第二章控制系統的數學模型控制系統的時域數學模型控制系統的復數域數學模型控制系統的結構圖/方框圖梅森公式與信號流圖數學模型描述系統輸入、輸出變量以及內部各變量之間關系的數學表達式。分析和設計任何一個控制系統，首要任務是建立系統的數學模型。靜態數學模型:

在靜態條件下（變量各界導數為零），描述變量之間關系的代數方程稱為靜態數學模型動態數學模型：描述變量各階導數之間關系的微分方程稱為動態數學模型解析法：依據系統及元件各變量之間所遵循的物理、化學定律列寫出變量間的數學表達式，并實驗驗證。實驗法：對系統或元件輸入一定形式的信號（階躍信號、單位脈沖信號、正弦信號等），根據系統或元件的輸出響應，經過數據處理而辨識出系統的數學模型。解析方法適用于簡單、典型、常見的系統，而實驗方法適用于復雜、非常見的系統。實際上常常是把這兩種方法結合起來建立數學模型更為有效。時域數學模型：微分方程、差分方程、狀態方程復數域數學模型：頻域數學模型：傳遞函數、結構圖頻率特性本節主要研究描述線性、定常、集總參量控制系統的微分方程的建立和求解方法一．微分方程：給定量和擾動量作為系統輸入量，被控制量作為系統輸出的一種系統描述方法單變量線性定常系統微分方程nm?n-1?c(

n)

(t)

+

a

c(n-1)

(t)

+

a

c(

n-2)

(t)

+1

2+

a

c(t)

+

a

c(t)=

b

r(m)

(t)

+

b

r(

m-1)

(t)

+

b

r(m-2)

(t)

+ +

b0

1

2

m-1輸出量在左，輸入量在右，降階排列。r(t)

+

b

r(t)二．列寫線性系統微分方程的主要步驟：分析系統工作原理，明確輸入量、輸出量列寫各元件的運動方程式消除中間變量，只保留輸入與輸出量及導數化為標準形式例2-1

下圖為由一RC組成的四端無源網絡。試列寫以U1（t）為輸入量，U2(t)為輸出量的網絡微分方程。解：設回路電流i1、i2，由基爾霍夫定律可列寫方程組如下：U1R1

R2U2C1C2RC四端網絡c

22U

=

U(5)=

1i

dtCUc

222(4)2

2c

2c1U

=

R

i

+U(3)C

=

1(i1

-

i2

)dtUc11(2)U1

=

R1i1

+Uc1(1)i2i1d2UdUdt2dtR1R2C1C2

2

+(R1C1

+R1C2

+R2C2) 2

+U2

=U1這就是RC組成的四端網絡的數學模型，是一個二階線性微分方程。K1K2K1f

(K1

+

K2

)12ooi

x

+x

=xK

+

K221消去中間變量xmm

iK1

xm

=

K1

xi

-

K2

xo

x

=

x

-oo

oKKxx

+

xKf=例2-2

彈簧—阻尼器系統,求xi與xo的關系。設彈簧的彈性系數為分別為K1,K2

（N/m)

，阻尼器的阻尼系數為f（N·s/m);取中間變量xm,分別對A、B兩點受力分析Fi

=

K1

(xi

-

xm

)

o

2

0m

m

o1

i

mmF

=

K

xF

=

f

(x

-

x

)

K

(x

-

x

)

=

f

(x

-

x

)

=

K

xo

2

oB1B2K1K2XrXcR2

C2R1C1UrUc(b)電氣系統機械系統對電氣網絡(b)，列寫電路方程得?

?(B1

+

B2

)

Xc

+(K1

+

K2

)

Xc

=

B1

Xr

+

K1

Xr圖(a)輸入為Xr，輸出為Xc，B1，B2為粘性阻尼系數，K1,K2為彈性系數根據力平衡，列出其運動方程式，得rcCC

C11

r211

2

c1

1+

1

)U

=

R

U

+

U(R

+

R

)U

+

(??相同的數學模型！相似系統揭示了不同物理現象之間的相似關系。為利用簡單易實現的系統（如電的系統）去研究機械系統提供了方便。一般來說，電或電子的系統更容易，通過試驗進行研究。微分方程求解方法微分方程形式的數學模型在實際應用中一般會遇到如下的困難：微分方程式的階次一高，求解就有難度，且計算的工作量大。對于控制系統的分析，不僅要了解它在給定信號作用下的輸出響應，而且更重視系統的結構、參數與其性能間的關系。對于后者的要求，顯然用微分方程式去描述是難于實現的。在控制工程中，一般并不需要精確地求系統微分方程式的解，作出它的輸出響應曲線，而是希望用簡單的辦法了解系統是否

穩定及其在動態過程中的主要特征，能夠判別某些參數的改變

或校正裝置的加入對系統性能的影響。疊加原理：可疊加性和齊次性md

2

x(t

)

dx(t

)dt

2

dt+

Kx(t

)

=

f

(t

)＋

f當f(t)=f1(t)時，上述方程的解為x1(t)；當f(t)=f2(t)時，上述方程的解為x2(t)；如果f(t)=f1(t)+f2(t),方程的解為x(t)=

x1(t)+x2(t),這就是疊加性當f(t)=Af1(t)時，上述方程的解為x1(t)=Ax1(t),這就是齊次性絕對的線性元件和線性系統不存在實際物理元件或系統都是非線性的，構成系統的元件都具有不同程度的非線性。建立的動態方程就是非線性微分方程，對其求解有諸多困難，因此，對非線性問題做線性化處理確有必要。線性化:在滿足一定條件的前提下，用近似的線性系統代替非線性方程。線性化的基本條件:非線性特性必須是非本質的，系統各變量對于工作點僅有微小的偏離。微偏法:若非線性函數不僅連續，而且其各階導數均存在，則由級數理論可知，可在給定工作點鄰域將此非線性函數展開為泰勒級數，并略去二階及二階以上的各項，用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。線性化的方法:設一非線性元件的輸入為x、輸出為y，它們間的關系如圖所示，相應的數學表達式為y

=

f

(

x

)在給定工作點(x

0，y

0

)附近，將上式展開泰勒級數2df

1

d

2

fy

=

f

(

x)

=

f

(

x0

)

+

dx

(

x

-

x0

)

+

2!

dx2

(

x

-

x0

)

+x=x0x=x0若在工作點(x0，y0

)略去式中(x

-x0)2式近似表示為項及其后面所有的高階項，這樣，上附近增量

x

-

x0

的變化很小，則可y

=

y0

+

K

(

x

-

x0

)（*）或寫為D

y

=

K

D

x（*）000式中，y0x

=

x0，Dy

=

y

-

y

，Dx

=

x

-

xdx=

f

(

x

)，K

=

df

式（*）就是線性化方程。嚴格地說，經過線性化后的所得的系統微分方程式，只是近似地表征系統的運動情況。實踐證明，對于絕大多數的控制系統，經過線性化后所得的系統數學模型，能以較高的精度反映系統的實際運動過程，所以線性化方法是很有實際意義的。一．傳遞函數１．線性定常系統的傳遞函數定義為：R(s)=

C(s)

=

G(s)零初始條件輸入的拉氏變換傳遞函數=輸出的拉氏變換|G

(

s

)R

(

s

)C

(

s

)零初始條件下，系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。零初始條件指的是輸入、輸出初始條件均為零，即輸入作用是t＝0后才加于系統的，因此輸入量及其各階導數，在t=0-時的值為零。輸入信號作用于系統之前系統是靜止的，即t=

0-

時

，系統的輸出量及各階導數為零。R(s)=

C(s)

=

G(s)零初始條件輸入的拉氏變換傳遞函數=輸出的拉氏變換|（1）傳遞函數可通過微分方程在初始條件為零時進行拉氏變換求得1n0

1

m-1

mn-1=C(S

)

b

sm

+

b

sm-1

+

+

b s

+

bR(S

)sn

+

a

sn-1

+

+

a s

+

a(sn+a1sn-1

+…+

an-1s+an)C(s)

=

(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s)傳遞函數:=

b

r(m)

(t)

+

b

r(m-1)

(t)

+

b

r(m-2)

(t)

+0

1

2m?1

2

n-1

nc(n)

(t)

+

a

c(n-1)

(t)

+

a

c(n-2)

(t)

+

+

a c(t)

+

a

c(t)?m-1+

b

r(t)

+

b

r(t)適用于線性定常系統，傳遞函數是系統以復變量s為自變量的復數域描述。微分方程是系統以時間t為自變量的時域描述。實際系統的傳遞函數是復變量S的有理真分式函數傳遞函數原則上不能反映系統在非零初始條件下的全部運動規律傳遞函數取決于系統或元件的結構和參數，與輸入無關。傳遞函數不提供任何該系統的物理結構。不同的物理系統可以具有完全相同的傳遞函數。一個傳遞函數只能表示一個輸入與輸出之間的關系。對于多輸入—多輸出的系統，用傳遞函數矩陣去表征系統的輸入與輸出間的關系。傳遞函數的拉氏反變換是脈沖響應g(t).g

(

t

)

=

L-1

[C

(

s

)]

=

L-1

[G

(

s

)

R

(

s

)]

=

L-1

[G

(

s

)]-t)dtg(t

-t)r(t)dt

=c(t)

=

g(t)*r(t)

=ttg(t)r(t00N(s)=0系統的特征方程，特征根特征方程決定著系統的動態特性。

N(s)中s的最高階次等于系統的階次。！從微分方程的角度看，此時相當于所有的導數項都為零。K——系統處于靜態時，輸出與輸入的比值。a

s

n

+

a

sb

s

m

+

b

s=n

-1

nn

-10

1m

-1

0

1

m

-1

m+

...

+

a s

+

a+

...

+

b s

+

bM

(s

)N

(s

)G(s

)

=當s=0時系統的放大系數或增益G(0)

=

bm

=

Kan系統傳遞函數的極點就是系統的特征根。零點和極點的數值完全取決于系統的結構參數。G(s)

=U2

(s)

/

U1

(s)求下圖所示電路的傳遞函數RCs

+11電阻、電容、電感的復阻抗分別為R、1∕Cs、Ls，它們的串并聯運算關系類同電阻。1U1

(s)G(S

)

=

U

2(s)

=

Cs

=CsR

+

1G(s)

=U2

(s)

/

U1

(s)求下圖所示電路的傳遞函數RCs

+11

+

RU1

(s)G(s)

=

U

2

(s)

==RCsCsR控制系統方框圖（結構圖）簡稱框圖，它能夠非常清楚地表示出輸入信號在系統各部分傳遞過程，又可以方便地求出復雜系統的傳遞函數，也是系統數學模型的一種。方框圖

block

diagram;

block

plan;

fundamental

diagram（1）方框（Block

Diagram）:表示輸入到輸出單向傳輸的函數關系（2）信號線：

帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向在信號線旁標注該信號的時間函數或是其拉式變換框圖包括函數方框、信號線、相加點、分支點等圖形符號。Υ1Υ1-Υ2+Υ3Υ2-Υ3（3）相加點（比較點、綜合點）Summing

Point兩個或兩個以上的輸入信號進行加減比較的元件。

“+”表示相加，“-”表示相減。“+”號可省略。-R1(s)R2

(s)-R1(s)

-R2

(s)

R1(s)

-R2

(s)R1(s)R2

(s)+＋–注意：同一位置引出的信號大小和性質完全一樣。(4)分支點（引出點）Branch

Point表示信號測量或引出的位置P(s)P(s)R(s)C(s)G1(s)G2

(s)R(s)A-BC(s)G1G2G3G4H1H

2-C傳遞函數？在控制系統中，任何復雜系統主要由響應環節的方框經串聯、并聯和反饋三種基本形式連接而成。方框圖等效變換

equivalent

transform

of

blockdiagramR(s)C(s)（a）U1

(s)U2

(s)G1

(s)G2

(s)G3

(s)（a）R(s)C(s)G2

(s)G1

(s)G3

(s)C2

(s)C1(s)C3

(s)（a）C(s)R(s)G(s)H(s)＋—E(s)B(s)串聯并聯反饋特點：前一環節的輸出量就是后一環節的輸入量U1

(s)

=

G1

(s)R(s)U

2

(s)

=

G2

(s)U1

(s)

=

G2

(s)G1

(s)R(s)C(s)

=

G3

(s)U

2

(s)

=

G3

(s)G2

(s)G1

(s)R(s)R(s)C(s)（a）U1

(s)U2

(s)G1

(s)G2

(s)G3

(s)R(s)G(s)C(s)（b）1

2

3R(s)

C(s)

=

G

(s)G

(s)G

(s)

=

G(s)i=1G(s)

=nGi

(s)n為相串聯的環節數串聯環節的等效傳遞函數等于所有傳遞函數的乘積（a）R(s)C(s)G2

(s)G1

(s)G3

(s)2C

(s)C1(s)C3

(s)G(s)（b）R(s)C(s)并聯連接的特點：各環節的輸入信號是相同的，均為R(s)，輸出C(s)為各環節的輸出之和。=

[G1

(s)

+

G2

(s)

+

G3

(s)]R(s)C(s)

=

C1

(s)

+

C2

(s)

+

C3

(s)=

G1

(s)R(s)

+

G2

(s)R(s)

+

G3

(s)R(s)1

2

3R(s)C(s)

=

G

(s)

+

G

(s)

+

G

(s)

=

G(s)nG(s)

=

Gi

(s)i=1n為相并聯的環節數

（a）R(s)C(s)G2

(s)G1

(s)G3

(s)2C

(s)C1(s)C3

(s)并聯環節的等效傳遞函數等于所有并聯環節傳遞函數的代數和C(s)R(s)G(s)H(s)（a）反饋連接＋—E(s)B(s)（b）R(s)C(s)上述三種基本變換是進行方框圖等效變換的基礎。對于較復雜的系統,例如當系統具有信號交叉或反饋環交叉時,僅靠這三種方法是不夠的等效變換對于一般系統的方框圖，系統中常常出現信號或反饋環相互交叉的現象，此時可將信號相加點或信號分支點作適當的等效移動，先消除各種形式的交叉，再進行等效變換即可。有關移動中，“前”、“后”的定義：按信號流向定義，也即信號從“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。C(s)R(s)＋G(s)Q(s)比較點前移比較點后移C(s)R(s)G(s)＋Q(s)

G(s)=

[R(s)

+

Q(s)

]G(s)C(s)

=

R(s)G(s)

–

Q(s)C(s)

=

[R(s)

–

Q(s)]G(s)=

R(s)G(s)

–

Q(s)G(s)G(s)C(s)R(s)G(s)＋Q(s)？C(s)R(s)G(s)G(s)＋Q(s)？等效變換，要求變換前后的輸出信號保持不變多個相鄰的相加點可以隨意交換位置R(s)C(s)–Y(s)X(s)–R(s)C(s)–Y(s)X(s)–R(s)分支點（引出點）前移G(s)C(s)

R(s)C(s)G(s)R(s)分支點（引出點）后移C(s)

=

R(s)G(s)1G(s)=

R(s)R(s)

=

R(s)G(s)C(s)C(s)R(s)G(s)G(s)？C(s)R(s)G(s)R(s)？等效變換，要求變換前后的輸出信號保持不變相鄰引出點交換位置，不改變信號的性質AB

R(s)BAR(s)負號可以在信號線上越過方框移動，但不能越過比較點和引出點H

(s)G(s)R(s)C(s)-H

(s)G

(s)R(s)C

(s)+-11H

(s)H

(s)G(s)R(s)C(s)-G

(s)R

(s)C

(s)-H

(s)？相加點移動向同類移動G例C(s)abG4例

分支點移動若結構圖中有交叉聯系，應運用移動規則，首先將交叉消除，化為無交叉的多回路結構。對多回路結構，可由里向外進行變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數。盡量避免相加點和分支點之間的移動。輸入信號所對應的相加點盡量不要移動；12---R1C2

s1R11R21C1s1C2

sUc

(s)Ur

(s)-1R1C1s1R2C2

sR1C2sUr

(s)

-Uc

(s)-12---R1C2

s11R21R1C1s1C2

sUc

(s)Ur

(s)-R1C2s1(R1C1s

+1)(R2C2s

+1)Ur

(s)U

(s)c1R

R

C

C

s2

+(R

C

+

R

C

+

RC

)s

+11

2

1

2

1

1

2

2

1

2Ur

(s)U

(s)cG4G2G3H3G1H1作用分解H1H3G4G2G3H3G1H1例例R(s)ABC(s)G1G2G3G4H1H2-C-

-=C(s)

=

G1G5R(s) 1+G5H2

+G1H1G2

+G1G5G1G2G3

+G1G41+G1G2G3

+G1G4

+G2G3H2

+G4

H2

+G1G2

H1G1G2-R(s)

+C(s)++++-+G1G2-G1G1++++

+-

-C(s)R(s)G1+-++G21+G1G21-

G11+

G1C(s)R(s)G1G2+-+-++G1G1-+G1C(s)R(s)擾動N(S)=0,輸入信號為R(S)時:

(1)前向通道傳遞函數C(S)/E(S)(2)反饋通道傳遞函數B(S)/C(S)(3)開環傳遞函數B(S)/E(S)(4)閉環傳遞函數C(S)/R(S)(5)偏差傳遞函數E(S)/R(S)R(S)=0,輸入信號為N(S)時:

(1)輸出對擾動的傳遞函數C(S)/N(S)(2)偏差對擾動的傳遞函數E(S)/N(S)(1)N(s)=0時，前向通道傳遞函數C(S)/E(S)N(s)=0時，反饋通道傳遞函數B(S)/C(S)N(s)=0時，開環傳遞函數B(S)/E(S)即前向通道傳函與反饋通道傳函之積注意：求傳遞函數時，先斷開等效輸入信號與系統的連接，再根據定義求解C(s)

=G

(s)G

(s)

前向通道傳遞函數1

2

=1+G1

(s)G2

(s)H

(s)

1+開環傳遞函數R(s)對于閉環系統，當輸出點和輸入點變化時，只要找準輸入、輸出點，前向通道，反饋通道，并可利用上式得出閉環傳遞函數(5)

N(s)=0時，偏差傳遞函數E(S)/R(S)R(s)E(s)

==11+

H

(s)G1

(s)G2

(s)11+開環傳遞函數-N(s)C(s)H(s)G2(s)G1(s)輸出對擾動的結構圖N

(s)C(s)

=G2

(s)1+

G1

(s)G2

(s)H

(s)N

(s)E(s)

=-G2

(s)H

(s)1+

G1

(s)G2

(s)H

(s)（7）

R(s)=0時,偏差對擾動的傳遞函數E(S)/N(S)誤差對擾動的結構圖H(s)-1＋E(S)N(S)G1(S)G2(S)線性系統滿足疊加原理，當控制輸入R(s)與擾動N(s)同時作用于系統時，C

(

s

)

=

F

R

(

s

)

R

(

s

)

+

F

N

(

s

)

N

(

s

)N

(

s

)=R

(

s

)

+G

(

s

)1

+

G1

(

s

)G

2

(

s

)

H

(

s

)G

2

(

s

)1

+

G1

(

s

)G

2

(

s

)

H

(

s

)系統的輸出等于他們單獨作用時之和E

(

s

)

=

F

eR

(

s

)

R

(

s

)

+

F

eN

(

s

)

N

(

s

)1

G2

(

s

)

H

(

s

)R

(

s

)

-1

+

G1

(

s

)G2

(

s

)

H

(

s

) 1

+

G1

(

s

)G2

(

s

)

H

(

s

)N

(

s

)=系統的誤差等于他們單獨作用時之和繪制方框圖的根據是系統各環節的微分方程式及其拉式變換。對于單輸入單輸出系統，系統輸入位于框圖最左側，輸出位于最右側。方程的乘除用串聯環節、加減用相加點表示。RCi（a）uiuo一階RC網絡解：利用基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得：osCRU

(s)

=

1

I

(s)I

(s)

=

Ui

(s)

-Uo

(s)將圖（b）和(c)組合起來即得到圖(d)，圖(d)為該一階

RC網絡的方框圖。（b）（c）I

(

s

)Uo

(s)1SC（d

）

1

SC

1

RI

(s)Ui(s)Uo(s)-Uo(s)I

(

s

)

1

RUi(s)Uo(s)1）找出系統輸入、輸出量，列出系統方程，寫出對應的拉氏變換，或直接利用運算阻抗列方程；

2）根據方程繪制框圖。對于單輸入單輸出系統，系統輸入位于框圖最左側，輸出位于最右側。方程的乘除用串聯環節、加減用相加點表示。從包含輸入量的方程開始繪制框圖，依次找出上個方程所用到的新的中間變量作為輸入量的方程，直到用到包含系統輸出量的方程；根據信號的流向將各方框依次連接，相同名稱的信號用分支點連接到一起（包括中間變量）。(a)電路圖uri1i2R1R2ucC1C2(b)運算電路圖R1R2UC

(s)1U

(s)rU

(s)cI1

(s)I2

(s)

1

sC12

1

sC1C112222(s)

=

I1

(s)

-

I2

(s)

(3)111I

(s)(1)I

(s)

=(2)I

(s)

=(4)cU

(s)

=Ccr

CsCRU

(s)

-U

(s)UsCRU

(s)

-U

(s)---CB①②③④A1sC11sC21UC

(s)Ur

(s)I1(s)Uc(s)U

(s)c2I

(s)1R11R2U

(s)C1(b)運算電路圖1R2RU

(s)C1Ur

(s)Uc

(s)1I

(s)2I

(s)11sC1sC2

1

C112222(s)

=

I1

(s)

-

I2

(s)

(3)111I

(s)(1)(2)I

(s)

=(4)cU

(s)

=r

CsCRUC

(s)

-Uc

(s)I

(s)

=UsCRU

(s)

-U

(s)方框圖及其等效變換雖然對分析系統很有效，但是對于比

較復雜的系統，方框圖的變換和化簡過程往往顯得繁瑣、費時。利用梅森公式，不需作變換而直接得出系統中任何兩個變量之間的數學關系。n

Pk

D

kF

(s)

=

k

=1

DG1(s)H1(s)H2(s)C(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)n

Pk

D

kF

(s)

=

k

=1

DG1(s)H1(s)H2(s)C(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)n

Pk

D

kF

(s)

=

k

=1

DD

=

1

-

SLi

+

SLi

L

j

-

SLi

L

j

Lk

+系統的輸出信號和輸入信號之間的傳遞函數Δk——將框圖中與第k條前向通道相接觸的所有部分去除后，所余下的部分求取Δ

，稱余子式Δk

。mason公式傳遞函數R(s)C(s)L1=

–G1

H1

L2=

–

G3

H3

L3=

–

G1G2G3H3H1

L4=

–

G4G3L5

=

–

G1G2G3L1L2=

(–G1H1)

(–G3H3)

=

G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1G4(s)H1(s)H3(s)GG11(s)(s)GG22(s)(s)GG33(s)(s)G1(s)G2(s)G3(s)G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)P2=

G4G3△2=1+G1H1G4(s)G3(s)C(s)R(s)

=?L1L2=(G1