f=f=c=第一章數字信號處理概述1．在A/D變換之前和D/A變換之后都要讓信號通過一個低通濾波器，它們分別起什么答：在A/D變化之前讓信號通過一個低通濾波器，是為了限制信號的最高頻率，使其滿足當采樣頻率一定時，采樣頻率應大于等于信號最高頻率2倍的條件。此濾波器亦稱位“抗折疊”濾在D/A變換之后都要讓信號通過一個低通濾波器，是為了濾除高頻延拓譜，以便把抽樣保持的階梯形輸出波平滑化，故友稱之為“平滑”濾波器。自己要增加一道采答：錯。需要增加采樣和量化兩道工序。理論，對信號進行等效的數字處理。()答：受采樣頻率、有限字長效應的約束，與模擬信號處理系統完全等效的數字系統未必一定能找到。因此數字信號處理系統的分析方法是先對抽樣信號及系統進行分析，再考慮幅度量化及實現過程中有限字長所造成的影響。故離散時間信號和系統理論是數字信號處理的理論基礎。第二章離散時間信號與系統分析基礎、連續時間信號取樣與取樣定理1．過濾限帶的模擬數據時，常采用數字濾波器，如圖所示，圖中T表示采樣周期(假設T足夠小，足以防止混迭效應)，把從的整個系統等效為一個模擬濾波器。xt小，足以防止混迭效應)，把從的整個系統等效為一個模擬濾波器。(a)(b)1T8T由H(ej)決定，是625Hz。(b)采用同樣的方法求得1T=20kHz，整個系統的截止頻率為二、離散時間信號與系統頻域分析2．設序列x(n)的傅氏變換為X(ej)，試求下列序列的傅里葉變換。(1)x(2n)(2)x*(n)(共軛)解：(1)x(2n)由序列傅氏變換公式DTFT[x(n)]=X(ej)=x(n)ejn[x(2n)]=x(2n)ejn=x(n)ejn2DTFTnn為偶數(2)x*(n)(共軛)nn=(a)2nu[n](b)(4)nu[n+2]n(n()n(c)6[42n](d)2aX2nu[n]ejn=02nejnnn=2(d)X?()=()nejn=[122利用頻率微分特性，可得xnX(ejw)，求下列各序列的傅里葉變換。n=-wn=-wn=-wn=-w(1)x*(-n)(2)Re[x(n)](3)nx(n)解：(1)xwx*(-n)e-jwn=xw[x(-n)e-jw(-n)]*=X*(ejw)n=-wn=-wjw22n=-wn=-w(3)xwnx(n)e-jwn=xw-1dx(n)e-jwn=jdxwx(n)e-jwn=jdX(ejw)jdwdwdw(1)x*(n)(2)jIm[x(n)](3)x2(n)xwx*(n)e-jwn=xw[x(n)e-j(-w)(-n)]*=[xwx(n)e-j(-w)n]*=X*(e-jw)n=-wn=-wn=-w(2)(3)Xejw(1)g(n)=x(2n)解：(1)G(ejw)=xwg(n)e-jnw=xwx(2n)e-jnw=xwx(k)e-jwnwnwk=-w(2)G(ejw)=xwg(n)e-jnw=xwg(2r)e-j2rw=xwx(r)e-jr2w=X(ej2w)n=-wr=-wr=-w7．求下列序列的時域離散傅里葉變換x(n)0nXejO-w-w -w-w三、離散時間系統系統函數少為()。1．何謂最小相位系統？最小相位系統的系統函數Hmin(Z)有何特點？解：一個穩定的因果線性移不變系統，其系統函數可表示成有理方程式bZrH(Z)=P(Z)=r=0r，他的所有極點都應在單位圓內，即1。但零點QZ1NaZkkk可以位于Z平面的任何地方。有些應用中，需要約束一個系統，使它的逆系統G(Z)=1H(Z)也是穩定因果的。這就需要H(Z)的零點也位于單位圓內，即r1。一個穩定因果的濾波器，如果它的逆系統也是穩定因果的，則稱這個系統是最小相位。等價的，我們有如下定義?！径x】一個有理系統函數，如果它的零點和極點都位于單位圓內，則有最小相位。一個最小相位系統可由它的傅里葉變換的幅值H(ejw)唯一確定。從ejw求H(Z)的過程如下：給定ejw，先求ejw2，它是cos(kw)的函數。然后，用(Zk+Zk)替代2cos(kw)，我們得到G(Z)=H(Z)H(Z1)。最后，最小相位系統由單位圓內的G(Z)的極、零點形成。一個穩定因果系統總可以分解成一個最小相位系統和一個全通系統的乘積，即完成這個因式分解的過程如下：首先，把H(Z)的所有單位圓外的零點映射到它在單位圓內的共軛倒數點，這樣形成的系統函數H(Z)是最小相位的。然后，選擇全通濾波器H(Z)，minap把與之對應的H(Z)中的零點映射回單位圓外。minH(Z)2．何謂全通系統？全通系統的系統函數ap有何特點？解：一個穩定的因果全通系統，其系統函數H(Z)對應的傅里葉變換幅值H(ejw)=1，該單位幅值的約束條件要求一個有理系統函數方程式的零極點必須呈共軛倒數對出現，即k則在其共軛倒數點Z=則在其共軛倒數點Z=處必須有一個零點。*k3．有一線性時不變系統，如下圖所示，試寫出該系統的頻率響應、系統(轉移)函數、差分方程和卷積關系表達式。-w-w-w第三章離散傅立葉變換級數看作周期為N的周期序列有(n)一1(k)(周期為N)；把(n)看作周期為2N的周期NN|l0二、離散傅立葉變換定義填空題DFTXlxk)Wkl，則變換后數字頻域上相鄰兩個頻率樣點之M間的間隔是()。M()，變換后數字頻域上相鄰兩個頻率樣點之間隔是()。()。4．采樣頻率為FHz的數字系統中，系統函數表達式中z一1代表的物理意義是()，s其中時域數字序列x(n)的序號n代表的樣值實際位置是()；x(n)的N點DFTX(k)中，序號k代表的樣值實際位置又是()。kN5．用8kHz的抽樣率對模擬語音信號抽樣，為進行頻譜分析，計算了512點的DFT。則頻域抽樣能做DFT對它進行分解：錯。如果序列是有限長的，就能做DFT對它進行分析。否則，頻域采樣將造成時域信號的混疊，產生失真。所以(3)的方法擴展成8點，求它們8點的DFT？(盡量利用DFT的特性) (2)2l0n=4~7y(n)=〈(|x(n2)n=偶數 (3)3|l0n=奇數121(2)1111X(k)的關系。11(2)(1)x(n)=anR(n)NN(2)x(n)=nR(n)NN解：(1)因為x(n)=anR(n)，所以NN(2)由x(n)=nR(n)，得N所以 (N)n=0NNN2,=0,其它(1)求它的10點離散傅里葉變換X(k)(3)已知序列m(n)的10點離散傅立葉變換為M(k)=X(k)Y(k)，求序列m(n)N10nn=02"(2)由Y(k)=W2kX(k)可以知道，y(n)是x(n)向右循環移位2的結果，即(3)由M(k)=X(k)Y(k)可以知道，m(n)是x(n)與y(n)的10點循環卷積。一種方法是先計算x(n)與y(n)的線性卷積然后由下式得到10點循環卷積再計算乘積 (N) (N)解：(1)X(k)=1-jkn (N=jN,k1261ej9k21ej9kej3kej3kej3kej9kej9kej9k可見，題給答案是正確的。xn)的8點離散傅里葉變換X(k)如圖所示。在x(n)的每兩個取樣值之間插nx，n為偶數2(1)求y(n)的16點離散傅里葉變換Y(k)，并畫出Y(k)的圖形。 (2)設X(k)的長度N為偶數，且有X(k)X(N1k),k0,1,...,N1，求xN。22解：(1)因n為奇數時y(n)0，故8面按照上式可畫出Y(k)的圖形，如圖所示。15．計算下列有限長序列x(n)的DFT，假設長度為N。(1)(2)x(n)={1,2,-3,-1}NNn=0n=04k試用X(k)來表示Y(k)=DFT[y(n)]。n888于是有(2試計算x(n)的離散傅里葉變換。NNNNk18．設X(k)表示長度為N的有限長序列x(n)的DFT。(1)證明如果x(n)滿足關系式(2)證明當N為偶數時，如果XN)=02解(1)令N1n=m顯然可得X(0)=0(2)X()=1x(n)ejk=1x(n)(1)n(將n分為奇數和偶數兩部分表示)n=0n=0顯然可得2減小這種效應的方法：采樣時滿足采樣定理，采樣前進行濾波，濾去高于折疊頻率f2的頻s解：離散傅立葉變換是Z變換在單位圓上的等間隔采樣。、離散傅立葉變換性質x[(2k)N]R4[k]的值()。N4的5點循環卷積為()。4點循環卷積為()。hh3]h[2]h[1]]「x[0]]「4-11-2]「3]「6]NN即Xk表示N點序列x(n)的N點DFT，試證明：(a)如果x(n)滿足關系式x(n)=-x(N-1-n)，則X(0)=0。2NXxnNNNN2而x(n)中間的一項應當滿足：因此必然有 (b)當N為偶數：X(N)=x(n)Wn=x(n)(-1)n2Nn=0n=0線性卷積z(n)。因為x(n)的長度為N=4,y(n)的長度為N=42znxnynNNNN=7的圓周卷積12(1)求線性卷積a(n)*b(n)(2)若用基2FFT的循環卷積法(快速卷積)來得到兩個序列的線性卷積運算結果，FFT至少n=-w(2)若用基2FFT的循環卷積法(快速卷積)來完成兩序列的線性卷積運算，因為a(n)的長度112xnynfnxny(n)及做圖。解x(n),y(n)示意圖略，圓周卷積f(n)=x(n)張y(n)10．已知x(n)是N點有限長序列，X(k)=DFT[x(n)]?，F將長度變成rN點的有限長序得所以在一個周期內，Y(k)的抽樣點數是X(k)的r倍，相當于在X(k)的每兩個值之間插入r-1個其他的數值(不一定為零)，而當k為r的整數l倍時，Y(k)與X(|())|相等。xn是N點有限長序列，X(k)=DFT[x(n)]。現將x(n)的每兩點之間補進r-1個零值點，得到一個rN點的有限長序列y(n)可得NrNNrN所以Y(k)是將X(k)(周期為N)延拓r次形成的，即Y(k)周期為rN。6(2)若有限長序列u(n)的6點離散傅立葉變換為X(k)的實部，即U(k)=Re[X(k)]，求u(n)。(3)若有限長序列v(n)的3點離散傅立葉變換V(k)=X(2k)(k=0,1,2)，求v(n)。66上式得到226333n=0n=0n=0n=3循環卷積的性質可以表示為即即或所以3n=0列。如果計算X(k)的離散傅里葉變換得到一序列x(n)，試用x(n)求x(n)。11解所以14．為了說明循環卷積計算(用DFT算法)，分別計算兩矩形序列x(n)=R(n)的卷積，如N果x(n)=R(n)，求6(1)兩個長度為6點的6點循環卷積。(2)兩個長度為6點的12點循環卷積?！窘狻窟@是循環卷積的另一個例子。令如果我們將X[k]和X[k]直接相乘，得12由此可得x[n]=N0nN132N1N12N當然也可以把x[n]和x[n]看作是2L點循環卷積，只要給他們增補L個零即可。若我們計算12增長序列的2L點循環卷積，就得到圖3-7所示序列?？梢钥闯鏊扔谟邢揲L序列x[n]和1x[n]的線性卷積。注意如圖3-7所，N=2L時2所以圖3-7(e)中矩形序列x[n]的DFT為(N=2L)3考慮到DFT關系的對偶性，自然兩個N點序列乘積的DFT等于他們對英的離散傅里葉變換的循環卷積。具體地說，若x[n]=x[n]x[n]，則12或x[n]x[n]一FT)1X[k]閃X[k]12N1216．設x(n)是一個2N點序列，具有如下性質1N11【答案】DFTX(k)=2X(|k)|1(2)(1)f(k)和h(k)的循環卷積和f(k)閃h(k)；(2)f(k)和h(k)的線性卷積和f(k)*h(k)；(3)寫出利用循環卷積計算線性卷積的步驟。(3)略5點序列x(n)。(1)試畫出(1)試畫出(2)試畫出解：計算長度為M,N兩序列的線性卷積，可將兩序列補零至長度為M+N-1,而后求補零后兩序列的DFT，并求其乘積，最后求乘積后序列的IDFT，可得原兩序列的線性卷積。解：依據題意取序列x(n)一X(k),y(n)一Y(k)XkjYkIDFTXkjIDFTYkxnjynnjyn域角度看是()；從頻域角度看是()。解：采樣值對相應的內插函數的加權求和加低通，頻域截斷3．頻域N點采樣造成時域的周期延拓，其周期是()。解：NT(頻域采樣點數N根時域采樣周期T)4．已知有限長N序列x[n]的z變換為X(z)，若對X(z)在單位圓上等間隔抽樣M點，且M<N，試分析此M個樣點序列對應的IDFTx1[n]與序列x[n]的關系。如果1z=ejMm即X[m]是X(z)在單位圓上M點等間隔抽樣，根據頻域抽樣定理，則存在111Mll上式表明，將序列x(k)以M為周期進行周期延拓，取其主值區間[0，M一1]上的值，即得序列x[k]。由于M〈N，故在對x[k]以M為周期進行周期延拓時，必然存在重疊。12爪k解答下列問題(用一個N點的FFT來算出全部的值)k解答下列問題(用一個N點的FFT來算出全部的值)XZkX(Z)。kN<M時，對序列x(n)以N為周期進行周期延拓得到一個新的序列x'(n)，求序列x'(n)k(2)N>M時得到的結果與x(n)等效，因為其滿足頻域取樣定理。z解方法一nRn方法二zWkz1NNNNNKK=0l=_w N1w9．研究一個長度為M點的有限長序列x(n)。05111．設如圖所示的序列x(n)的Z變換為X(z)，對X(z)在單位圓上等間隔的4點上取樣得到jkjke11379解：因為對X(z)在單位圓上等間隔的4點上取樣，將使x(n)以4為周期進行周期延拓，所以11DFT度對譜分析有何影響？是否都可以提高頻譜分辨率?可以使頻譜譜線加密，但不能提高頻譜分辨率。ff=sF=03．試說明連續傅里葉變換X(f)采樣點的幅值和離散傅里葉變換X(k)幅值存在什么解：兩個幅值一樣。解：如果采樣頻率過低，再DFT計算中再頻域出現混迭線性，形成頻譜失真；需提高采樣頻率來克服或減弱這種失真。泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是盡量用旁瓣小主瓣窄的窗函數。。m所以抽樣頻率應滿足：f2f=2.5kHzsmf2.51000因為要求譜分辨率s5kHz，所以N=500N5111相鄰樣點間的最大時間間隔T===ms=0.4msf2f2.5smins信號的最小記錄時間T=NT=5120.4ms=204.8mspmin(2)以上數字數據經處理以后又進行了離散傅里葉反變換，求離散傅里葉反變換后證明：由得s2,02fs=sFF000其中是以角頻率為變量的頻譜的周期，是頻譜抽樣之間的頻譜間隔。s0直接運算所用計算時間T為1又則F又則F=s對于本題有所以fs=s=NF00f0Ns512冪，假定沒有采用任何特(1)最小記錄長度；(2)所允許處理的信號的最高頻率；(3)在一個記錄中的最少1 TF,而F010Hz，所以0即最小記錄長度為(2)所以11f<f=5kHzh2s即允許處理的信號最高頻率為5kHz。T0.1(3)N103=1000，又因N必須為2的整數冪，所以一個記錄中的最少點數為N=210=1024。第四章快速傅立葉變換N=1024點的DFT{x(n)]。問直接運算需()時間，用FFT運算需要()時間。解：(1)直接運算：需復數乘法N2次，復數加法N(N1)次。(2)基2FFT運算：需復數乘法NlogN次，復數加法NlogN次。22222．N點FFT的運算量大約是()。解：NlogN次復乘和NlogN次復加222jk3．快速傅里葉變換是基于對離散傅里葉變換___________和利用旋轉因子eN的________來jk解：快速傅里葉變換是基于對離散傅里葉變換長度逐次變短和利用旋轉因子ejNk的周期性來減少計算量，其特點是蝶形計算、原位計算和碼位倒置。NNNNN解：原理：利用Wkn的特性，將N點序列分解為較短的序列，計算短序列的DFT，最后再組合N222解：答案略。4．對于長度為8點的實序列x(n)，試問如何利用長度為4點的FFT計算x(n)的8點DFT？寫出其表達式，并畫出簡略流程圖。8n=088r=0r=048