常微分方程全微分方程1第一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日1.全微分方程的定義設是一個連續可微的二元函數,則若則有這是一大類可求解的微分方程.2第二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日則稱

為全微分方程。若連續可微的二元函數使得

此時，全微分方程的解為

3第三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日例如,下列方程都是全微分方程:因為函數的全微分就分別是這三個方程的左端,他們的解分別是4第四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日但并不是所有的方程都能方便地找到對應的的函數,或者這樣的就不存在.所以我們有三個問題需要解決:(1)方程是否就是全微分方程;(2)若方程是全微分方程,怎樣求它的解;(3)若方程不是全微分方程,有無可能將它轉化為一個全微分方程來求解?5第五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日是全微分方程的充要條件為:（2.3.3)證明：一.先證必要性2.方程為全微分方程的充要條件設是全微分方程,則有函數使得中連續且有連續的一階偏導數，則

定理2.1設函數和

在一個矩形區域6第六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日故

成立。

故有

計算的二階混合偏導數:由于M(x,y)和N(x,y)有連續一階偏導數,從而有7第七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日二.再證充分性構造函數滿足

設

滿足

取

待定，對上式關于y求偏導數得

在矩形R中取一點

令

是R的一個動點，8第八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日令

所有與相差一個常數的函數都滿足

則找到一個滿足的函數

這種方法稱為線積分法.9第九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日例：驗證方程是全微分方程，并求它的通解。3.全微分方程的積分由于

解：當一個方程是全微分方程時,我們有三種解法.(1)線積分法:或10第十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日故通解為其中為任意常數所以方程為全微分方程。11第十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日(2)偏積分法的通解.例：求方程由于解：假設所求全微分函數為,則有求12第十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日而即從而即13第十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日解:偏積分法原方程的通解:練習14第十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日例：驗證方程是全微分方程，并求它滿足初始條件：的解。

所以方程為全微分方程。由于

解：由于(3)湊微分法15第十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日方程的通解為：

利用條件得最后得所求初值問題得解為：根據二元函數微分的經驗,原方程可寫為16第十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日通解：解:分組湊全微分法練習17第十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日解是全微分方程將左端重新組合原方程的通解：練習18第十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日一階線性方程解整理:法一法二整理:練習19第十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日（1）偏積分法原方程的通解:20第二十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日（2）湊全微分法原方程的通解:21第二十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日若一個方程不是全微分方程，我們可以用積分因子法將其變為全微分方程。4.積分因子例:求方程解：故該方程不是全微分方程,對該方程兩邊同時乘以后得:22第二十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日由于利用湊微分的方法可得通解為:如果有函數使方程是全微分方程。則一個積分因子。稱為方程的23第二十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

觀察法憑觀察湊微分得到

常見的全微分表達式可選用積分因子24第二十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日例:驗證是方程

的積分因子,并求它的通解.解：對方程兩邊同乘以后得由于故該方程是全微分方程,是一個利用湊微分的方法可得通解為:積分因子,25第二十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日例:驗證是方程

的一個積分因子，并求其通解。解：對方程有對方程兩邊同乘以

后，再利用湊微分法∴通解為:26第二十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日求方程解不是全微分方程.將方程兩端重新組合,觀察法,積分因子原方程練習27第二十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日解將方程兩端重新組合,求方程不是全微分方程.積分因子,原方程的通解:練習28第二十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日從上面的例子可看出,當確定了積分因子后,很容易求出其通解,但問題是:(1)積分因子是否一定存在?(2)如何求積分因子?這兩個問題是十分困難的問題,一般來說無法給出答案,但對一些特殊的函數或方程是可以給出一些充分條件的.29第二十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日定理2.2微分方程有一個僅依賴的積分因子得充要條件是:于有關；僅與因子得充要條件是同理，方程有一個僅依賴于的積分僅與有關。

30第三十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日即上式左端只與有關,故右端也只能是的函數.反之,若方程的右端函數僅與有關,我們取證明:僅證第一部分.不妨設上式就是方程的一個積分因子,故定理得證.31第三十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日例：求微分方程

的通解。解：由于故它不是全微分方程。利用積分因子的表達式得

又因為

它與無關。

由定理知，方程有一個僅與有關的積分因子。32第三十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日對方程兩邊同乘以積分因子

得

這是一個全微分方程。分組湊微分,得方程通解:33第三十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日注:積分因子是求解微分方程的一個重要方法,絕大多數方程的求解都可以通過這種方法來解決.但是求一個微分方程的積分因子比較困難,需要靈活的方法和技巧.34第三十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日熟練記住下面的幾個方程和其對應的積分因子例如:當一個微分方程中出現時,函數都有可能成為其積分因子.35第三十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日例.求微分方程的通解.解:因為所以方程不是全微分方程.將方程的左端重新分組得:選擇作為方程的積分因子.方程兩邊同時乘以方程的通解為36第三十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日設微分方程左端可以分為兩組,即其中第一組和第二組各有積分因子和使得由于對任意可微函數和是第一組的積分因子,是第二組的積分因子,37第三十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日例：求微分方程的通解。解：將方程左端分組

前一組有積分因子和通積分

后一組有積分因子和通積分

如果能選取的和使得則就是方程的一個積分因子.38第三十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日從而得原方程的積分因子為

用它乘原方程得

所