能量原理與變分法第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一§12-1外力功變形能外力功：彈性體在外力作用下發生變形，于是外力的作用點將沿外力的作用方向產生位移（相應位移）。外力在相應位移上所作的功稱為外力功。變形能：在外力作功的同時，彈性體因變形而具有了作功的能力，即彈性體因變形而儲存了能量。這種能量稱為變形能。外力功和變形能的關系：若外力從零平緩地增加到最終值，則變形中的彈性體每一瞬時都處于平衡狀態，故其動能和其它能量損失不計，于是認為全部外力共都轉變成變形能。即：能量法：利用外力功和變形能的概念，建立分析變形、位移、內力的原理和方法，稱為能量法。2第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一外力功的計算：§12-2外力功和變形能的計算F——廣義力

——廣義位移梁為非彈性體時：梁為彈性體時：在線彈性范圍內:3第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一變形能的計算：

如果彈性體上作用幾個廣義力（包括力偶），產生相應的廣義位移（包括角位移），那么非線性彈性體的變形能：線性彈性體的變形能：

克拉比隆（Clapeyron

）原理：彈性體的變形能等于廣義力與其相應廣義位移乘積之半的總和。4第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一?對于桿C先加再加特性1：計算U時不能用疊加原理。(a)(c)(b)例：現有a，b，c三根桿，已知其長度l和剛度EA相等，

求：各桿的變形能。第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一特性2：U只與載荷的最終數值有關；與加載方式無關。(a)(c)(b)對于桿C先加再加6第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

桿件在基本變形情況下的變形能：

變形形式外力功位移與力的關系變形能7第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一組合變形情況下桿件的變形能：在所截取的微段內，可以認為內力為常量。軸力、剪力、彎矩、扭矩對微段來說是處于外力位置。所以整個桿的變形能注意：對以抗彎為主的桿件及桿系，因軸力和剪力遠小于彎矩對變形的影響，所以在計算這類桿件的變形時通常不計軸力和剪力的影響。8第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一思考：變形能的計算能不能用疊加原理9第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一材料質點（微單元體）能量原理與變分法

靜力平衡變形幾何物理關系偏微分方程變分法整個變形體的能量積分方程（能量的變分為零）變分法是有限元方法的基礎變分法與微分方程的描述，兩者可以轉化10第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

靜力可能狀態物體Q，在內部受體力(X，Y，Z)作用，在靜力邊界S上受面力(，，)作用

外力與內力(應力）處處（物體內和邊界上）滿足平衡。11第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

在物體內滿足平衡微分方程

在靜力邊界上滿足靜力邊界條件

在位移邊界上，其反力由上式給出12第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

在物體內位移與應變滿足幾何方程ud=vd=wd=

在位移邊界Su上，滿足位移邊界條件變形協調變形可能狀態13第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

靜力可能狀態（s）和變形可能狀態（d）是同一物體的兩種不同的受力狀態和變形狀態，兩者可以彼此完全獨立而沒有任何關系

靜力可能狀態的應力所給出的變形一般不滿足變形協調變形可能狀態給出的應力一般不滿足平衡微分方程14第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

可能功原理外力（體力和面力，包括反力）在變形可能的位移上所做功

＝內力（應力）在變形可能的應變上所做功15第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一證明:散度定理16第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一真實狀態（靜力可能狀態）虛位移狀態（變形可能狀態）虛位移（功）原理17第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一外力虛功＝內力虛功（1）虛功原理沒有涉及到物理方程，即沒有規定應力與應變之間的具體關系，因此，對彈性、塑性情況均適用。（2）虛位移原理完全等價于平衡微分方程和力邊界條件。使用可能功原理，并考慮到位移邊界上反力功為零18第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一使用位移法求解，應力、應變等都通過幾何方程和物理方程看作是位移的函數。若位移及與之相應的應力與應變滿足：（1）單值連續（由它給出的應變滿足變形協調條件），（2）位移邊界條件，（3）平衡微分方程，（4）靜力邊界條件，則該位移就是問題的解，即為真實位移。

19第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

僅滿足前兩個條件的位移場是變形可能的位移場，而后兩個條件等價于虛位移原理。故求解彈性力學問題又可敘述為：

(1)在所有變形可能的位移場中，尋找所給出的應力能滿足虛位移原理的位移場。或者

(2)真實的位移場除必須是變形可能的位移外，它所給出的應力還應滿足虛位移原理。20第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一最小勢能原理

內力虛功物體是彈性的，則單位體積內的內力虛功對于整個彈性體內力虛功＝應變能因虛位移而引起的改變21第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

外力虛功

如果作用的外力是保守力，大小和方向都不變，只是作用點的位置改變外力虛功＝外力勢能因虛位移而引起的改變22第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

稱為彈性體的總勢能，它是應變能與外力勢能之和從彈性體的真實狀態出發產生虛位移，所引起的總勢能變分應為零，即在真實狀態總勢能取極值。對于處于穩定平衡的真實狀態，應是取最小值，最小勢能原理：在所有變形可能的位移中，使總勢能達到最小值的位移，就是真實的位移。將上述結果代入虛功原理，得位移變分原理23第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一（1）虛位移原理無論是彈性、還是塑性情況下都成立，但位移變分方程式僅對彈性保守系統有效。（2）變分與微分在數學上的意義等同都是指微小的變化，因此運算方法相同，但它們的運算對象不同：微分運算中，自變量一般是坐標等變量，因變量是函數。變分運算中，自變量是函數，因變量是函數的函數，即數學上所謂的泛函。總勢能是位移函數的泛函。對泛函求極值的問題，數學上稱之為變分法將求解彈性力學中偏微分方程的問題轉化為求解勢能變分問題24第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一（1）設滿足位移邊界的近似位移函數為 使用位移變分原理近似求解

=U＋V＝

(ak，bk，ck)

（2）求彈性體的總勢能 25第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一=ak＋bk＋＝0（3）總勢能變分為零，求待定系數26第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一例題3用變分方法求簡支梁在均布荷載作用下的撓度解：（1）設位移函數為

w(x)=c1x(lx)+c2x2(l2x2)+

顯然