第二講光線的傳播與高斯光束演示文稿當前第1頁\共有61頁\編于星期五\9點（優選）第二講光線的傳播與高斯光束當前第2頁\共有61頁\編于星期五\9點§2.1光線的傳播研究激光在光學媒質中的傳輸特性一.光線矩陣討論近軸（傍軸）光線規定：朝上為正、下為負指向上方為正、下方為負符號規則當前第3頁\共有61頁\編于星期五\9點1.通過厚度為L的均勻介質當前第4頁\共有61頁\編于星期五\9點2.通過不同介質的介面（平面）當前第5頁\共有61頁\編于星期五\9點3.通過焦距為f的薄透鏡f>0，相對于凸透鏡f<0，相對于凹透鏡當前第6頁\共有61頁\編于星期五\9點4.通過球面反射鏡（1）R>0,凹面反射鏡（2）R<0,凸面反射鏡（3）R趨于無窮,單位矩陣一個曲率半徑為R的球面反射鏡對光線的作用相當于一個焦距f=R/2的薄透鏡當前第7頁\共有61頁\編于星期五\9點5.球面介面當前第8頁\共有61頁\編于星期五\9點二.光線通過雙周期透鏡波導序列由焦距為f1和f2的透鏡相距間隔為d，周期性排列而成現實意義：等效為高斯光束（激光）在焦距為f1和f2的兩反射鏡組成的光學諧振腔中的傳輸f1f2SS+1MNf1d當前第9頁\共有61頁\編于星期五\9點因此：同樣的：N——S+1因此，平面S與S+1之間的光線參數關系有：當光線通過復雜光學系統時，光線矩陣為各個光學元件光線矩陣相乘，乘法的順序與光線傳播的方向相反當前第10頁\共有61頁\編于星期五\9點由遞推關系：該式為一個決定光線穿過透鏡波導的演進情形的差分方程當前第11頁\共有61頁\編于星期五\9點解此差分方程得：方程的通解即為以上兩個解的線性疊加，也可寫為，討論：（1），為實角，光線在該透鏡序列中傳播時是穩定的（2），光線在該透鏡序列中傳播時是不穩定的當前第12頁\共有61頁\編于星期五\9點三、相同透鏡波導（f1＝f2）：當前第13頁\共有61頁\編于星期五\9點四、光線在反射鏡之間的傳播：dR2R1zXnOXn+1YnYn+1當前第14頁\共有61頁\編于星期五\9點掌握：1、光線矩陣的分析方法2、幾種典型光學元件的光線矩陣3、復雜光學系統的光線矩陣4、雙周期透鏡波導的定義和物理意義5、雙周期透鏡波導的穩定性條件6、光纖在兩反射鏡之間傳播的穩定性條件當前第15頁\共有61頁\編于星期五\9點五、光線在類透鏡介質中的傳播1.薄透鏡的聚焦機理ABrCfOz離軸距離為r的相位提前量為經過透鏡后的光場平面波，經過薄透鏡，產生一個與離軸距離r2成正比的相位提前量，補償了到達焦點幾何路徑的不同所引起的相位不同滯后量，到達焦點時間、相位相同，實現聚焦當前第16頁\共有61頁\編于星期五\9點2.類透鏡介質軸線上的折射率軸線上的波數與介質有關的常數（與工作狀態也有關系）定義：某種介質折射率滿足研究類透鏡介質的實際意義？當前第17頁\共有61頁\編于星期五\9點3.光線在均勻和非均勻各向同性介質中的傳播——程函方程（幾何光學中的基本方程）光線的傳播方向，就是變化最快的方向

在討論光線和幾何光學的強度時，可以推導出：光線的微分方程（光線方程）為空間位置矢量，為光線傳播方向當前第18頁\共有61頁\編于星期五\9點（2）非均勻介質，必須采用光線方程進行分析（1）均勻介質解方程得：上式代表一個矢量直線方程，即直線沿著a的方向并通過b點，因此，在均勻同性介質中，光線是直線傳播的當前第19頁\共有61頁\編于星期五\9點4、在類透鏡介質中的傳播考慮近軸光線在二次折射率介質（或類透鏡介質）中，折射率沒有軸向分布，僅有徑向分布當前第20頁\共有61頁\編于星期五\9點光線在x方向和y方向的變化是相同的X,y都是獨立變量當前第21頁\共有61頁\編于星期五\9點為了簡化，可以取y－z平面上的光線討論，并以r代替y——近軸光線的微分方程1)K2>0當前第22頁\共有61頁\編于星期五\9點此時的光線矩陣結論：二次變折射率介質，對光線傳播的作用相當于透鏡一樣，使光線改變方向在介質中傳播的光線在和之間振蕩當前第23頁\共有61頁\編于星期五\9點a,K2<0z增加，r(z)增加，因而具有發散性，起到負透鏡的作用思考：1、K2＝0的情況；2、k2>0時對光線起到匯聚的作用，推導聚焦點的位置；3、比較光線在透鏡波導和在二次折射率介質中，其傳播問題的處理方法及結果的異同。當前第24頁\共有61頁\編于星期五\9點§2.2光束在均勻介質中的傳輸目的：從二次折射率介質中的波動方程出發，推導出激光的特征光束形式——高斯光束，并討論其傳輸特性。（包括腔內、腔外、各種光學元件）一、二次折射率介質中的波動方程1、在各項同性、無電荷的介質中，麥克斯韋方程組如下：當前第25頁\共有61頁\編于星期五\9點設折射率n（x，y）的空間分布之變化很小（緩慢變化）分離變量關于傳播常數K的討論（1）在激光中，如果考慮到介質中可能存在光的增益或吸收，我們將K取做復數形式（2）K(r)具有以下函數規律當前第26頁\共有61頁\編于星期五\9點設為z向傳播的電磁波，其橫向分布僅與r有關取具有下面的形式，并代入波動方程：2、二次折射率介質的波動方程之解近似的平面波是對平面波的修正函數，包括振幅修正和相位修正當前第27頁\共有61頁\編于星期五\9點如果方程對任何r都成立，則系數均為0這就是二次折射率介質中的簡化形式的波動方程，亦即激光介質中的波動方程。當前第28頁\共有61頁\編于星期五\9點二.均勻介質中的基本高斯光束K2＝0引入中間函數S，令當前第29頁\共有61頁\編于星期五\9點當選擇了為純虛數時，就可以導出物理上有意義的波，這種波的能量集中在z軸附近。設為純虛數，并引入一個新的常數當前第30頁\共有61頁\編于星期五\9點基本高斯光束解只考慮了隨r作變化的橫向分布，不考慮更為復雜的與方位角有關的解軸線上的波數當前第31頁\共有61頁\編于星期五\9點基模高斯光束特性(1)場的振幅分布在z截面上，振幅是按照高斯函數的規律變化，在軸線上有最大值。定義：在光束截面內，振幅下降到中心的1/e時，離軸的距離r為該處的光斑尺寸或光斑半徑，因此即為z截面上的光斑半徑。當前第32頁\共有61頁\編于星期五\9點光斑最小的位置為束腰，其尺寸為當前第33頁\共有61頁\編于星期五\9點(2)場的相位分布基模高斯光束的等相位面的曲率半徑為當時，當時，有極小值，該極小值為當時，高斯光束的波面才能看成是中心位于原點的球面當前第34頁\共有61頁\編于星期五\9點1.遠場發散角(全角)

定義為雙曲線的兩根漸近線之間的夾角(3)高斯光束的遠場發散角當前第35頁\共有61頁\編于星期五\9點三、高斯光束的變換－ABCD法則1、類透鏡介質中的基本高斯光束

同樣引入中間函數S，代入當前第36頁\共有61頁\編于星期五\9點取為純虛數，那么可以取下面的形式表明了初始值與z處的光束參數之間的關系

稱為復數光束半徑

當前第37頁\共有61頁\編于星期五\9點與類透鏡介質的光線矩陣進行比較按照光線矩陣的規則上式就是高斯光束q參數的變換法則（ABCD法則），對于其他光學元件的光線矩陣，可以看作類透鏡光線矩陣的特殊情況。1、ABCD法則不同于矩陣乘法2、高斯光束變換后仍是高斯光束3、可推廣到各種光學元件2、ABCD法則

由決定了光束的光斑尺寸和波前的曲率半徑，也就決定了整個高斯光束的模式，所以其變換法則代表高斯光束的變換法則當前第38頁\共有61頁\編于星期五\9點應用舉例1：高斯光束通過薄透鏡fq1q2（1）薄透鏡的光線矩陣是（2）應用ABCD法則當前第39頁\共有61頁\編于星期五\9點由于代入當前第40頁\共有61頁\編于星期五\9點應用舉例2：高斯光束依次通過兩個光學元件當前第41頁\共有61頁\編于星期五\9點ABCD法則最大功效是當高斯光束通過成像系統的復雜序列后，能夠很快的找出高斯光束的束參數。當前第42頁\共有61頁\編于星期五\9點三、高斯光束在透鏡波導中的傳輸1、透鏡波導中的變換矩陣光線通過雙周期透鏡波導單元的光線矩陣為（ABCD），那么經過S個周期后，聯系S＋1面和第1面的光線矩陣是經過數學歸納法，可得到當前第43頁\共有61頁\編于星期五\9點2、光束參數變換法則3、高斯光束通過透鏡序列的穩定性條件要得到有有限解，必須為實數，也就是實際意義：ABCD法則是激光束在諧振腔兩個反射鏡之間往返S次的光束參數變換法則當前第44頁\共有61頁\編于星期五\9點四、均勻介質中傳播的高階高斯光束如果考慮方位角的變化代入波動方程，分離變量后解得：當前第45頁\共有61頁\編于星期五\9點其解為厄米多項式所以總的解為仍為基本高斯光束解本征值當前第46頁\共有61頁\編于星期五\9點那么電場的橫向變化模式：在激光中，將光學諧振腔內可能存在的電磁場的本征態稱為腔的模式橫模：光場橫向的穩定分布，以TEM表示縱模：光場縱向的穩定分布（沿著光的傳播方向）當前第47頁\共有61頁\編于星期五\9點§2.3高斯光束的變換一、高斯光束的基本性質1、基模高斯光束式中的重要參數：當前第48頁\共有61頁\編于星期五\9點2、高斯光束在自由空間的傳輸a.基模高斯光束在橫截面內的振幅分布按照高斯分布由振幅降落到中心值1/e處所定義的光斑半徑為光斑半徑隨坐標z按照雙曲線規律擴展當前第49頁\共有61頁\編于星期五\9點b.基模高斯光束的相移描述高斯光束在點(x,y,z)處相對于原點(0,0,0)處的相位滯后。其中，kz描述幾何相移，描述高斯光束在空間行進距離z時相對幾何相移的附加相位超前，高斯光束的等相位面是以R為半徑的球面。

當前第50頁\共有61頁\編于星期五\9點c.遠場發散角高斯光束在其傳輸軸線附近可近似看做是一種非均勻球面波。其曲率中心隨著傳輸過程而不斷改變，但其振幅和強度在橫截面內始終保持高斯分布特性，且其等相位面始終保持為球面。當前第51頁\共有61頁\編于星期五\9點3.高斯光束的特征參數a.用參數及束腰位置來表征當前第52頁\共有61頁\編于星期五\9點c.用q參數來表征b.用參數來表征當前第53頁\共有61頁\編于星期五\9點球面波通過薄透鏡的變換高斯光束通過薄透鏡的變換二、高斯光束通過薄透鏡時的變換當前第54頁\共有61頁\編于星期五\9點（1）寫出光線矩陣（2）應用ABCD法則當前第55頁\共有61頁\編于星期五\9點三、高斯光束的聚焦當前第56頁\共有61頁\編于星期五\9點三、高斯光束的聚焦可見，不論l多大，只要滿足條件，就能實現一定的聚焦作用。當前第57頁\共有61頁\編于星期五\9點三、高斯光束的聚焦當前第58頁\共有61頁\編于星期五\9點四、高斯光束的準直1.高斯光束的準直：改善光束的方向性，壓縮光束的發散角。