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文檔簡介
2022年普通高等學校招生全國統一考試(北京卷)數學
題號一二三總分
得分
一、單項選擇題(本大題共10小題,共40.0分)
1.已知全集1/={x|—3<x<3},集合A={x|-2<xS1},則G/4=()
A.(-2,1]B.(—3,-2)U[1,3)
C.[-2,1)D.(-3,-2]U(1,3)
【答案】
D
【解析】
【分析】
本題考查集合的補集運算,屬于基礎題.
【解答】
解:易得CUA=(-3,-2]U(1,3).
2.若復數z滿足i?z=3-43則|z|=()
A.1B.5C.7D.25
【答案】
B
【解析】
【分析】
本題考查復數的基本運算,屬于基礎題.
【解答】
解:由條件可知z=二==-4—3i,所以|z|=5.
3.若直線2x+y—1=0是圓(x—a/+y2=1的一條對稱軸,則。=()
A-IB-C.1D.-1
【答案】
A
【解析】
【分析】
本題考查直線與圓的位置關系,屬于基礎題.
【解答】
解:若直線是圓的對稱軸,則直線過圓心,圓心坐標(a,0),所以由2a+0-1=0解
得a=3.
4.已知函數f(x)=3不,則對任意的實數x,有()
A./(-%)+/(%)=0B./(-x)-f(x)=0
C.f(-x)+f(x)=1D.f(-x)-/(%)
【答案】
C
【解析】
【分析】
本題考查了指數的運算
求出f(-x),通過運算,判斷選項即可
【解答】
解:由f(%)=,可得/(r)=/耳=言1,所以得/(-x)+/(x)=急=1.
5.己知函數/(x)=cos2%—sin2%,則()
A./(%)在(一方,一》上單調遞減B./(%)在(一9劫上單調遞增
C.在(05)上單調遞減D./(X)在勺上單調遞增
【答案】
C
【解析】
【分析】
本題考查判斷余弦型函數的單調性,二倍角的余弦公式,屬于基礎題.
【解答】
第2頁,共16頁
解:/(%)=cos2%—sin2%=cos2x
選項4中:2x6(一兀,一》,此時/(%)單調遞增,
選項B中:2x6(-p=),此時f(x)先遞增后遞減,
選項C中:2x€(0,g),此時/"(X)單調遞減,
選項D中:2x69),此時/(X)先遞減后遞增.
6.設{&J是公差不為。的無窮等差數列,則"{即}為遞增數列”是“存在正整數No,
當n>N0時,an>0"的()
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】
C
【解析】
【分析】
本題主要考查充分必要條件的判斷,屬于中檔題.
【解答】
解:①充分性證明:
若{anJ為遞增數列,則有對Vn6N*,an+1>an,公差d=an+1-an>0,
故數列中從某項開始后均為正數且數列遞增,則存在正整數No,當n>N。時,an>
0,
充分性成立;
②必要性證明:
若存在正整數No,當n>叫)時,an>0,
an=ai+(n-l)d,若d<0,則數列中從某項開始后均為負數,
此時無法滿足存在正整數No,當n>N。時,與>0,又d彳0,
若d>0,此時{an)為遞增數列,則存在正整數No,當n>No時,an>0,可
滿足條件,
所以“{冊}為遞增數列”是“存在正整數No,當n>No時,an>0"的充要條
件.
7.在北京冬奧會上,國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷制冰
技術,為實現綠色冬奧作出了貢獻,如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態與
7和IgP的關系,其中T表示溫度,單位是K;P表示壓強,單位是bar.下列結論中正
確的是()
B.當7=270,P=12804,二氧化碳處于氣態
C.當7=300,P=9987時,二氧化碳處于超臨界狀態
D.當7=360,P=729時,二氧化碳處于超臨界狀態
【答案】
D
【解析】
【分析】
本題考查對數運算的實際應用,函數圖象的應用,屬于中檔題.
【解答】
解:4選項:4>IgP=lgl026>3,T=220,由圖易知處于固態;
B選項:3>lgP=lgl28>2,7=270,由圖易知處于液態;
C選項:IgP=lg9987~3.999,T=300,由圖易知處于固態;
0選項:3>lgP=lg729>2,7=360,由圖易知處于超臨界狀態;
8.若(2x—1)4=a/4++%%+a。,則。0+。2+。4=()
A.40B.41C.-40D.-41
【答案】
B
【解析】
第4頁,共16頁
【分析】
本題考查二項式,取1和-1代入即可,屬于基礎題.
【解答】
解:當X=1時,1=.4+&3+a?+%+劭①;
—aa—aa
當X=—1時,81=a43+2l+0②;
(J)+(2),可得a。+。2+。4=41
9.已知正三棱錐P-ABC的6條棱長均為6,S是△4BC及其內部的點構成的集合,設
集合T={Q6S|PQS5},則T表示的區域的面積為()
A.芋B.nC.2兀D.3兀
4
【答案】
B
【解析】
【分析】
本題考查投影的相關知識,屬于基礎題.
【解答】
解:過點P作底面射影點。,則由題意,CO=2V3,PC=6;
PO=2顯,當C。上存在一點Q使得PQ=5,此時Q。=1,則動點Q在以
Q0為半徑,0為圓心的圓里,所以面積為TT
10.在4ABC^,AC=3,BC=4,zC=90。.P為44BC所在平面內的動點,且PC=1,
則萬?麗的取值范圍是()
A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]
【答案】
D
【解析】
【分析】
解:法一:建立如圖所示坐標系,
0066
由題易知,設C(0,0),4(3,0),5(0,4),VPC=1,:.設P(cos-sin),
[0,271)
PA■麗=(3—cos0,—sin0)"(―cos0,4—sin。)=-3cos6-4sin0+cos20+sin26
34
=1—5sin(0+9)(sin@=-,cos(p=-)G[—4,6]
法二:注意:〈而,CB>=\^-<CP,球>|,且Z7.而=0
PA
=(PC+CA)-(PC+CB)
=PC2+PC-C7+PCCB+C7CB
=PC2-CPCA-CP-CB+CA-CB
=1-3cos<CP>CA>—4cos<CP,CB>+0
=1-3cos<CP,CA>—4sin<CP>CA>
=1-5sin[<CP,CA>+cp]
其中,<pe(0,),tantp=|.
-4<PA-PB<6
【解答】
本題考查平面向量的數量積計算
法一:建立平面直角坐標系,利用數量積的坐標運算求解
法二:利用平面向量的線性運算與數量積運算進行求解
二、填空題(本大題共5小題,共25.0分)
第6頁,共16頁
11.函數f(x)=:+S=%的定義域是
【答案】
(-oo,0)U(0,1]
【解析】
【分析】
本題考查求函數的定義域,屬于基礎題.
【解答】
解:依題意°解得x6(―8,0)U(0,l].
12.已知雙曲線y2+5=l的漸近線方程為y=±fx,則巾=
【答案】
【解析】
【分析】
本題主要考查雙曲線的漸近線方程,屬于基礎題.
【解答】
解:雙曲線V+2=i的漸近線方程為y=±言,故加=一3.
13.若函數/⑶=Asinx—遍cosx的一個零點為g,則2="金)=
【答案】
1
-V2
【解析】
【分析】
本題考查輔助角公式,函數零點的概念,屬于基礎題.
【解答】
解:由題意知:/(-)=>4sin--V3cos-=—A——=0?解得A=1.
八3/3322
/(x)=sinx—V3cosx=2sin(x—,f(~)=2sin(^1—=2sin(—=—V2.
14.設函數〃久)={J:若/(x)存在最小值,貝b的一個取值為,a的
最大值為
【答案】
0(答案不唯一)
1
【解析】
【分析】
本題考查分段函數的取值問題,題目較難.
【解答】
解:由題意知,函數最值與函數單調性相關,故可考慮以0,2為分界點研究函數的
性質,
當a<0時,/(x)=-ax+1,x<a,該段的值域為(一8,-a2+l),故整個函
數沒有最小值;
當a=0時,/(x)=-ax+1,x<a該段的值域為{1},而f(x)=(x-2)2,
的值域為[0,+8),故此時/(x)的值域為[0,+8),即存在最小值為0,故
第一個空可填寫0;
當0<a42時,/(x)=-ax+1,x<a,該段的值域為(-a2+l,+8),而
/(X)=(x-2/,x>a的值域為[0,+8),若存在最小值,則需滿足-a?+1N0,
于是可得0<a41;
當a>2時,/(x)=-ax+1,x<a,該段的值域為(-a?+1,4-oo),而/(x)=
(%-2)2,x>a的值域為[(a-2)2,+OO),若存在最小值,則需滿足-a?+1》一
2產,此不等式無解。
綜上,a的取值范圍是[0,1],故a的最大值為1.
15.已知數列{%}的各項均為正數,其前n項的和又滿足a/Sn=9(n=1,2…).給出下
列四個結論:
①{七}的第2項小于3;②{an}為等比數列;
③{5}為遞減數列;④{。工中存在小于焉的項.
其有正確結論的序號為.
【答案】
第8頁,共16頁
①③④
【解析】
【分析】
本題考查數列的性質,屬于中檔題.
【解答】
解:n=1,可得於=9,又各項均為正,可得@1=3,令幾=2可得g(3+。2)=
9,可解得a2=%尹<3,故①正確;
當n22時,由%=■得$_1=/,于是可得斯=在一白,即上=上普,
aa
nn-l°n?n-iQn-i9
若{an}為等比數列,則n22時an+1=an,即從第二項起為常數,可檢驗n=3則
不成立,固②錯誤;
1
冊,S”=9(n=1,2…).可得an-Sn=an+1-Sn+1)于是誓=含<1,所以
un?n+l
an+1<an,于是③正確;
若所有項均大于焉,取經90000,則&2系,Sn>900,于是斯,Sn>9,
與已知矛盾,所以(4)正確。
三、解答題(本大題共6小題,共85.0分)
16.在△ABC中,sin2C=V3sinC.
⑴求NC;
(2)b=6,且44BC的面積為6次,求的周長.
【答案】
解:(l)sin2C=V3sinC>
2sinCcosC=V3sinC>
_yf3
coscr=—,
2
V0<C<7T
?3C=
6
⑵IS&ABC=6晅,
???-absinC=6V3,
2
a=4A/3
由余弦定理得c?=a2+b2-2abeosC
c=2痘,
所以△ABC的周長為6v5+6.
【解析】本題考查了解三角形與三角恒等變換
(1)利用二倍角正弦公式進行計算,根據三角形內角的取值范圍即可求解
(2)利用三角形面積公式與余弦定理解三角形,即可求得三角形周長
17.如圖,在三棱柱ABC-ABiG中,側面BCGBi為正方形,平面BCG/_L平面
力BBiAi,AB=BC=2,M,N分別為aBi,力C的中點.
(1)求證:MN〃平面BCGBi;
(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知,求直線AB與平面8MN
所成角的正弦值.
條件①:AB1MN-,
條件②:BM=MN.
注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個解答計分.
【答案】
解:(1)取BC中點D,連接BiD,DN,
在三棱柱ABC-人道心中,右8"/48,A1B1=AB.
因為M,N,。分別為&Bi,AC,BC的中點,
所以B】M〃4B,BiM=^AB,DN//AB,DN=^AB,
即且81M=DN,
所以四邊形BiMND為平行四邊形,因此BiD〃MN.
又MNC平面BCC1B1,當。u平面BCGBi,
第10頁,共16頁
所以MN〃平面BCGBi.
(2)選條件①:
因為側面BCCiBi為正方形,所以C81BB],
又因為平面BCG/_L平面ABB14,
且平面BCCiBin平面ZBBH=BBr,
所以CB1平面4BB1&,
而4Bu平面488出,所以CBJ.AB.
由(1)得BiD〃MN,又因為4B1MN,所以AB1B】D,
而BiDCCB=D,所以JL平面BCG&,
又BBiu平面BCGBi,故AB1
在三棱柱ABC-&B1C1中,BA,BC,8當兩兩垂直,
故分別以BC,BA,BB]為工軸,y軸,z軸,如圖建立空間直角坐標系,
因為4B=BC=BBi=2,則8(0,0,0),N(l,l,0),
M(0,l,2),71(0,2,0),
所以前=(1,1,0),詢=(0,1,2),AB=(0,-2,0)>
設平面BMN的法向量元=(x,y,z),
由前?元=0,而?元=0,得z=°j令x=2,
得元=(2,-2,1).
設直線4B與平面BMN所成角為。,
則sin。=|cos%畫|=崎=粵=|
所以直線AB與平面BMN所成角的正弦值為|.
選條件②:
因為側面BCCiBi為正方形,所以C81BB1,
又因為平面BCG/_L平面力BB14,
且平面BCC$in平面=BB],
所以CB1.平面488通1,
而4Bu平面所以CBJ.AB.
取4B中點H,連接HM,HN.
因為M,N,H分別為4/,AC,4B的中點,
所以為B〃MH,CB//NH,而CB1BB、,故NH1MH.
又因為4B=BC=2,所以NH=BH=1.
X
在△MHB,中,BM=NM,BH=NH,公共邊MH,
那么AMHB三△MHN,
因此NMHB=NMHN=90°,即MH1.48,LAB.
在三棱柱力BC-&B1C1中,BA,BC,BH1兩兩垂直,
故分別以BC,BA,BBi為x軸,y軸,z軸,如圖建立空間直角坐標系,
因為4B=BC=BBi=2,則B(0,0,0),N(l,l,0),M(0,l,2),4(0,2,0),
所以前=(1,1,0),麗=(0,1,2),AB=(0,-2,0).
設平面BMN的法向量元=(x,y,z),
由前?元=0,麗.元=0,得二°入令%=2,得元=(2,—2,1).
十/z一u,
設直線AB與平面BMN所成角為0,
則魴皿=|cos優函|=耦=裳*,
所以直線AB與平面BM尸所成角的正弦值為|.
【解析】本題考查線面平行的判定,直線與平面所成角的向量求法,屬于中檔題.
18.在校運動會上,只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽,比賽成績達到9.50m以上
(含9.50m)的同學將獲得優秀獎.為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主,收集了甲、
乙、丙以往的比賽成績,并整理得到如下數據(單位:m\.
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假設用頻率估計概率,且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率;
(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數,估計X的數學期
望EX:
(3)在校運動會鉛球比賽中,甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大?(結論不要
求證明)
【答案】
解:(1)由題意得:
設“甲在校運會鉛球比賽中獲優秀獎”為事件4
比賽成績達到9.50m以上獲優秀獎,甲的比賽成績達到9.50以上的有:9.80,9.70.9.55,
第12頁,共16頁
9.54四個.
所以,甲在校運會鉛球比賽中獲優秀獎的概率為P(4)=0.4
(2)X所有可能取值為0,1,2,3.
甲在校運會鉛球比賽中獲優秀獎的概率為P(4)=0.4.
乙在校運會鉛球比賽中獲優秀獎的概率為事件B,則P(B)=0.5.
丙在校運會鉛球比賽中獲優秀獎的概率為事件C,則P(C)=0.5.
P(X=0)=0.6x0.5x0.5=0.15,
P(X=1)=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.54-0.6x0.5x0.5=0.4,
P(X=2)=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.35,
R(X=3)=0.4x0.5x0,5=0.1,
EX=Ox0.154-1x0.4+2x0.35+3x0.1=1.4;
(3)丙獲得冠軍的概率估計值最大.
【解析】本題考查了相互獨立事件的概率乘法公式,離散型隨機變量期望的求解與應用,
屬于中檔題.
19.已知橢圓E:||+《=l(a>b>0)的一個頂點為4(0,1),焦距為2K.
(1)求橢圓E的方程:
(2)過點P(-2,l)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線力B,AC分別
與%軸交于點M,N.當|MN|=2時,求k的值.
【答案】
(b=1(a=2
2
解:(1)依題意可知:2c=2次,解得a=1,故橢圓E的方程為:-+y2=1;
a2=Z724-c2vc=V3
(2)由題可設直線方程為:y—1=k(x4-2),。(%2,乃),
(y-1=fc(x+2)
聯立直線和橢圓E方程:\22,,可得
gX+y2=i
(1+4/c2)x2+(16/c2+8k)x+16k2+16k=0,由/>0可得
(16fc2+8k8-4x(1+4/c2)(16k2+16k)>0,解得k<0,
根據韋達是理可得:與+次=必學,X/2=16k4羋
1乙l+4k211l+4k2
直線AB的斜率為心B=竽,4B的直線方程尚y=竽x+1,
X1X1
令y=0,可得點M的橫坐標=六",同理可得點N的橫坐標環=六".
,1一y11一為
則有|MN|=1^----^-1=I-2--------—I=\-(-^------^-)1
AJH11111K
l-y±l-y2l-kg+2)-fc(x2+2)kx2+2右+2〃
_|1.%2(%1+2)-%式%2+2)|_|12(0一巧)|_2
+4
\kX1X2+2(X1+X2)+4Ik'x1x2+2(xi+x2)
gljl----依---I=1
1
k%I%2+2(%I+%2)+4
I-----------------I-(16H+8fc)216k2+16/cV-64fc
???l(M—與)1=J(X1+X2)2-4X62=J(1+4fc2)-4?1Ma
1+4fc2
16k2+16k-161-8k4
.2+2(X】+X2)+4=Mg+2(1+領2)+4=中F
11—
/.\MN\=|-2V-k|=1
K
即|旦|=L兩邊平方則有U=;,解解k=-4.
1k12fc4
故k的值為-4.
【解析】本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系,屬于綜合題.
20.已知函數f(x)=e4n(l+x).
(1)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程;
(2)設g(x)=f'(x),討論函數g(x)在[0,+8)上的單調性;
(3)證明:對任意的s,te(0,+oo),有f(s+t)>f(s)+/(t).
【答案】
解:(1)由題,f'(x)=ex-ln(l+x)+ex-=ex(ln(l+x)+
故/''(0)=e°(ln(l+0)+系)=1,/(0)=e°ln(l+0)=0,
所以曲線y=f(x)在(0,/(0))處的切線方程為y=x;
(2)由(1)知,g(x)=e*(ln(l+x)+士),x6[0,+<?),
則g'(x)=ez(ln(l+%)+后一^7),
設/i(x)=ln(l+x)+g-^^7,xe[0,+8),
第14頁,共16頁
則照)=士-卷+號=合>。
故似乃在[0,+8)上遞增,
故僅%)>九(0)=1>0,
因此g'(x)>0對任意%6[0,+8)恒成立,
故9(久)在[0,+8)上單調遞增;
(3)設m(s)=f(s+t)-/(s)—f(t)=es+tln(l+s+t)—esln(l+s)—efln(l+t),
則加(s)=es+t(ln(l+s+t)+—es(ln(l+s)+£)=g(s+t)-g(s),
由(2),g(x)在[0,+8)上單調遞增,
故s>0,t>0時,m'(s)=g(s+t)-g(s)>g(t)-g(0)>g(0)-g(0)=0,
因此,m(s)在(0,+8)上遞增,
故m(s)>m(0)=f(0+t)~f(0)-/(t)=-f(0)=0,
因此,對任意的S,t6(0,4-00),有f(s+t)>f(s)+f(t).
【解析】本題將指對函數以乘法的方式聯系到一起,構思新穎。第(H)問判斷導函數符
號可以求二階導,
也可以直接放縮處理;第(HI)問借助(II)的結論可以快速得到結果.
21.已知Q:%,a?,…,以為有窮整數數列.給定正整數小,若對任意的ne{1,2,…,小},
在Q中存在%,%+1,%+2,…,四+/(720),使得為+&+i+%+2+…+%+j=n,
則稱Q為巾-連續可表數列.
(1)判斷Q:2,1,4是否為5-連續可表數列?是否為6-連續可表數列?說明理由;
(2)若Q:a「a2,以為8-連續可表數列,求證:k的最小值為4;
(3)若Q:alta2…,縱為20-連續可表數列,且
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