專題4.1指數

一、考情分析

二、考點梳理

考點一根式

（1）概念：式子名叫做根式，其中"叫做根指數，。叫做被開方數.

（2）性質：（%）"=a（4使/有意義）；當〃為奇數時，yja''=a,當"為偶數時，礪=|a|=

a,d>0,

—〃，a<0.

考點二分數指數累

m.—

（1）規定：正數的正分數指數幕的意義是"=n，序3>0，%〃￡N*,且〃>1）；

in1

（2）正數的負分數指數哥的意義是。二=」-3>0,如”GN*,且”>1）；0的正分數指數基

忻

等于0:0的負分數指數辱沒有意義.

考點三指數幕的運算性質

（2）有理指數基的運算性質：ara'=ar+s；（"7=/（"）'=a,算,其中a>0,b>0,r,sGQ.

三、題型突破

（一）根式化簡

例1、（1）、（2019?江蘇?南通一中高一月考）計算的結果為（)

A56

-JB?小C.小D.

【答案】C

【分析】

利用同底數塞運算法則完成計算.

【詳解】

a0

因為瓦方

a1-a3a6

故選C

【點睛】

本題考查同底數幕的計算，難度較易,一般有：,r+s，%r-s

（2）.（2021?上海高一專題練習）若則化簡.々Lip的結果是

()

A.J4a-1B.Vl-4aC.->/4a-lD.—A/1—4a

【答案】B

【分析】

由題知44-1<0,進而根據指數幕化簡即可.

【詳解】

因為所以44一1<0,所以=J1-4”.

故選:B.

【變式訓練1-11?（2021?上海高一專題練習）下列各式中成立的一項（）

A.[￡|、儲/

B.行7=4

C.(V+V=(x+y尸D.廊=%

【答案】D

【分析】

利用指數幕的運算性質、根式與分數指數幕的互化可判斷各選項的正誤.

【詳解】

對于A選項,閆=(〃,加,A選項錯誤;

對于B選項,、（_3）4=1療=3反=33=次4經，B選項錯誤;

33

對于C選項,(x+y戶=y(x+?+\]x+y>C選項錯誤;

二m1

對于D選項,p=3$=3三=正，D選項正確.

故選：D.

【變式訓練1-21.（2020?浙江杭州?高一期末）根式心上（式中。＞0）的分數指數基形式

為（）

344

A.Q4

B.a4C.戶D.“3

【答案】A

【分析】

由根式和分數指數幕的意義，先將根式中的部分化為分數指數累，再化整體即可.

【詳解】

解:

故選：A.

【點睛】

本題考查根式和分數指數辱的互化、指數的運算法則，屬基礎題.

（二）根式與分數指數幕互化

例2、（1）、（2021?江蘇?高一專題練習）獷焉的分數指數幕表示為（）

_122

A.a2B.C.a4D.a

【答案】A

【分析】

利用根式運算進行化簡求值.

【詳解】

,-------------(1<3>33II

依題意=aa^-a2=a^-a2-

\J\J

故選：A

【點睛】

本小題主要考查根式運算，屬于基礎題.

(2).(2021?江蘇省如東高級中學高一月考)已知x<0,y>Q,化簡癡稱得()

A.->/3x2yB.>/3x2yC.-3x2yD.3x2y

【答案】B

【分析】

根據根式和實數指數幕的運算法則，即得解

【詳解】

由題意：x<0,y>0

河寸=9：d(*=后?y|=島2y

故選：B

_______3

【變式訓練2-1】.(2020?臺州市實驗中學高一期中)求值①[后尸,=;

/I、-2.5

②0.645+(73+72)X(73-V2)'°=.

\7

Q

【答案】亞7

【分析】

由指數運算的運算法則細心計算即可得解.

【詳解】

由題意，-5)24=5吏=5,=石;

/?\-2.5?(5)-

OB+(6+?%心_何°=0.645七)+[(6+&b(

_159

=0.6421,0=-+1=-.

+44

Q

故答案為：逐；—.

4

【變式訓練2-2工（2021?福建高二月考）嗎）包（）

4169

A.-B.—C.—

3916

【答案】C

【分析】

根據給定條件利用指數箱的運算法則計算即得.

【詳解】

（2第二朗

故選：C

（三）多重根式化簡

例3、（1）（2020?上海高一專題練習）正正的分數指數辱表示為,

【答案】

【分析】

本題可通過根式與分數指數累的互化得出結果.

【詳解】

故答案為：

（2）.（2021?全國高一課時練習）將以廨化為分數指數幕為（）

77

C-23D.28

【答案】D

【分析】

根據根式與分數指數暴的互化以及指數的運算公式即可求出結果.

【詳解】

也>/^=，2、般2：=:2x（2與=限2?=2*?=2：.

\/

故選：。

【變式訓練3-1】.（2021?全國高一專題練習）九了色>0）可以化簡成（)

132

A.a4B.q4c.a3D.q

【答案】B

【分析】

根據指數事和根式的運算性質轉化即可.

【詳解】

解：\]a\[a==a4'

故選：B.

【變式訓練3-2】.（2021?上海市西南位育中學高一期末）已知何訪=(>0),則

P=.

【答案】卷

【分析】

利用根式與指數幕的運算可求得。的值.

【詳解】

1

,-----------（klVA5

a>0,則a。=《&-=a24>因此,夕=五-

\/

故答案為：—.

【變式訓練3-3】.（2020?上海市洋涇中學高一期中）化簡向7=

【答案】）

【分析】

將根式化為分數指數幕后，利用指數靠的運算性質可得結果.

【詳解】

3

故答案為：N

(四)根式與分數指數幕互化

例4、(2021?江蘇?高一課時練習)化簡求值：

(1)0.125”0+[(一2)午+(垃X%)，；

(2)(5.)+J(-10)2-2.x場.

13

【答案】(1)81；(2)—.

4

【分析】

(1)根據分數指數基與根式的運算，化簡可得答案;

(2)由分數指數基及根式的運算，化簡可得答案.

【詳解】

(1)0.125下一伎)+[(-2)2F+(V2X^/3)6

、1

=[(2)-3,].13-|11+(22)22+02x331)6

=2-1+8+(2^)6(3^)6

=2-1+8+89

⑵H|4-7(-10)2-2V3XV27-4n°-rf

(|)+1。-2島(33)1-4'(

=-+10-25/3x^-3

9

=-+10-6-3

4

13

【點睛】

本題考查了分數指數基與根式的運算，屬于基礎題.

【變式訓練4-1工（2020?浙江高一期末）化簡或求值:

31

【答案】（1）;（2）—.

2

【分析】

（1）利用指數的運算性質即可求解.

（2）利用指數的運算性質即可求解.

【詳解】

,-----/T竺j

\Ja3-y/a_。35

3aa

（2）原一式=4+71+8+一27=彳31.

882

（五）利用整體代換思想求值

例5、.（2021?全國高一課時練習）已知右--<==4,求:

（1）a+a'

【答案】⑴18；（2）2G

【分析】

⑴將條件等式平方即可求解；（2）將問題平方，然后借助第一問的結果即可求解.

【詳解】

（1）因為&-」==4,所以

=ci---2=16,

即。+1=18,所以〃+=18；

（2）由（1）知4+L18,因為。>0,所以/+/>0,

【變式訓練5-1】.（2020?浙江）已知L/求?CI下-J列各式的值：

（1）4+4，

（2）a2+a~;

a2+a2-2

（3）~.

*+Q?-3

【答案】（1）7；（2）47；（3）3.

【分析】

（1）將/+0彳=3兩邊平方求解?

（2）由（1）知〃+k=7,兩邊平方求解.

（3）根