向量與向量的線性組合第一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二（一）向量及其線性運算二維向量二元有序數組（x,y）(x,y)0三維向量三元有序數組（x,y,z）n維行向量n元有序數組ai

的第i個分量n維列向量1.定義第二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二分量為實數的向量稱為實向量；分量為復數的向量稱為復向量。負向量n維(基本)單位向量：零向量特殊向量：或第三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二2.

運算相等加法減法數乘k(k>1)k(k<0)設第四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二向量的加法與數乘滿足下列運算規律：3.運算律對于所有n維向量組成的集合，按定義的加法和數乘，滿足八條運算法則，我們稱這個集合對規定的加法和數乘構成一個n維向量空間。記為Rn.定義3.4（P.122（126）)與矩陣的加法、數乘運算律同。第五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二例（P.123（127））解第六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二用向量的觀點看矩陣則或第七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二用向量的觀點看線性方程可寫成：即線性方程組的向量表示系數列向量第八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二令稱為滿足方程的一個解向量。第九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二例（P.110(113))方程組若記方程組有解使得第十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二（二）向量組的線性組合問題的提出：線性方程組可用向量表示為方程組是否有解的問題歸結為：是否存在一組數使得上式成立。則稱是向量組的線性組合或稱可由向量組線性表示（或線性表出）定義3.5（P.124(128)）對于給定的向量若存在一組數使得可否全為零？1.定義如前例第十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二例（P.124例3(129例2)）零向量是任何向量組的線性組合。設任一向量組為，一些常用結果零向量數零第十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二n維單位向量組（基本向量）：例

（P.124例2(129例1)）任何n維向量都可由n維基本單位向量組線性表示。

例

（P.125例4（129例3））向量組中任一向量都可由這個向量組線性表出。因為組內向量可由本組向量表示第十三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二2.能否表示的判定定理及求組合系數的方法對比線性方程組的向量表示：及線性組合的定義：知，

是否為向量組的線性組合，等價于方程組有無解，等價于

r(A|)是否等于r(A)。設其中第十四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二定理3.3

（P.124（128））

可由向量組線性表示以向量j為列！注意：若，j是行向量，則須組合系數為方程組的解。思考題：若可由向量組線性表示，問：“表示”是否唯一？列向量，行變換！第十五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二例5P.125判斷向量是否各為下列向量組的線性組合。若是，寫出表示式。解(1)（表示唯一嗎？）第十六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二(2)第十七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二練習設R3中的向量判斷能否由1，2，3線性表示？若能，寫出一個表示式。解若不需寫出“表示式”，則不必化行簡化階梯形矩陣。（表示式不唯一，為什么？）第十八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二取x3=0,得x1=5,x2=-1.于是得線性表示式：再求一表示式取x3=1,得x1=6,x2=-3.第十九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二定義

設有兩個向量組?若向量組(A)的每個向量都可由向量組(B)中的向量線性表出，則稱向量組(A)可由向量組(B)線性表出。三、兩個向量組之間的關系

(P.125(137))即?若向量組(A)與向量組(B)可互相線性表出，則稱它們等價。(定義3.6）第二十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二線性表出的傳遞性：(A)可由(B)線性表出，(B)可由(C)線性表出，(A)可由(C)線性表出。設定理3.4（P.126（137定理3.8））證略第二十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期二例6P.126判斷下列向量組是否等價解因為所以(B)可由(A)線性表示。又所以(A)可由(B)線性表示。故向量組(A)與(B)等價。(C)可由(A)線性表示:但(A)不能由(C)線性表示:因不能由(C)線性表示故(A)與(C)不等價，由此(B)與(C)也不等價。為什么？第二十二頁，共二十四頁，編輯