習題1.11.求下列函數的Fourier積分：⑴解∵，∴.⑵解∵，∴奇函數奇函數.2.求函數的Fourier積分，并證明奇函數解∵奇函數，∴奇函數奇函數.即.3.求矩形脈沖函數的Fourier變換.解（或用歐拉公式表示為三角式）4.設是函數的Fourier變換，證明與有相同的奇偶性.證設為偶函數，于是有.∵令，則當t由到時，u由到，即∴，即與同為偶函數.同理可證，是奇函數時，也是奇函數.5.設，試證明⑴為實值函數的充要條件是；⑵為純虛值函數的充要條件是，其中為的共軛函數.證由于為的共軛函數，于是根據共軛復數定義有和.⑴“必要性”.若為實值函數，則根據，有和.于是，得.“充分性”.若，并假設，則有即∵∴根據，有即；根據，有即.由于不可能同時既是偶函數又是奇函數，于是只有.即為實值函數.⑵“必要性”.若為純虛值函數，不妨設.于是有..“充分性”.假設，根據和，有.若，則有及.即得和.于是必有，.即為純虛值函數.6.求如圖所示的三角脈沖的頻譜函數.解∴.習題1.21.若,，，為常數,證明（線性性質）：.證；.2.若，利用Fourier變換的性質求下列函數的Fourier變換：⑴解∵，于是由相似性質有.∴根據象函數的微分性質，得.⑵解由線性和象函數的微分性質，得.⑶解∵∴.⑷解∵，∴.⑸解由微分性質可知，于是根據象函數的微分性質得.⑹解（一）令，則當t由到時，u由到..解（二）∵，而由位移性質可知.翻轉性不影響積分號外的因子∴由翻轉性質，可得翻轉性不影響積分號外的因子.解（三）由翻轉性質可知，于是根據位移性質有..⑺解∵∴由線性、位移、翻轉和象函數的微分性質，得.⑻.解（一）令，則有.解（二）∵，而∴.相似性不影響積分號外的因子解（二）相似性不影響積分號外的因子∴由位移性質，得.習題1.31.證明下列各式：⑴；證.⑵；證.即.同理可證.⑶（為常數）；證..⑷（為常數）；證.⑸；證.⑹證.同理可證.2.求下列各題的：⑴，；解如圖所示分部積分法遞推公式分部積分法遞推公式.⑵，.解首先要確定積分的范圍，其次再確定被積函數。觀察它們積的圖象：顯然，的區間為，當時是，當時是。為確定的區間，也可以解不等式組：∴分部積分法遞推公式分部積分法遞推公式或故習題2.11.證明：⑴；δ函數定義證（一）δ函數定義δ函數的篩選性質δ函數的篩選性質.證（二）∵δ函數的卷積性質∴.δ函數的卷積性質⑵.證（一）（令，則當τ由0到時，u由t到）.證（二）由階躍函數定義可得于是有.2.若，證明：，.證（一）由歐拉公式和得..證（二）由于和，根據卷積定理和篩選性質有..3.求下列函數的Fourier變換：⑴；解由篩選性質得.⑵；解∵（歐拉公式）∴.⑶；解.⑷；解.⑸.解.4.已知函數的Fourier變換為，求。解.習題2.2求下列函數的Fourier變換：⑴；解（一）∵，∴由卷積定理和δ函數的卷積性質，得.解（二）∵，∴.解（三）∵，而，即，∴.⑵；解（一）∵，而，∴由卷積定理和δ函數的卷積性質，得.解（二）∵，∴.解（三）由于而根據實變函數理論可知，廣義積分存在，于是根據半屏定理有.⑶；解依據題⑵，我們有同樣的三種解法。下面給出第四種解法.由δ序列和弱極限定義可得（參考附錄Ⅳ或題⑴解（三））.∴.⑷；解（一）∵，∴由卷積定理和δ函數的卷積性質，得.解（二）∵，而根據象函數的位移性質有，∴.⑸；解（一）∵，根據位移性質有，∴再由頻移性質，得解（二）根據位移性質有，而，于是由卷積定理得.⑹。解（一）∵，根據象函數的微分性質有，∴由頻移性質，得.解（二）∵，由頻移性質有，而，∴根據卷積定理，以及δ函數及其導數的卷積性質得.習題2.31.求微分方程的解.解設，對方程兩端取Fourier變換，得，即.對上式取Fourier逆變換，得.2.解下列積分方程：⑴；解將積分方程改寫為.顯然，上式為一個Fourier余弦逆變換，取Fourier余弦變換可得根據Dirichlet積分（），有及于是得⑵解將積分方程改寫為對上式取Fourier正弦變換，當時可得.⑶.解顯然，積分方程左端是函數和的卷積。于是設和對積分方程兩端取Fourier變換，并根據卷積定理可得即.∵，而根據對稱性質，有和.又∵，∴.因此，有.∴對上式取Fourier逆變換，得.以上是在廣義Fourier變換（勒貝格Lebesgue積分，或廣義收斂、廣義函數）意義下的解法，雖然適應范圍大，但不易得到傳統題目的解。而在狹義Fourier變換（黎曼Riemann積分)意義下，我們可以得到如下黎曼解：.∵.其中a>0（當a<0有）.∴，即.因此，有.3.求微分積分方程的解：其中，為已知函數，均為已知常數。解根據Fourier變換的線性、微分性質和卷積定理，并記，，.對方程兩端取Fourier變換，可得.而上式的Fourier逆變換為.4.求解下列偏微分方程的定解問題：⑴解對方程及初始條件關于取Fourier變換，并記，，，，.則原定解問題轉化為含有參數的常微分方程的初值問題：這里，方程是關于的一個二階線性常系數非齊次微分方程，而二階齊次微分方程的通解為.因為特征根為，所以特解為.原微分方程的通解為.由初始條件可知，.因此，常微分方程初值問題的解為.對上述解取Fourier逆變換，且利用函數的篩選性質，可得原偏微分方程的解為.⑵其中均為常數。解對方程及初始條件關于取Fourier變換，并記，，，.將求解原定解問題轉化為求解含有參數的常微分方程的初值問題：這是一個可分離變量的一階常微分方程，其通解為.由初始條件可知，，即滿足初始條件的特解為.對上式兩端取Fourier逆變換，且借助公式，再根據Fourier逆變換和函數的卷積性質，可得.⑶解對方程及初始條件關于取Fourier正弦變換，并記，，，.將求解原定解問題轉化為求解含有參數的常微分方程的初值問題：這是一個可分離變量的一階常微分方程，其通解為.由初始條件可知，即滿足初始條件的特解為.對上式兩端取Fourier正弦逆變換，可得.習題3.11.求下列函數的Laplace變換：⑴；解（一）∵，∴.解（二）∵，又∵有界，且，∴當，即時，有.同理，.故有.解（三）由分部積分法，得.（其中，在時.）⑵；解（一）∵∴.解（二）∵，又∵有界，且，∴當，即時，有.故有.⑶；解∵（），其中稱為Gamma函數，且當為正整數時，有.即.∴.⑷；解.⑸，（為實數）；解∵，∴.⑹，（為復數）；解∵，∴當為純實數時，有；當為純虛數時，由歐拉公式有，即；當為復數時，有.⑺；解.⑻.解.2.求下列函數的Laplace變換：⑴解.⑵解.⑶；解.⑷.解.習題3.21.求下列函數的Laplace變換：⑴；解由線性性質可得.⑵；解由線性性質和象函數的微分性質，得.⑶；解由線性性質和象函數的微分性質，得.⑷；解由象函數的微分性質，得.⑸；解由象函數的微分性質，得.⑹；解由線性性質可得.⑺；解由位移性質，得.⑻；解由位移性質，得.⑼；解由位移性質，得.⑽；解由于，根據延遲性質和有.⑾；解由于當時，即.于是有.⑿.解因為，所以由位移性質和有，（其中.）故.2.利用相似性質計算下列各式：⑴已知，求；解∵（），∴.⑵求，為正實數；解（一）∵，∴令，，則根據延遲性質有.由于相似性質不影響積分號外的常量因子，即.于是得.解（二）設，則根據相似性質有.由于積分號內的參變量為，于是有.⑶求；解令，則根據相似性質有.再根據位移性質，得.⑷求.解∵，∴.3.利用象函數的微分性質計算各式：⑴，求；解由象函數的微分性質和位移性質，得.⑵，求；解由象函數的微分性質和積分、位移性質，得.⑶，求；解由于，于是根據線性性質和指數函數的Laplace變換有.故根據象函數的微分性質，得.⑷，求.解根據積分、微分和位移性質，得.4.利用象函數的積分性質計算各式：⑴，求；解∵，.⑵，求；解∵∴.⑶，求；解∵，又∵∴.⑷，求.解.5.計算下列積分：⑴；解（一）∵，，∴解（二）∵又∵∴根據終值定理，有.⑵；解.⑶；解原式.⑷；解原式（象微分性質）.⑸；解原式（其中）.⑹；解原式.⑺；解由于，根據位移性質得原式.⑻；解由于，根據位移性質得原式.⑼；解原式.⑽.解∵，，∴（或）.故有.又∵，，（復變函數意義）∴.6.求下列函數的Laplace逆變換：⑴；解∵，，∴由象函數的線性性質，得.⑵；解（一）公式法.∵，，∴.解（二）利用性質法.∵，，∴根據象函數的微分性質，有.即.⑶；解由于，根據位移性質，有.⑷；解由于，根據位移性質，有.⑸；解∵，∴根據線性性質，得.⑹；解∵，∴根據線性性質和位移性質，得.⑺；解∵，∴.⑻.解∵，∴根據線性和位移性質，得.7.設是有為周期的函數，且在一個周期內的表達式為求.解由周期函數的Laplace變換公式,得.8.求下列各圖所示周期函數的Laplace變換：⑴⑵解⑴∵函數是以b為周期的周期函數∴.⑵∵以2b為周期，∴.習題3.31.求下列函數的Laplace逆變換，并用另一種方法驗證。⑴；解由于，即有兩個單零點，，由留數法可得（）.用公式法驗證：∵，即，∴當時，有.⑵；解由于，是兩個單極點，因此由留數法有.用部分分式法驗證：令，得，.于是有.∵，∴.⑶；解由于是一個單極點，是一個二階極點，因此由留數法有即.用部分分式法驗證：令，得，，.因此，.⑷；解∵，∴，是其二階極點，由留數法可得，因此，.用公式法驗證：∵，又∵，，∴.⑸；解∵，是其單極點，是其三階極點，∴根據留數法，有.用正變換來驗證：∵，∴原解正確.⑹；解∵，∴.⑺；解∵，∴.⑻；解∵，∴.⑼；解∵，∴.⑽.解令，得，因此，有.2.求下列函數的Laplace逆變換：⑴；解∵，∴.⑵；解∵，∴.⑶；解∵，∴.⑷；解∵，∴.⑸；解∵.∴.⑹；解∵，∴由象函數的積分性質，得.⑺；解∵，∴.⑻.解∵，∴.習題3.41.求下列卷積：⑴；解∵，即∴根據定義有.⑵；解由定義得.⑶（、為正整數）；解∵.∴.⑷；解.⑸；解.⑹（）；解.⑺；解.⑻（）；解.⑼（）；解⑽（）.解2.設，利用卷積定理證明.證∵）其中，，且?！?3.利用卷積定理證明.證∵∴.4.利用卷積定理證明.并求.證根據概率積分（Poisson積分），有，即.∵，∴令，則，且當時，.于是有，即.利用位移性質即可得.習題3.51.求下列常系數微分方程的解：⑴解對方程兩邊取Laplace變換，得.于是有.取Laplace逆變換，得.⑵解對方程兩邊取Laplace變換，得，即.取Laplace逆變換，得.⑶解對方程兩邊取Laplace變換，得，即.取Laplace逆變換，得.⑷解對方程兩邊取Laplace變換，得，即.取Laplace逆變換，得.⑸解對方程兩邊取Laplace變換，得，即.取Laplace逆變換，得.⑹解對方程兩邊取Laplace變換，得，即.取Laplace逆變換，得.2.求下列變系數微分方程的解：⑴，，.解由微分性質可知，于是有.對方程兩邊取Laplace變換，并設，即，亦即代人初始條件并化簡得.這是一個一階齊次微分方程，解得.取Laplace逆變換，得.其中為第一類0階Bessel函數（參閱教材Laplace變換表）.令，得.于是有.⑵為常數；解對方程兩邊取Laplace變換，并設，即，亦即.代人初始條件并化簡得.這是一個一階齊次微分方程，解得.？取Laplace逆變換，得？令，得.于是有.⑶，；解由于原方程可化為，對方程兩邊