2022-2023學年江蘇省南通市如皋市高二上學期期末數學試題

一、單選題

1.已知平面。的一個法向量々=3°"）,平面尸的一個法向量〃2=（2，1，6）,若則

'=（）

9

A.2B.4C.-1D.1

【答案】C

【分析】根據題意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，結合空間向量的坐標運算，代入計算即可

得到結果.

【詳解】因為a，夕，則可得々,々，

且“1=（3,0,2）,々=（21,6）,

則可得6+62=0,解得2=-1

故選:C

2.若直角三角形三條邊長組成公差為2的等差數列，則該直角三角形外接圓的半徑是（）

515

A.2B.3C.5D.2

【答案】C

【分析】根據題意，設中間的邊為。，由等差數列的定義，結合勾股定理即可得到。的值，從而得

到結果.

【詳解】由題意設中間的邊為“，則三邊依次為”-2,a,a+2

由勾股定理可得（"+2）.=（a-2）-+/,解得a=8或。=。（舍）

12=5

即斜邊為“+2=10,所以外接圓的半徑為2

故選:C

c.￡._r=1,

3.已知P為雙曲線，33與拋物線V=2x的交點，則p點的橫坐標為（）

A.3B.2C.nD.-1

【答案】A

【分析】根據給定條件，聯立方程組并求解判斷作答.

y2=2x[x=3

2

【詳解】依題意，2x=y>0j則由解得[y=±指,

所以P點的橫坐標為3.

故選：A

4.若直線3x+4y+m=°與圓/+/-2》=0相切，則實數〃?取值的集合為（）

A.{T1}B.{-91}C.{1}D.&&2}

【答案】B

【分析】根據題意，由直線與圓相切可得”=J結合點到直線的距離公式，代入計算，即可得到

結果.

【詳解】由圓*+V—2y=°可得x、（y-l）2=l,表示圓心為（°』），半徑為1的圓,

則圓心到直線3x+”+〃?=0的距離

因為直線3X+W+加=°與圓￥+丁-2》=0相切，

|4+^|

所以】="，即正+不,解得機=1或機=-9,

即實數機取值的集合為{一91}

故選:B

5.己知數列{"”}首項為2,且0”+「“"=2'川，則%=（）

A.2"B.2-'+1C.2"-2D.2,,+,-2

【答案】D

【分析】由已知的遞推公式，利用累加法可求數列通項.

【詳解】由已知得“同一%=2'1,4=2,則當〃22時，有

an-at=)+(??-1-a?-2)+…+(%—《)=2"+2"一+---+22

a=2"+2B-'+--+22+a.=2"+2"-1+--+22+2=2^-2^=2"+1-2

〃'1-2

經檢驗當〃=1時也符合該式.二""=2'1

故選：D

6.如圖，在直三棱柱中，CA=CB,P為48的中點，。為棱CG的中點，則下列結

論不正確的是（）

A.PQ14BB."http://平面4'°

c.PQLcqD,尸。〃平面/8C

【答案】B

【分析】A選項可以利用三線合一證明垂直關系，

B選項可利用“線面平行時，直線無論怎么平移不會和平面相交”的性質來判斷.

C選項先通過類似A選項的證明得到線線垂直，結合AC的結論得到線面垂直后判斷，

D選項可以構造平行四邊形，結合線面平行的判定證明，

【詳解】不妨設棱柱的高為2〃，4C=CB=X.

B選項，根據棱柱性質，4G//ZC,而4GC平面,田2=4,若zc〃平面"田。，無論怎樣平移

直線ZC,都不會和平面“田。只有一個交點，于是得到矛盾，故B選項錯誤；

A選項，計算可得，Q4=QB=G+h，,又尸為48的中點，故尸°，48（三線合一），A選項

正確；

C選項，連接°片,。4"片，根據平行四邊形性質，,用過p,計算可得，Q4=QBi=Jx2+h1又

P為典的中點，故尸。,明（三線合一），結合A選項，P。：力，物fl48=P,

平面,8旦4,故尸01平面48四4,由初u平面,故PQJ.AA、,棱柱的側棱

"4//CG,故PQLCC,c選項正確；

D選項，取力8中點E,連接尸瓦以，結合尸為48的中點可知，尸后為△“84中位線，故總〃

PE=_

"4,且2即PE//CQ,且PE=C0,故四邊形尸EC。為平行四邊形，故P0//CE,由

P0U平面NBC,C￡u平面/8C,故尸0〃平面/8C,D選項正確.

故選：B

7.在數列｛0』中,若存在不小于2的正整數人使得為<%T且做<4句，則稱數列何｝為數列”.

下列數列中為“％-數列''的是（）

A.",=〃B.b"=2"

L9,1

bn=〃H■—bn-----

C.nD.2/2-3

【答案】C

【分析】利用數列''定義逐項判斷可得答案.

【詳解】對于A,b"=n,%="+1,加-〃=〃+1一〃=1>°,數列也｝是單調遞增數列，

所以數列何｝不是，，心數列，，，故A錯誤；

+,

對于B,〃=2",加=2向，b?+l-b?=2"-2"=2">0）數列也｝是單調遞增數列，

所以數列也｝不是，，人數列,，，故B錯誤;

對于c,對于函數小令…勺小）一/（?（…）甯

（西*）】也所以/G）>/G）,

因為玉>%>3,所以玉一工2>°，西工2>9,

/（x）在XG（3,+8）上為單調遞增函數,

0<r<丫<3/（王）一/（々）=（&一》2）空心

&F)*<。，所以/6)</(%),/(x)在

因為0<々<再<3,所以再一々>0,0<再々<9

X*@3）上為單調遞減函數,

b—n-\—???>

所以對于“，當24〃43時，有“<%,當〃23時，有勾<%,存在左=3使得數列

也｝是，，左一數列，,，故C正確；

對于D,"=7,〃22時，因為｛2〃-3｝的單調遞增數列，｛z”一?｝是單調遞減數列，所以不存在

不小于2的正整數出使得知<4-且％<處“，所以數列｛4｝不是“％-數列”，故D錯誤.

故選：C.

u2=3

8.已知°為坐標原點，A點坐標為（2，°）,戶是拋物線一萬”在第一象限內圖象上一點，

用是線段力尸的中點，則OM斜率的取值范圍是（）

A.MB.區+8）

C.I四2」D.1［。與」

【答案】A

【分析】設尸（2兒）‘）&>°）,可得2（v+i）,再利用基本不等式可得答案

【詳解】設P"以"。），所以+弓），

y

k=5=2—1<1

--/+r2（/+i）-2rn-4

所以（功，

i

y=—

當且僅當y即y=i時等號成立，

（o，!

則OM斜率的取值范圍是l4」.

故選：A.

二、多選題

9.己知正四面體的棱長均為1,分別以四個頂點中的兩個點作為向量的起點與終點，在這些向量

中兩兩的數量積可能是（）

1

A.0B.2C.2D.百

【答案】AB

【分析】由］叼刎取施夕田二3,仙1工排除口口：取￡=苑片及，求出

-71

——―■-?CItD——

ab=O.取"=/￡>,b=/C,求出2.即可判斷A、B.

【詳解】在正四面體/8C。中，棱長均為1.

任意以四個頂點中的兩個點作為向量的起點與終點，得到的向量的模長為1.

任取兩個向量則忖咽一

所以"叩麗xcos（詞=8S（詞€卜1,1］故c、D錯誤；

取1通,片前設8c中點為E,連接“瓦小

因為45co為正四面體，所以“￡,8C,Z>EJ.8C

因為=面NOE,DEu面ADE,

所以8cl面43E.

因為/Ou面40E,所以8C：。，所以《石）=90°

所以〉7c咋％39。。=。故人正確；

^a=AD,b=ACf則（哂=6。。

a-h=cos=cos60°=—

所以''2.故B正確.

故選：AB

r22,

C：—r+yvr=1（々>b>o）JL廳"

10.已知橢圓。b的離心率為2,左，右焦點分別為片，鳥，尸為橢圓上一點

（異于左，右頂點），且△尸石工的周長為6,則下列結論正確的是（）

A.橢圓0的焦距為1B.橢圓°的短軸長為2百

C.△咫用面積的最大值為百D.橢圓C上存在點尸，使得/耳Pa=90

【答案】BC

【分析】根據"5,2a+2c=6解得。上。可判斷人8；設"（X。，％）,由同呻=5⑶用閭知當

尸點為橢圓的上頂點或下頂點時面積最大，求出面積的最大值可判斷C;假設橢圓c上存在點尸，

設仍同=同尸用=",求出力+〃、mn,機，〃可看作方程-—4X+6=0,求出判別式△可判斷D.

_C_1

［詳解］由已知得e_q_］,2a+2c=6,解得”=2,C=1,b2=a2-c2=3,

對于A,橢圓C的焦距為2c=2,故A錯誤；

對于B,橢圓C的短軸長為助=26，故B正確；

對于C,設尸（x。，％）,或ML/聞閭-c閭，當P點為橢圓的上頂點或下頂點時面積的最大，

此時仄1="=內，所以△出工面積的最大值為6,故C正確；

對于D,假設橢圓C上存在點P,使得夕世=90。，設附|=見|%=",

所以"?+〃=2。=4,〃/+，/=16-2機〃=4c，=4,mn=6,

所以也”是方程/-4X+6=0,其判別式△=16-24<0,所以方程無解，故假設不成立，故D錯

誤.

故選：BC.

11.在棱長為2的正方體中，下列結論正確的是（）

A.異面直線14與8所成角的為45'

B.異面直線"4與"G所成角的為45.

且

C.直線"G與平面"844所成角的正弦值為3

D.二面角的大小為45。

【答案】ACD

【分析】利用異面直線所成角的定義可判斷AB選項；利用線面角的定義可判斷C選項；利用二面

角的定義可判斷D選項.

【詳解】如下圖所示：

對于A選項，則'片與c。所成的角為人對：

對于B選項，,?F8//44,所以，"G與44所成角為/歷1￡或其補角，

因為/§=2,BC、=6BC=2及，AC1=&B=2仆,AB2+BCf=AC'

tanNBAC、=

則N518G,所以，AB，故N8"G*45,B錯；

對于c選項，,?WCJ平面'4印巴故直線"G與平面片4所成角為乙8/￡,

.Ar,_B￡_百

sinN8|AG==—

???/Biu平面44￡B,則8|GJ.Z4,所以，AC,3,

皂

因此，直線"G與平面"844所成角的正弦值為3,C對；

對于D選項，?.?力。_1平面。4〃。，CD、G〃u平面CCQQ,則4）J_C￡>,WCQ,

所以，二面角G-/O-8的平面角為/CDG=45。，口對.

故選：ACD.

12.已知數列｛“”｝的前〃項和S”=〃;數列也｝是首項和公比均為2的等比數列，將數列5｝和

也"｝中的項按照從小到大的順序排列構成新的數列｛&｝,則下列結論正確的是（）

A.%=16B.數列匕｝中〃與“+1之間共有2”1項

C.&=%D.4=Cf

【答案】AB

【分析】根據題意可得：數列｛""｝是以1為首項，2為公差的等差數列，則%=2〃-1,〃,=2”,然

后根據數列的性質逐項判斷即可求解.

【詳解】由題意可知：數列"J的前”項和s，=/，當〃=1時，《=5=1；

當〃22時，q,=S「S“T=2"-l；經檢驗，當〃=1時也滿足，所以勺=2〃-1；

又因為數列也J是首項和公比均為2的等比數列，所以"=2"

則數列匕｝為：1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23,…，

所以q=16,故選項A正確；

數列是由連續奇數組成的數列，“抱山都是偶數，所以"，與〃山之間包含的奇數個數為

2-,故選項B正確：

因為2=2",則a”=22"為偶數，但旬=2x2"-1=2e-1為奇數，所以聞產知,故選項C錯誤；

因為2=2”,前面相鄰的一個奇數為2"-1,令4=2"-1=2”1,解得：k=2"-',

所以數列｛%｝從1到2"共有2""+〃，也即=2”=牝故選項D錯誤，

故選：AB

三、填空題

13.已知等差數列｛"/前3項的和為6,前6項的和為21,則其前12項的和為.

【答案】78

【分析】先求得等差數列"J的首項和公差，然后求得前12項和.

【詳解】設等差數列的公差為〃，

J3a(+3d=6

則16q+15"=21,解得q=〃=i,

所以前12項的和為12%+66d=78

故答案為：78

14.以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共朝雙曲線.已知雙曲線

C的共軻雙曲線的離心率為3,則雙曲線C的離心率為.

3」

【答案】丁

【分析】不妨設雙曲線C的實軸長為2a,虛軸長為加，焦距為2c,根據雙曲線的離心率公式可得

出6=2&a,進而可求得雙曲線C的共貌雙曲線的離心率.

=3

【詳解】不妨設雙曲線C的實軸長為2a,虛軸長為2b,焦距為2c,則4,可得

h=2>l2a,

所以，雙曲線C的共軌雙曲線的實軸長為處，虛軸長為2“，焦距為2J/+b2=2c

C_

因此，雙曲線c的共軌雙曲線的離心率為石

逑

故答案為：4

15.已知軸截面為正三角形的圓錐頂點與底面均在一個球面上，則該圓錐與球的體積之比為.

9

【答案】32##0.28125

【分析】根據圓錐、球的體積公式求得正確答案.

【詳解】畫出軸截面如下圖所示，

圓錐的軸截面為正三角形/8C,

設球心為0,圓錐底面圓心為°、球的半徑為R,

R+—R=—R----R

則圓錐的高為22,底面半徑為2

所以圓錐與球的體積之比為［LF

9

故答案為：32

四、雙空題

16.擺線是一類重要的曲線，許多機器零件的輪廓線都是擺線，擺線的實用價值與橢圓、拋物線相

比毫不遜色.擺線是研究一個動圓在一條曲線（基線）上滾動時，動圓上一點的軌跡.由于采用不同

類型的曲線作為基線，產生了擺線族的大家庭.當基線是圓且動圓內切于定圓作無滑動的滾動時，

切點尸運動的軌跡就得到內擺線.己知基線圓。的方程為丁+)'=*點＞°),半徑為i的動圓加內

切于定圓°作無滑動的滾動，切點P的初始位置為(“'°).若R=4,則忸的最小值為；若

R=2,且已知線段加尸的中點N的軌跡為橢圓，則該橢圓的方程為.

至”T1I

【答案】244

【分析】根據圓、擺線、橢圓的知識求得正確答案.

【詳解】當夫=4時，1叫的最小值為R-2xl=4-2=2.

自。)

當R=2時，N初始位置為12人

-x27tx2=7t

圓°的四分之一弧長為4,

1x2兀xl=n

圓〃的半周長為2,

所以N的軌跡過點I2),

所以22,橢圓焦點在x軸上，

'『-I

所以橢圓方程為44.

五、解答題

17.如圖，4是三棱錐P_/8C的高，線段8c的中點為且上ZC,AB=AC=PA=2_

（1）證明：8c/平面P/M；

（2）求A到平面尸8c的距離.

【答案】（1）證明見解析

26

⑵3.

【分析】（1）根據己知條件證明PA1BC,由直線與平面垂直的判定定理即可證明.

（2）法一:在平面中，過A點作4"，尸拉，證明AH_L平面P8C,再求值即可：法二：

A到平面P8C的距離，是三棱錐”一尸8（7的高，利用等體積法求解.

【詳解】（1）因為/8=/C,線段8c的中點為"，所以8dM.

因為尸/是三棱錐尸-N8C的高，所以平面N8C,

因為8Cu平面48C,所以尸Z_L8c.

因為P/u平面P/M,4Wu平面尸4W,P4r14M=4,所以8C1平面尸/M

（2）法一：（綜合法）

在平面尸/M中，過A點作如圖所示，

因為8c1平面平面尸/M,所以

因為N，_LPA/,8Cu平面P8C,/Wu平面P8C,PMCBC=M,所以AH_L平面P8C

AM=-BC=—VAB24-AC2=-x14+4=y/2

在RME4C中,222

所以在中，PM=vPA2+AM2=J4+2=V6,

/“="”=￥=亞巫

所以PMJ63,所以A到平面P8C的距離為3.

法二：（等體積法）

…AM=-BC=-yjAB2+AC2=-xV4+4=>/2

設A到平面P8C的距離為d,則在RM瓦IC中，222

在Rt^PAM中，PM=y]PA2+AM2=44+2=近

V-1SxP/4=-xlx2x2x2=-

因為P/是三棱錐產一Z8C的高，所以…3"323,

,2百

^P-ABC=^A-PBC=1S4PBe=TXTX2>/2X-76X(/=—a=---

3323,解得3

2/

所以A到平面P8C的距離為3.

18.己知等比數列&｝的首項為2,前〃項和為S",且2s「3邑+S’=。.

⑴求“"；

⑵己知數列也｝滿足：4=叫,求數列也，｝的前〃項和9.

【答案】（1產=’

⑵7＞（〃一1）2"+2

【分析】（1）根據題意，由2s2-353+$4=°可得公比《,再由等比數列的通項公式即可得到結果;

（2）根據題意，由錯位相減法即可求得結果.

【詳解】（1）設等比數列"J的公比為q,

因為2S?-3$3+S4=0,所以2（$2_$3）+$4_$3=0,

所以％=2%,所以g=2,所以a“=a0i=2".

⑵由⑴得，b“=nx2",所以[=1x2+2x22+…+〃x2".....①

所以27；=1X22+2X23+~+（”-1）X2"+〃X2"+[②

2x（l-2"）

-T=2+22+-+2n-nx2"^'=———^-nx2,,+l=（1-n）x2n+l-2

①-②，得1-2

所以7>(〃-1)”+2

22

C：—-^-=l(a>0,Z>>0)x=-1

19.己知雙曲線?b的實軸長為2,右焦點尸到2的距離為2.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若直線N=X7與雙曲線C交于"，N兩點,求AMN尸的面積.

/-1

【答案】⑴3

3

⑵5

x=—

【分析】(1)由雙曲線實軸長為2可得。=1,再利用右焦點尸到2的距離為2可得c=2,即可

求得雙曲線C的方程；

(2)聯立直線和雙曲線方程容易解出〃，％兩點坐標即可求得AMA下的面積

【詳解】(1)設雙曲線C的焦距為2c(c>°),

因為雙曲線C的實軸長為2,所以2。=2,解得。=1.

3,31

X=-_c—=一

因為右焦點尸到.2的距離為萬，所以22,解得c=l或。=2.

因為c>a,所以C=2.可得b-2=47=3,

「/上=1

所以雙曲線C的方程為3.

(2)設MG，"),NGZ,%),

[;二

聯立直線和雙曲線H一丁一可得#-(X-1)2-3=O,

gpx2+x—2=0,x=l或x=-2

不妨設七=-2,所以乂=0,%=-3

=；|皿X|切=X1%|=；X1X3=1

所以2222.

3

即"/N5的面積為5

20.已知數列"J的首項為1,前〃項和為S",且滿足.

2M

①。2=2,%+2??=.②2，=(〃+1)勺；③〃S”=("+2)5,

從上述三個條件中選一個填在橫線上，并解決以下問題:

⑴求“叮

(2)求數列的前〃項和％

【答案】⑴%="

【分析】(1)當選①時，分〃為奇數，偶數時，分別計算即可得到結果；當選②時，根據S”與

%的關系，即可得到結果；當選③時，根據條件得到+是常數數列，從而得到結果；

(2)根據題意，由裂項相消法即可得到結果.

【詳解】(1)選①

,n-\

_a”=+2x----=n

因為.2-《,=o2,所以當〃為奇數時，2.

r〃一2

Q'=。)+2x---=n

同理，當〃為偶數時，'2.

所以

選②

因為2S”=(〃+l)a,，(*)所以當時，2sl=〃*,(**)

(*).(**),得("1"，，="%,即"n-\,

所以數列inJ是首項為i的常數列，

所以見=〃.

選③

s,.\S,]S,]1

因為咯“=(〃+2應，所以(〃+2)(〃+1)(〃+1)〃，所以數列+是首項為5的常數歹IJ,

S=3巴〃=S_S產也旦創嘰〃

所以"2,所以當"22時，""22

當〃=1時，也符合上式.所以

11=1（11]

⑵由（1）得，“"+2〃（〃+2）2（〃"+2人

21.三棱柱Z8C-44cl中，4B=4B]=44=AC=2,/A4c=120°,線段,圈的中點為“，且

BC1AM

⑴求證：工平面/8C；

2

八B.P=-B,C.

（2）點戶在線段4G上，且3求二面角P-與"-4的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

3萬

⑵13

【分析】（1）由8dM根據線面垂直的判定定理可得“A/1平面力8C；

（2）以A為原點，以4N、AC所在的直線為x、》z建立空間直角坐標系，求出平面8/4、

平面PR"的一個法向量由二面角的向量求法可得答案.

【詳解】⑴三棱柱"8C-48c中，,

在△?44中，破=四,線段/蜴的中點為“，所以4瑪1//，所以

因為BCu平面為8C,/8u平面48C,4BcBC=B,AB、8Cu平面/8C,所以

AM上平面48C；

（2）救4NLAC交BC于N懸,

以A為原點，以NN、AC所在的直線為x、xz建立空間直角坐標系，

則“（0,0,0）,2儂,-1,。），（2,

€（0,2,0）,M（0,0,y/3）

1冷

AB1=[T，-2，V3j而=2,3,0)而=(0,0,百)

所以

____2___2__等。

印F甌=*=P

人所以

因為

AP=-小

所以

‘晨福=等再一；必+百4=0

設平面8/4的一個法向量％=(.加4),則n,?AM=yfiz、=0

解得4=。，令乂=百，則再=1,所以％=G①°),

_V3W+g為+岳2=0

n-AP=

26

設平面P8/的一個法向量〃2=(%,%,Z?),則,4B1=彳々-5力+=0

令%=百，則％=3,Z2=!所以〃2=0，石，T),

設二面角尸-4"一4的平面角為"(°W180"),則

63g

cos0=cos/n,,%'="%=

聞時2xV1313

由圖知二面角尸一8/-4的平面角為銳角,

3V13

所以二面角尸一8/-4的平面角的余弦值為13.

〉6>0)