欲使細桿以恒定的角速度轉動,小蟲應以多大速率向細桿端點爬行?解:由角動量定理第四十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例4

M由距水平蹺板高為h

處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的N彈了起來.設蹺板是勻質的,長度為l,質量為

,蹺板可繞C

在豎直平面內轉動,人的質量均為m.假定M落在蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問N可彈起多高?ll/2CABMNh解碰撞前M落在A點的速度碰撞后的瞬間,M、N具有相同的線速度第四十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五把M、N和蹺板作為一個系統,角動量守恒解得演員N以u

起跳,達到的高度ll/2CABMNh第五十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五陀螺儀若轉子稍不對稱,就會對各個支撐軸產生巨大的作用力使其損壞,所以設計轉子精度要高.應用:航海、航空、導彈和火箭等系統的定向、導航和自動駕駛等.它們的轉子速度達萬轉每分;常平架陀螺儀mg第五十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五北南北南角動量守恒使地球自轉軸的方向在空間保持不變,因而產生了季節變化.第五十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五Ⅲ、直升飛機后面的螺旋漿雙漿直升飛機第五十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五

被中香爐慣性導航儀（陀螺）

角動量守恒定律在技術中的應用

應用:航海、航空、導彈和火箭等系統的定向、導航和自動駕駛等.它們的轉子速度達萬轉每分;若轉子稍不對稱,就會對各個支撐軸產生巨大的作用力使其損壞,所以設計轉子精度要高.第五十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五55力矩的功一力矩作功力的空間累積效應

力的功,動能,動能定理.二力矩的功率5.5.3轉動的功和能力矩的空間累積效應力矩的功,轉動動能,動能定理.OθdrP第五十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五56三轉動動能四剛體繞定軸轉動的動能定理合外力矩對繞定軸轉動的剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量.定軸轉動動能定理第五十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五57五.剛體的重力勢能剛體的重力勢能就是它的各質元重力勢能之和。根據質心定義，剛體質心的高度應為所以剛體勢能寫成

一個不太大剛體的重力勢能和它的全部質量集中在質心時具有的勢能一樣。六.機械能守恒定律對于定軸轉動剛體，只有保守力做功時，機械能保持不變。即第五十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五58應該：0對c點第1題.剛體的勢能等于如圖所示，某人說：剛體的動能等于你同意嗎？對0點C點，相同【答】第五十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五59某人說：剛體的角動量就是你同意嗎？應該對c點【答】第五十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五60第3題.兩個同樣重的小孩，各抓著跨過滑輪的輕繩的一端如圖，他們起初都不動，然后右邊的小孩用力向上爬繩，另一個小孩仍抓住繩子不動。忽略滑輪的質量和軸的摩擦。問：哪一個小孩先到達滑輪？設滑輪半徑為R，兩小孩的質量分別為m1、m2，【解】把小孩看成質點，以滑輪中心為“固定點”，m1=m2(爬)(不爬)第六十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五61對“m1+m2+輕繩+滑輪”系統：外力：條件：所以角動量守恒設兩小孩分別以速度上升。設角動量以指向紙內為正。∥∥（指向紙內）（指向紙外）第六十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五62系統的角動量守恒：爬與不爬，兩小孩同時到達滑輪！有人說該系統機械能守恒，對不對？有人說該系統動量守恒，對不對？思考：（啟動前）（啟動后）若，此時系統的角動量也不守恒了，會出現什么情況？討論不對。不對。第六十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五63系統所受的合外力矩為由角動量定理初始時小孩未動，。(爬)(不爬)系統總角動量若有輕的升得快；以向紙內為正輕的升得快。則第六十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五64當較輕的人爬到滑輪處，較重的人離滑輪還有多高的距離？若開始時離滑輪的距離均為h。設m:較輕人的質量，

m+M:較重人的質量。由牛頓第二定律，得整理得(爬)(不爬)hmm+MhxTTmg(m+M)g第六十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五65對t積分再對t積分解得即是較重的人離滑輪的距離。(爬)(不爬)hmm+MhxTTmg(m+M)gmm+Ml第六十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五一）何謂進動（旋進）陀螺的運動進動演示儀的運動G遠離O點，從頂部看順時針轉動G靠近O點，從頂部看逆時針轉動OZGBCC’OZFV進