立體幾何中的截面問題一、定義及作法用一個平面去戡幾何體，此平廊與幾何體的交鶴叫做這個兒何休的如乩此平面與幾何體表聞的交集（交線）叫做截線”此晤面與幾何體的樓的交交點［叫做啟點?L方祐佼線注血該作圖關鍵在于胸定戲點，有了位于務潮體闿_表面上的兩個戟點即可連結成截線，從而求得截面+亠低皿錢與竝點的主耍根據有\（D確定平面的條件*㈡）如果兩個不車合的平両有一個公共點，朋么它們和交于過此點的-條直線"（3）如果一條直經上的兩點在一個甲面內.那么這條12線上所有的點都在這個平|時內*憶｝如果一條宜純平行于一個半狗：經過這條直線的個F面柏交,那應這條點線就和交線平行.佑）如果兩個平面平存，第三個平術和送們相交，那么兩條交線平彳^類型x載面經過的三個已知點分別在爭面體的榛上，且其申有兩點在同一個而的按上.例1；如圖「正方^ABCD-^C^中，E.F.G分嗣在AB.BUDU匕求作iiEF.G三點的藏廁.作法』⑴在底面加內，過風尸作直線少分別與場、兀的延長歩兗于厶廈⑵衽側面坷方內「⑵衽側面坷方內「建結W交則］于底例2；■只Q、例2；■只Q、尺三、⑷連結血、朋匸久和嗎上，試畫出過只Q、用三點的厳面⑶在側面坷Q內.連結魏交函于止作法：（1）連接W俯井延長，分別交阿、命的延長線于盡F、⑵連接費交佔于Tr交肋于5.Z（旳連接斤鼠TK則多邊形啄T即為所求截面"

例3：己知A0斤分別杲四棱柱磁1珂珂彳坷的棱帥、助1和A4］上的點，且加與皿不平行’求作過這三點的截面口作法：U）謹接訴并延長交物延長線于點人Q）在平面曲Q內連接刃交舫于點必L(j0）連接輕啟則四邊形旳聲即為所求。L(j例旺如圖，五棱罄P-磁DE中”三條側棱上各有一已知點F、只&求作過只G、H的截面，作法：（D將側面加、PBC.磁伸展得到三核錐尸亠於7：⑵在側面嘟內，連結并延長皈交刖于疋◎）在側菌陽『內，連結并延長胡交刃于匚W）在側面尸sr內.連結皿分別交図、朋于粗皿（5）連結感曲則五邊形砒MV即為所求的截面類型Z截茴經過的三個己知點至少有一點在筍面體的面上.其余點在揍上&在底面心q內，求過E、F、&在底面心q內，求過E、F、&的截面,交如q于點尸］”則面竹勺為所作的輔助面.交如q于點尸］”則面竹勺為所作的輔助面.⑵在面肝討］內，延長氣嗎交朋的延長線于只⑶在面坷坷q坷內'連接兀交業坷于胚并延長交坷q于胚（4）連結逝并延長與冊延長線交于q連接卯■交“于必⑸連結駆酬則五邊形聞傭為所求的截面.

例缶己知直四棱柱嚴在面込吒內，Q在面百］曲％內，￡在棱函上」畫出過只Q、用三點的截面°件法：⑴過尸作即丄e于點已過q作go丄朋于e(刃在底面磁9內連接BQ,并交于蔗⑶由平行錢QQ、肱作平面陽爾，連接?底⑷衽平面購冊內過甘作朋工面肋G7交紗于嵐⑸曲平行線廳?曲j作平ffii彤曲1，則用必落在茴護謝］內⑹在面PPAA｛內，連接島并延悵空曲1于畝(7)在面恥叭內」連接妁，并延長兗的于￡⑻在面鞏吧內"連接曲并延長兗兌1于札(和連接旳；跳則靈邊形財丁即為廉求。類型色載面經過前三個已知點中.宥兩個點在同一梭上，第三點拄寒面侔內例7；試作出過正三棱柱椒：一*］坷q的底邊甌及兩底中心連線加1中點的戟血口作法，(1｝過角』和碼柞平面丿空交凰7于旦愛方苗1于約,則乩坷分別為鹿；約勺的中點。⑵征平面九朋內，作宦賤砒交上底面勺昨切于點民⑶在平面珂坷q內.過Q作加坷q空坷町于呂交血5于a(4)連接血保則麥邊形欣痿為所求，

￡例別在側械和高的夾角為口的正四棱錐中，求作一個過底面頂點且與這點所對側梭垂直的截面（a<4^兒￡作法：（1）在平面朋f中」作AE1SG于點莊⑵崔底面ABCD內過占作必宓軸）延長綏仞分別交同于點獻M（4）連接珈酬分別交期、眾?于點G氐茁〉連接』仏則多邊形磁ff即淘所求B類型配截簡經逵的三個己知點兩兩不在同一面內的棱上.Af例X只a丘三點分別在直四棱拄％的榜冏、坷坷和曲上，試畫出過只a怡三點懈，連接懈，連接PR井址枚交AD前延長?tF」耳■，同祥.求岀POfJT：而ABCD吟燮點M：,堆接碼」込得制就銭連接KO.HR^i所求截ifii'PQKHR君：M附不舷面XSG）的內部松交，而是交丁它的延誡碰匕則可運長DC交閥甌于A/3+連接出/得剰謹線昉連接?p?則?O」所求並血P077?H11：如圖,爲F分別征棱44碼上,G在平面QC曲,解；任得到M、N兩點后，只能先作出平rnfP.CIM^HK浙甞易從圖2芥出英余步驟.臥而絆到所求截mEFLKH我們把已知三點中有兩亍點分別莊正方障的兩午共Ihj的橈上的杵截角題叫做基本題釵?有明品的規憚性例也E.F.G分別在兩兩異面的三條棱匕畫出過￡?￥、G三點詢幣斛:作GP丄DC.謹接站G和且F,連接GE并地長交只4的延長線TM.連按JV仃交AB與H*連按EH,任平廊ABCD內作GK//EH交CCj尸K.在.平Wi+q內作ER//KF交昌QTR*連緩RG,則所求截\^A^EHFKGRHi）通過GP丄DC得到一?個輔助平tii^GPA,它把正方體分割出一個點四棱柱衛目.JW而￡.G兩點分別也這牛直例棱柱梵標的兩條棱上，這就回到基本題型「主要是構鎚輔助卡血低所給的三點中的兩點分別在峯的共而的兩義棱上

【注】如果G在l;ifn4G內時、住平內作GP#B\C“輔助平itiiPOCB分割出直四凌柱-込PB-DDQCt乂回到卑本題型.在求得兩點后，易得截iliiERFKH若E在棱九占上.F.G分別住術經過孩丿耳的弗個麗（共棱的兩個而或柚對的兩個由”內,則作截而的步驟，仍是先作一個適當的輔助平而丫歸結為基本題塑若E在棱.馬上，FG分別在不經過核且4的兩個而（共棱的兩個止誠柏對的兩個面）內.則作截面的步驟.仍是先作一個適肖的輔助平面，歸結為基本題型左圖中的輔助平面溝￡0R齊相砲的直棱柱為^OB^APB右圖中的輔助半面為月QRJ?相向的直棱杜為易0GB-ARCBEFG［點分別任卍方體的三個面內，三個面分戈頂點的和不英頂點兩種情況

例m3：E任平內，內*G杞平面內.求過EFG的戢面飾’如圈，先作輔助'^ifiiRQPT?得到宜五棱柱A.ROCA-ATPCD.連接EF井延長型FQ的延長線子耐，11：EF分別枉正方體的棱11：EF分別枉正方體的棱B8,G上.G足正方沐的內部.求過EFG的截両例⑸EG分別杵孔方體ABCD-^Cfi,的內部和外他F程棱趙匕求過EFG三直的正方俸的截血能；過EG兩點分屈作EP和GD連蠱平陽AC*垂足為RD■作輔圖長方作輔助t^iAPQR空平額BC]1fSV?連接圧并延長瓷SF于交RS的延長IM連接交B/C/TH.連接井延任交￡〔；于2\爻嘔干「莊屮面&匚內》柞TN/fHG.連接NF.則網求仙師為四邊阪FZJW

【總結】；①若己知兩點在同一平面內，只要連接這兩點，就可以得到戴面與多面體的一個面的截線B若面上只有一個己知點，應設法在同一平面上再找出第二確定的點。若兩個己知點分別鋰相鄰的面上，應找出遠兩個平面的空線與截面的交點。若兩平行乎面中一個平面與截面有交線，另一個面上只有一個已知點，則按平行平面與第三平而根變，那么它們的交線互相平行的性質I可得截面與平面的交線。若有一點在面上而不在樓上，則可通過作輔助平面轉牝為棱上的點的問題；若已知點在體內.則可通過輔助平面像它轉優為面上的點，再轉化為棱上的點的問題來解決。二、截面的面積問題例16=圓錐的母線敵為八軸蔵血為的頂角9■求過此風錐的母線的截而而積解：設AFCZ)是過冏錐庫錢的斤F軸誠離的證慰戟麗，其頂^ACVD=a.軸截面啟的而積S=-f-sinGr載蘭VCD的面枳&=丄搟血◎2在和△FCD中.CD<ABt所以tzv0(1)當0咗&三蘭時，sin(z<sini?^5,<5t22}A.此時過圖錐母線的倉廊佃枳最大為軸截面而積S=-l2處110門〔2)當—7T時‘0<iZ<€?<T,此時加i&uj?SIU￡Z可以觀繃最犬值I此時過闘錐母線的載面面稅顯尺値為S=絲i】所述.過圖錐腎線的戴両［期積的最k值耳軸亞斬頂角臼的范闈有關軸霰而面積最兀最大值為￡=丄尸sinF22肖蘭v&v肚時*過岡錐母線的収聞曲積最人值為S=-l202例17：愎圓臺高為力，下底麗圓的半栓為R,軸載血等腰梯形的底角為臼求過此覷臺的母線的誠而面枳的最大俏解：如閹T延長母線4%與玉世相交丁?點F?VO=R\^e.VO產RZB—h、0]E]三(.Rtan5-A)xot<?=設過鬪臺的母線的任一截浙位UDDC(異丁啪嚴的*ZCVDm則儀<充一3rc=i7D=^—.cc[=DR=^—trc=m=—cos^sin^cos^siiiF軸鈿皿昭的啲積為S=R~tan&-(R-hcotRh-fi2tot&^[\\\CDL){C}的血戎為3上二：苗siii2^2sin2^^=-(衛一尸sin。一丄(―?)-sinqsiii2^2sin2^^2cos328“sill8itAVAB和厶VCDq>.a<^-23(1)BO<—時，—<T-2i?<t.所以Qvov寸TOC\o"1-5"\h\z20RbL2坊in。在(Oa)可取壽最大價1-此時他廊麗積的最大價為廠sin2^2sin(2)S——irf.<京一2&乞蘭?按<s>in(^-2B)=￡in20422：和h已放亍<sin2%--■---)=IRh^lrcoi￡?=5.即5<5siii2^2sin2e?綜上，過圜臺理線所冇薩祈屮.荘商枳的最大值與軸截曲尊腰梯呢的底佝同有黃TOC\o"1-5"\h\z—■jpkJ,2洋0垃0<—時'裁即血積的最人値為「4sin2^2snr^^-<&<-^t軸截而面積最從報対也—岸匚。"42

H為且僅為即E是ME的屮點時取導E此肘FGH也分別是BC.CD.DA的中點DRH為且僅為即E是ME的屮點時取導E此肘FGH也分別是BC.CD.DA的中點DR截時EFGH與對棱AC\BD都平『M與AB.BC.CD.DA交則E.FGE圧何處時”戰［inEFUEriiTWJc即肖EFGH分別為屮點時.MEFGH面積最大例18：.7：棱錐；_BCD解’^AC//K面EFGH、HAC的平兩且EQ交平^EFGH1EF.EFf/AC同理HG//AC,所反ZT"HG同理可證EH//FG.故EF&H是平行四創形且最大何積>i-AB.AC.s\n&<AC^jBD所成用為日或;r—3記乙FEH=8?由EFf/AC.EH^BD可知異岀1直線NC與ED所成角為0或SEN0話備=EF.EH.snid匸(JB..4C,sillff)r.uHs(zfB,JCsm!$).(—-JFDC由于三棱錐A-BCD是給宦的，則&是宦值「記竺二匕絲二卩.則⑴斗ABABEF〃ACnHBERs&址二里二生二gEF二vACACAB'^cjjjrEH//Sr)^AAEfr^/XASD^—=—^x^>EH=xAK.故BDAB制16如屮.卩赴線^AB制16如屮.卩赴線^AB匕廉近川的三專分點,S作嚴而PQR.宜錢段于試確運S的具律位用0足線段止DI:靠近D的二錚分點.尺堆線段8的申點,BTOC\o"1-5"\h\z』幣：設AB=b.AC=c.AD=d.^]PQ=R4^A0=--b十fd>IIH——?IMi0?=0D+DR=0D+—(M—Q}=—訐+—€"}=y———3—2由截面尸。應交線段ECrs.則尸匸尸j即「于?足直在唯一的實數入“■便得尸S二乂尸0+“3??HBS=^BCt^lPS=PB+BS=-b+^-^)=(^-x}b^xc33丄?所治^Z=|.//=|,r=|.于?i?=yic.所治所収S醫線段總「上的靠近也C的7L等分啟’【引理1；薦梯形的上下庭趟長分別是它的平疔于底的截馥與上下底的距離乏比為巴?)i且瞬長皿則/二業竺川十"證明：崔梯ABCDAD//BC.若AD=a.BC=b,EF"RC且分論摳切「"ZCW遼扔舲延長菊M,厝+過廠作GH"AB分別交円。陵AD的麵長線于H.G.則EF^BH^AG?且厶DGFs^cfH十”DGMFI—a?ttjmbtno所取二>=>/AKNCHFNb-1a用于廿

AKN例20：設棱臺的匕下底I麗漱分別為&茸，T?行丁-直血的斶Hi4也分高血?的比磐工，截而面積為％求證；盡Z罰H尹'nut+n證明2i±AWXV丄克B'T-N、與嗎爲査干MAMHH6inj口nf^B^irABr-mJF+hJ§5/yh’hn0jm'Q刑z證明:以止棱臺為制,5i-w<OSor若臺體的體積被平行底［fi的跡自t而下分股川；“-m\m\積気滿足右二——J??+H例21若臺休的側面積械平疔底面的戡面自上而下分成卬：心則議面面枳￡="證明:以止棱臺為制,5i-w<OSor若臺體的體積被平行底［fi的跡自t而下分股川；“-m\m\積気滿足右二——J??+H例俎過正方的對和線丘耳的戡腳廊積為￡匚和仏分別為丫的熾燈ft和址小（ft,求逹的值Wrmbi解：設撰鼻分別為朋-館的中點爵證截而凰曲”焜邊袪為總的菱形低方體棱崔設対ihit-cft］積九二羋而強血駁趾?駅距穢其【"瀕5辱二忑例也如圖.己林球0是棱長為丄的正方｛*ABCD-A^GIX的內圻球.則平而川血趾球0的戡而新積為?二個而的切點恰溝三邊的屮點,聃平而用「甜是邊長為運的山三仙形’且球與乩點D二個而的切點恰溝三邊的屮點,故刖求裁間的曲積込該圧三曲形的內切関的麗積，則由罔得*□內切鬪的半愫昆則所求的趙面B1的而積是7T.A3=y6三、戴倜的其他問遞則柱ini圈形g三、戴倜的其他問遞則柱ini圈形g可能起（）解：萼慮理球心的乎面征轉湎中?平藺在球的疳接正方1*匕截得的ftffiW能是大圓的內77二亠2班72-1接正方形，故選X例25i兩帶平行手底而的截哪將棱錐的側而積三等分.冊這兩平載面般椎的離獗成三段Z比（自上両下）為事少解；設自上而下分成的三段分別淘總花血，M（-^-十蛆

粥如圖，腫丄于H故么QP是的角；o飛據握小嗎定理.Z.ACB>Z.4CP,同理W礎「〉WU4Fa所LZ^CB+遜C>A4CP+Z.CAP=90°=>^L4BC<90"岡理可還zRCA.ZC47?都足鋭賂故ZM月「為銳曲一角胎T訓冷U0貯全駙聯界)己虹幣方A4RCD—人坷匚?的榜辰為1，燈頂點畀為球心，跡為半牡作一個球*求球內與匸方體的表囪和仝倩知倒的血機的長洌2&在梭長為1的正方怵肉*有兩球外切”并且又分別寫正方體內切當球的半輕為多少時，兩球的郝積之和最小？解：球休打正方體內切從衛方怵的對角面就取.如閹D2G.4占二^聊，卩育最卜值4盼廣⑺門」隔〔匸為過球心的對#J面…罔=1.A^\=\fl.AC\=D2G.4占二^聊，卩育最卜值4盼廣⑺門設兩球半住分別為R』.曲有且O嚴屈.C\Q產忑R」所咲R+廠+=舲二＞J?■+謨陶球的體枳Z和再e當口“)二-1忒R所咲R+廠+=舲二＞J?■+3(3-73)7J?er所口些J?3(3-73)7J?er所口些J?二士蘭4fr'l27：布岳方體脊一令公掛頂點P的三條陵上分別備取昴下P的點乩段U?鞘到一個截\^^ABC.求證：￡^ABC為銳建三劃陽解：川￡=學.40二1二＞/皿￡：二壬，同理孕衛尸=蘭二＞三￡腫二蘭366“6解：川￡=學.40二1二＞/皿￡：二壬，同理孕衛尸=蘭二＞三￡腫二蘭366“6訴賊為琴「存，的的弧如衆在卩[聞日竝「】耳上.交纜為FG.LA1為半徑為SG吟所忻的紀令川rPi卜h這樣的弧也有饒故卿疇扶處亍十嘗"M例卻：已知1球的半徑為2,相互垂直的兩傘平Wi分別黴球血曲兩個側.若兩阿的公共弦長TOC\o"1-5"\h\z為"則兩圓的園心即等亍()HYPERLINK\l"bookmark