復(fù)變積分變換第一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日引言變換：原問(wèn)題變換較易解決的問(wèn)題直接求解較難求解原問(wèn)題的解逆變換在變換域里的解例如：對(duì)數(shù)變換、解析幾何的坐標(biāo)變換、高等代數(shù)中的線性變換；在積分中的變量代換和積分運(yùn)算化簡(jiǎn)；在微分方程中所作的自變量或未知函數(shù)的變換；復(fù)變函數(shù)的保角變換；積分變換。第二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日引言積分變換：通過(guò)積分運(yùn)算，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的變換。

積分域；積分變換的核；象原函數(shù)；稱為的象函數(shù)。第三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日引言當(dāng)選取不同的積分域和變換核時(shí)，就得到不同名稱的積分變換。傅里葉（Fourier）變換：變換核為；積分域拉普拉斯（Laplace）變換：變換核為；積分域

Z變換、梅林（Mellin）變換、漢科爾（Hankel）變換，小波變換。第四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日引言一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)用積分變換去求解微分方程或其它方程時(shí)，在積分變換之下，原來(lái)的偏微分方程可以減少自變量的個(gè)數(shù)，直至變成常微分方程；原來(lái)的常微分方程可以變成代數(shù)方程，從而使得在函數(shù)類B中的運(yùn)算簡(jiǎn)化，找出在B中的一個(gè)解，再經(jīng)過(guò)逆變換，就得到原來(lái)要在函數(shù)類A中所求的解。（當(dāng)然，上述求變換與求逆變換是可以依賴于積分變換表來(lái)完成的）。第五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一章傅立葉（Fourier）變換

第1節(jié)傅立葉積分公式第2節(jié)傅立葉變換第3節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)第4節(jié)卷積與相關(guān)函數(shù)

第六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-1傅立葉積分公式如果是以T為周期的周期函數(shù)，并且在上滿足狄利克雷（Dirichlet）條件：即函數(shù)在上滿足：1、連續(xù)或至多只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；2、至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)。那么在上的連續(xù)點(diǎn)t處，可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。若t是的間斷點(diǎn)，則第七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-1傅立葉積分公式級(jí)數(shù)的三角形式：其中第八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-1傅立葉積分公式傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式：第九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-1傅立葉積分公式傅里葉積分公式第十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-1傅立葉積分公式[傅里葉積分定理]若在任何有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件，并且在無(wú)限區(qū)間上絕對(duì)可積（即積分收斂），則有

第十一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-1傅立葉積分公式傅里葉積分公式的三角形式：第十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-1傅立葉積分公式傅里葉正弦積分公式傅里葉余弦積分公式

第十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-1傅立葉積分公式[例1-1]求函數(shù)的傅里葉積分表達(dá)式。[解]第十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-1傅立葉積分公式狄利克雷積分:[例1-2]證明第十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換傅里葉積分公式：傅里葉變換：傅立葉逆變換：第十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換在不考慮在間斷點(diǎn)的取值時(shí)，和通過(guò)指定的積分運(yùn)算可以相同表達(dá)，即

和在傅里葉變換下是一一對(duì)應(yīng)的。為此，稱和構(gòu)成了一個(gè)傅里葉變換對(duì)，記為。它們有相同的奇偶性。第十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換傅里葉正弦積分公式：傅里葉正弦變換式（正弦變換）：傅里葉正弦逆變換式：第十八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換傅里葉余弦積分公式：傅里葉余弦變換式（余弦變換）：傅里葉余弦逆變換式：第十九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換[例1]求單邊指數(shù)衰減函數(shù)（其中為常數(shù)）的傅里葉變換和傅里葉積分公式。[解]當(dāng)時(shí)，上式左端應(yīng)為第二十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換第二十一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換[例2]設(shè)，，試證：和是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。[證明][注]為傅里葉核，雖然它在不絕對(duì)可積，但其傅里葉變換是存在的。第二十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換[例3]求矩形脈沖函數(shù)的傅里葉變換，且利用傅里葉積分公式證明：第二十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換[例5]求函數(shù)的正弦變換和余弦變換。[解]第二十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換[例6]求積分方程[解]第二十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換傅里葉變換的物理意義——頻譜

1非正弦的周期函數(shù)的頻譜2非周期函數(shù)的頻譜第二十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換1非正弦的周期函數(shù)的頻譜第二十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換第n次諧波：第n次諧波的頻率：第n次諧波的振幅：基波：基頻：相位：第二十八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換復(fù)指數(shù)形式：第二十九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換這些直線段稱為譜線，而全體稱為周期函數(shù)的振動(dòng)頻譜（簡(jiǎn)稱為頻譜）。頻率與振幅的關(guān)系圖稱為頻譜圖。周期函數(shù)有離散頻譜。

第三十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換[例7]周期矩形脈沖波在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為設(shè)和，分別作出相應(yīng)的頻譜圖。第三十一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換2非周期函數(shù)的頻譜傅立葉變換又稱為的頻譜密度函數(shù)，它的模稱為的振幅頻譜，也簡(jiǎn)稱為頻譜。由于是連續(xù)變化的，這時(shí)頻譜圖是連續(xù)曲線，所以稱這種頻譜為連續(xù)頻譜。也就是說(shuō)，非周期函數(shù)有連續(xù)的頻譜圖。對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)作傅立葉變換，就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜函數(shù)。注意，第三十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換定義的幅角主值為函數(shù)的相角頻譜。

第三十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換[例8]求單邊指數(shù)衰減函數(shù)的振幅頻譜和相角頻譜。[解]第三十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-2傅立葉變換[例9]求單位脈沖函數(shù)的振幅頻譜和相角頻譜。[解]第三十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第3節(jié)單位脈沖函數(shù)1、物理意義2、定義3、性質(zhì)4、導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)5、廣義傅立葉變換第三十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第3節(jié)單位脈沖函數(shù)1、單位脈沖函數(shù)的物理意義：（1）集中質(zhì)量的密度；（2）電學(xué)中的集中電荷。第三十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第3節(jié)單位脈沖函數(shù)2、單位脈沖函數(shù)的定義：（1）類似普通函數(shù)形式的定義

函數(shù)是滿足如下兩個(gè)條件的函數(shù)。（1）（2）（2）普通函數(shù)序列極限形式的定義

（3）第三種定義

第三十八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第3節(jié)單位脈沖函數(shù)多維函數(shù)的定義：（1）（2）性質(zhì)：第三十九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第3節(jié)單位脈沖函數(shù)3、單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)：（1）線性性質(zhì)：（2）分段性質(zhì)：第四十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第3節(jié)單位脈沖函數(shù)3、單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)：（3）篩選性質(zhì)：（4）時(shí)間尺度變換性質(zhì)：推論：第四十一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第3節(jié)單位脈沖函數(shù)3、單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)：（5）乘以時(shí)間函數(shù)的性質(zhì)推論：

（6）單位階躍函數(shù)，或稱為海維塞（Heaviside）函數(shù)。第四十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第3節(jié)單位脈沖函數(shù)4、單位脈沖函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)：K階導(dǎo)數(shù)：（1）（2）（3）第四十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第3節(jié)單位脈沖函數(shù)4、單位脈沖函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)：（4）（5）第四十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第3節(jié)單位脈沖函數(shù)3、廣義傅立葉變換：（1）極限意義下的傅立葉變換

若則[例1]考察符號(hào)函數(shù)的傅立葉變換。[解]第四十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第3節(jié)單位脈沖函數(shù)（2）函數(shù)的傅立葉變換

第四十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第3節(jié)單位脈沖函數(shù)[例2]證明單位階躍函數(shù)的傅立葉變換為[例3]求正弦函數(shù)的傅立葉變換。[解]第四十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)2、對(duì)稱性質(zhì)3、相似性質(zhì)4、位移性質(zhì)5、微分性質(zhì)6、積分性質(zhì)7、卷積與卷積定理第四十八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)：第四十九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)2、對(duì)稱性質(zhì)：第五十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)3、相似性質(zhì)：翻轉(zhuǎn)公式：

第五十一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)4、位移性質(zhì)：時(shí)移性：頻移性：第五十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)5、微分性質(zhì)：如果在連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，則第五十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)6、積分性質(zhì)：設(shè)（1）若則（2）第五十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)7、卷積與卷積定理卷積：卷積的性質(zhì)：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）對(duì)加法的分配律：

第五十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)7、卷積與卷積定理[卷積定理]

[頻譜卷積定理]

第五十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日積分變換哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院馮國(guó)峰第五十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二章拉普拉斯（Laplace）變換第1節(jié)

Laplace變換的概念第2節(jié)Laplace變換的基本性質(zhì)

第3節(jié)象原函數(shù)的求法

第4節(jié)Laplace變換的應(yīng)用

第五十八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念[傅里葉積分定理]若在任何有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件，并且在無(wú)限區(qū)間上絕對(duì)可積（即積分收斂），則有

第五十九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念Fourier變換的局限：（1）絕對(duì)可積的條件較強(qiáng)，許多簡(jiǎn)單的常見(jiàn)函數(shù)（如單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及線性函數(shù)等）都不滿足這個(gè)條件，都不能作古典的Fourier變換。（2）可以進(jìn)行Fourier變換的函數(shù)必須在整個(gè)數(shù)軸上有定義，但在物理和無(wú)線電技術(shù)等實(shí)際應(yīng)用中，許多以時(shí)間t作為自變量的函數(shù)往往在時(shí)是無(wú)意義的或是不需要考慮的，像這樣的函數(shù)都不能取Fourier變換。第六十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念如何克服上述兩個(gè)缺點(diǎn)？（1）單位階躍函數(shù)用乘以，這樣得到的，在時(shí)就等于零，在時(shí)仍為，就有可能使其積分區(qū)間由變?yōu)榈诹豁?yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念（2）對(duì)于許多在不絕對(duì)可積的函數(shù)，往往是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，其絕對(duì)值減小太慢的緣故。由于指數(shù)衰減函數(shù)有當(dāng)時(shí)衰減得很快的特點(diǎn)，因此如果用去乘，只要充分大，一般可使當(dāng)時(shí)絕對(duì)值就衰減得很快，使得能夠變得絕對(duì)可積。第六十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念設(shè)是定義在上的實(shí)（或復(fù)）值函數(shù)，如果積分（s是一個(gè)復(fù)變量）在s的某個(gè)區(qū)域內(nèi)存在，則由此積分確定的函數(shù)可寫為，稱復(fù)函數(shù)為函數(shù)的象函數(shù)或Laplace變換，記為。稱為的象原函數(shù)或Laplace逆變換，記為。又稱這兩個(gè)函數(shù)為L(zhǎng)aplace變換對(duì)，記為。第六十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念（1）Laplace變換實(shí)際上就是一種單邊的廣義的Fourier變換。（2）Laplace變換的復(fù)反演積分公式：（3）Laplace變換的象原函數(shù)與象函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。第六十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念[例]求單位階躍函數(shù)、符號(hào)函數(shù)及的Laplace變換。[解]第六十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念[例2]求的Laplace變換。[例3]求的Laplace變換（k為復(fù)常數(shù)）。[解]第六十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念[定義]對(duì)實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)，如果存在兩個(gè)常數(shù)及，使得對(duì)于一切，都成立即的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù)，則稱為指數(shù)級(jí)函數(shù)，稱它的增大是不超過(guò)指數(shù)級(jí)的，c為它的增長(zhǎng)指數(shù)。第六十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念[例]，此處，此處，此處，此處。它們都是指數(shù)級(jí)函數(shù)。但是對(duì)于函數(shù)，不論選M及c多么大，總有，所以它不是指數(shù)級(jí)函數(shù)。第六十八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念[Laplace變換存在定理]若函數(shù)滿足下列條件：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）在的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限個(gè)，且都是第一類間斷點(diǎn)。（3）是指數(shù)級(jí)函數(shù)。則的Laplace變換在半平面上一定存在，并且為解析函數(shù)。第六十九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念說(shuō)明：（1）Laplace變換存在定理的條件是充分的，而不是必要的。即若不滿足存在定理的條件下，Laplace變換仍可能存在。（2）一個(gè)函數(shù)的增大是不超過(guò)指數(shù)級(jí)的要比函數(shù)要絕對(duì)可積的條件相比，前者的條件要弱得多。由此可見(jiàn)，對(duì)于某些問(wèn)題（如在線性系統(tǒng)分析中），Laplace變換的應(yīng)用范圍就更為廣泛。第七十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念說(shuō)明：（3）工程技術(shù)中所遇到的函數(shù)大部分是存在Laplace變換的，但像，這類函數(shù)是不存在Laplace變換的。（4）如果為指數(shù)級(jí)函數(shù)，則其增長(zhǎng)指數(shù)不唯一。把能使成立的一切x的最大下界記作c，稱它為L(zhǎng)aplace變換的收斂坐標(biāo)。在復(fù)平面上，直線稱為L(zhǎng)aplace積分的收斂軸。第七十一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念[例4]三角函數(shù)的Laplace變換。第七十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念[例]求冪函數(shù)（m為整數(shù)）的Laplace變換。[解]伽瑪（Gamma）函數(shù)：第七十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-1Laplace變換的概念周期函數(shù)的Laplace變換：設(shè)在內(nèi)是以T為周期的函數(shù)，即且在一個(gè)周期內(nèi)分段連續(xù)，則有第七十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-2Laplace變換的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)

2、相似性質(zhì)

3、延遲性質(zhì)4、位移性質(zhì)5、微分性質(zhì)6、積分性質(zhì)7、卷積與卷積定理

第七十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-2Laplace變換的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)

第七十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-2Laplace變換的基本性質(zhì)2、相似性質(zhì)第七十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-2Laplace變換的基本性質(zhì)3、延遲性質(zhì)第七十八頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-2Laplace變換的基本性質(zhì)4、位移性質(zhì)第七十九頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-2Laplace變換的基本性質(zhì)5、微分性質(zhì)第八十頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-2Laplace變換的基本性質(zhì)6、積分性質(zhì)若積分存在，第八十一頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-2Laplace變換的基本性質(zhì)7、卷積與卷積定理

第八十二頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-2Laplace變換的基本性質(zhì)7、卷積與卷積定理[卷積定理]

第八十三頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-3象原函數(shù)的求法[（推廣的）若當(dāng)引理]設(shè)以為中心，R為半徑的左半圓弧復(fù)變量s的一個(gè)函數(shù)滿足：（1）它在左半平面上除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的。（2）對(duì)于的s，當(dāng)時(shí)趨于零。則對(duì)充分大的，函數(shù)沿半圓周的積分存在，且對(duì)任意，有。第八十四頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-3象原函數(shù)的求法[展開(kāi)定理]如果在整個(gè)復(fù)平面s上除了有限個(gè)奇點(diǎn)外都解析，并且所有的奇點(diǎn)都在半平面內(nèi)。并且當(dāng)時(shí)，。則在的連續(xù)點(diǎn)t處，有其中為復(fù)變函數(shù)在奇點(diǎn)處的留數(shù)。第八十五頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-3象原函數(shù)的求法留數(shù)的計(jì)算：（1）單極點(diǎn)：（2）復(fù)極點(diǎn)：第八十六頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-3象原函數(shù)的求法[例4]求的逆變換。[解]這里，是單零點(diǎn)，為二級(jí)零點(diǎn)。由展開(kāi)定理可得：第八十七頁(yè)，共九十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2-4Laplace變換的應(yīng)用1、解常系數(shù)線性微分方程的初值問(wèn)題2、求解常系數(shù)線性微分方程邊值問(wèn)題3、解某些變系數(shù)線性微分方程