第二篇經典專題突破?核心素養提升專題二數列第2講數列求和及其綜合應用數列求和常與數列的綜合應用一起考查，常以解答題的形式出現，有時與函數、不等式綜合在一起考查，難度中等偏上．考情分析自主先熱身真題定乾坤核心拔頭籌考點巧突破專題勇過關能力巧提升自主先熱身真題定乾坤1．(2022·全國乙卷)記Sn為等差數列{an}的前n項和．若2S3＝3S2＋6，則公差d＝____．【解析】

由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化簡得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.故答案為2.真題熱身2

2．(2020·全國Ⅰ卷)數列{an}滿足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16項和為540，則a1＝____．【解析】

an＋2＋(－1)nan＝3n－1，當n為奇數時，an＋2＝an＋3n－1；當n為偶數時，an＋2＋an＝3n－1.設數列{an}的前n項和為Sn，7

S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16＝a1＋a3＋a5＋…＋a15＋(a2＋a4)＋…＋(a14＋a16)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋(5＋17＋29＋41)＝8a1＋392＋92＝8a1＋484＝540.∴a1＝7.故答案為7.3．(2022·全國新高考Ⅱ卷)已知{an}為等差數列，{bn}是公比為2的等比數列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)證明：a1＝b1；(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素個數．1．高考主要考查兩種基本數列(等差數列、等比數列)、兩種數列求和方法(裂項求和法、錯位相減法)、兩類綜合(與函數綜合、與不等式綜合)，主要突出數學思想的應用．2．若以解答題形式考查，數列往往與解三角形在17題的位置上交替考查，試題難度中等；若以客觀題考查，難度中等的題目較多，但有時也出現在第12題或16題位置上，難度偏大，復習時應引起關注．感悟高考核心拔頭籌考點巧突破1．裂項相消法就是把數列的每一項分解，使得相加后項與項之間能夠相互抵消，但在抵消的過程中，有的是依次項抵消，有的是間隔項抵消．常見的裂項方式有：考點一數列求和2．如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，那么求數列{an·bn}的前n項和Sn時，可采用錯位相減法．用錯位相減法求和時，應注意：(1)等比數列的公比為負數的情形；(2)在寫出“Sn”和“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便準確寫出“Sn－qSn”的表達式．考向1分組轉化法求和

已知在等比數列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差數列．(1)求數列{an}的通項公式；典例1【解析】(1)設等比數列{an}的公比為q，由a1，a2，a3－2成等差數列，得2a2＝a1＋a3－2，即4q＝2＋2q2－2，解得q＝2(q＝0舍去)，則an＝a1qn-1＝2n，n∈N*.典例2典例3(2)∵cn＝b2n－1·b2n＝2n×22n＝2n·4n，∴Sn＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n·4n，4Sn＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n－1)·4n＋2n·4n+1，兩式相減得，－3Sn＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n－2n×4n+1【素養提升】(1)分組轉化法求和的關鍵是將數列通項轉化為若干個可求和的數列通項的和差．(2)裂項相消法的基本思路是將通項拆分，可以產生相互抵消的項．(3)錯位相減法求和，主要用于求{anbn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別為等差數列和等比數列．C

C

【解析】(1)當n為奇數時，n＋1為偶數，則an＝n2－(n＋1)2＝－2n－1，所以a1＋a3＋a5＋a7＝－(3＋7＋11＋15)＝－36.當n為偶數時，n＋1為奇數，則an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，則a2＋a4＋a6＋a8＝5＋9＋13＋17＝44.所以a1＋a2＋a3＋…＋a8＝－36＋44＝8，故選C.數列與函數、不等式的綜合問題是高考命題的一個方向，此類問題突破的關鍵在于通過函數關系尋找數列的遞推關系，通過放縮進行等式的證明．考點二數列的綜合問題 (1)(2022·日照模擬)如圖，在直角坐標系xOy中，一個質點從A(a1，a2)出發沿圖中路線依次經過B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此規律一直運動下去，則a2017＋a2018＋a2019＋a2020等于

(

)A．2017

B．2018C．2019

D．2020C

典例4【解析】由直角坐標系可知，A(1，1)，B(－1，2)，C(2，3)，D(－2，4)，E(3，5)，F(－3，6)，即a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…，由此可知，數列中偶數項是從1開始逐漸遞增的，且都等于其項數除以2；每四個數中有一個負數，且為每組的第三個數，每組的第一個數為其組數，每組的第一個數和第三個數是互為相反數，因為2020÷4＝505，所以a2017＝505，a2018＝1009，a2019＝－505，a2020＝1010，a2017＋a2018＋a2019＋a2020＝2019.D

【易錯提醒】(1)公式an＝Sn－Sn－1適用于所有數列，但易忽略n≥2這個前提．(2)數列和不等式的綜合問題，要注意條件n∈N*，求最值要注意等號成立的條件，放縮不等式要適度．2．(1)設曲線y＝2020xn+1(n∈N*)在點(1，2020)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，令an＝log2020xn，則a1＋a2＋…＋a2019的值為 (

)A．2020

B．2019

C．1

D．－1D

(2)(2021·安徽黃山模擬)在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數列，這樣的操作叫作該數列的一次“擴展”．將數列1，2進行“擴展”，第一次得到數列1，