二項(xiàng)式定理瀏陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)饒芳一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課1、小王在2016年將33萬元存入銀行，假設(shè)銀行扣利息稅后的年利率為1.8％（20年內(nèi)不變），且每年按復(fù)利計(jì)算（上一年的利息計(jì)入第二年的本金）那么20年到期時(shí)這筆錢連本帶利息是多少？艾薩克.牛頓Isaacnewton(1643—1727)英國科學(xué)家，他被譽(yù)為人類歷史上最偉大的科學(xué)家之一。他不僅是一位物理學(xué)家、天文學(xué)家，還是一位偉大的數(shù)學(xué)家。1、牛頓的一項(xiàng)被廣泛認(rèn)可的成就是廣義二項(xiàng)式定理，它適用于任何冪。他發(fā)現(xiàn)了牛頓恒等式、牛頓法，分類了立方面曲線（兩變量的三次多項(xiàng)式），為有限差理論作出了重大貢獻(xiàn)，并首次使用了分式指數(shù)和坐標(biāo)幾何學(xué)得到丟番圖方程的解。他用對(duì)數(shù)趨近了調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和（這是歐拉求和公式的一個(gè)先驅(qū)），并首次有把握地使用冪級(jí)數(shù)和反轉(zhuǎn)（revert）冪級(jí)數(shù)。他還發(fā)現(xiàn)了

的一個(gè)新公式。2、微積分的創(chuàng)立是牛頓最卓越的數(shù)學(xué)成就。牛頓為解決運(yùn)動(dòng)問題，才創(chuàng)立這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論的，牛頓稱之為"流數(shù)術(shù)"。它所處理的一些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時(shí)速度問題以及函數(shù)的極大和極小值問題等，在牛頓前已經(jīng)得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對(duì)以往分散的結(jié)論加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法——微分和積分，并確立了這兩類運(yùn)算的互逆關(guān)系，從而完成了微積分發(fā)明中最關(guān)鍵的一步，為近代科學(xué)發(fā)展提供了最有效的工具，開辟了數(shù)學(xué)上的一個(gè)新紀(jì)元。2、1664年冬，牛頓研讀沃利斯博士的《無窮算術(shù)》時(shí)，看到下面:+3)(ba他想到了一個(gè)問題，同學(xué)們你們能想到什么問題呢？3、觀察上述式子并從項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)，系數(shù)三個(gè)角度發(fā)現(xiàn)規(guī)律并請(qǐng)嘗試完成下表n公式項(xiàng)項(xiàng)數(shù)系數(shù)2345n31,2,141,3,3,151,4,6,4,161,5,10,10,5,1,偉大的數(shù)學(xué)家《詳解九章算法》中記載的表?xiàng)钶x三角楊輝，字謙光，錢塘(今杭州)人，中國古代數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。他在總結(jié)民間乘除捷算法、“垛積術(shù)”、縱橫圖以及數(shù)學(xué)教育方面，均做出了重大的貢獻(xiàn)。他是世界上第一個(gè)排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。著有數(shù)學(xué)著作5種21卷，即《詳解九章算法》12卷（1261），《日用算法》2卷（1262），《乘除通變本末》3卷（1274），《田畝比類乘除捷法》2卷（1275）和《續(xù)古摘奇算法》2卷（1275）（其中《詳解》和《日用算法》已非完書）。后三種合稱為《楊輝算法》。與秦九韶、李治、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家。二、探究根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，每個(gè)

在相乘時(shí)，有兩種選擇，選

或選，而且每個(gè)中的

或都選定后，才能得到展開式的一項(xiàng)。由分步乘法計(jì)數(shù)原理，在合并同類項(xiàng)之前，的展開式共有項(xiàng)，而且每一項(xiàng)都是的形式1、探究一、多項(xiàng)式的乘法三、多角度認(rèn)識(shí)定理，獲取理性經(jīng)驗(yàn)?zāi)隳軓亩?xiàng)式定理展開式中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？可以從哪些方面來觀察？請(qǐng)分組討論。（1）項(xiàng)數(shù)（2）次數(shù)（3）二項(xiàng)式系數(shù)（4）展開式通項(xiàng)1、二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律2、指數(shù)規(guī)律（1）各項(xiàng)的次數(shù)均為n；（2）字母a

的次數(shù)由n降到0，字母b

的次數(shù)由0升到n.3、項(xiàng)數(shù)規(guī)律二項(xiàng)展開式共有n+1項(xiàng)4、通項(xiàng)公式二項(xiàng)式定理規(guī)律小結(jié)：（1）探究方法：從特殊到一般再回到特殊的思想方法,回歸本質(zhì)(2)從特殊情況入手，“觀察—?dú)w納—猜想”的思維方式英國詩人艾略特（T.S.Elio）的詩：

我們不應(yīng)該放棄探索在所有探索的盡頭我們會(huì)回到起點(diǎn)重新認(rèn)識(shí)這個(gè)地方(a+b)n是n個(gè)(a+b)相乘，

每個(gè)（a+b）在相乘時(shí)有兩種選擇，選a或b.

而且每個(gè)(a+b)中的a或b選定后才能得到展開式的一項(xiàng)。對(duì)于每一項(xiàng)an-kbk，它是由n-k個(gè)(a+b)選了a，k個(gè)(a+b)選了b得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個(gè)(a+b)中取k個(gè)b的組合數(shù)，將它們合并同類項(xiàng)，就得二項(xiàng)展開式，這就是二項(xiàng)式定理。由分步計(jì)數(shù)原理可知展開式共有2n項(xiàng)（包括同類項(xiàng)），其中每一項(xiàng)都是an-kbk的形式，k=0，1，…，n；四、證明二項(xiàng)式定理五、運(yùn)用定理，拓展學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)1、區(qū)別“二項(xiàng)式系數(shù)”與“系數(shù)”2、第k項(xiàng)不是Cnkan-kbk3、一般解題先研究通項(xiàng)1、公式的逆用2、賦值法的應(yīng)用六、歸納小結(jié)，鞏固新知1、請(qǐng)大家談?wù)勛约旱膶W(xué)習(xí)體會(huì)與感悟2（1）探究方法：從特殊到一般再回到特殊的思想方法(2)從特殊情況入手，“觀察—?dú)w納—猜想”的思維方式（3）二項(xiàng)式定理中的二項(xiàng)式系數(shù)還有哪些規(guī)律呢？希望同學(xué)們?cè)谡n下繼續(xù)研究，能夠有新的發(fā)現(xiàn)。（4）牛頓之所以偉大，不僅因?yàn)樗茉趧e人習(xí)以為常之處發(fā)現(xiàn)問題，還在于他比別人走得更遠(yuǎn)，研究更深，他研究了n是自然數(shù)的情形后，接著推廣到了有理數(shù)，課后有興趣的同學(xué)可以