概率與統(tǒng)計知識點與題型3.1.1—3.1.2隨機事件的概率及概率的意義1、基本概念：（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；（4）隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗總次數(shù)n的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率3.1.3概率的基本性質(zhì)1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；（4）當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性質(zhì)：1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；2）當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A 與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1—3.2.2古典概型及隨機數(shù)的產(chǎn)生1、（1）古典概型的使用條件：試驗結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P（A）=3.3.1—3.3.2幾何概型及均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生1、基本概念：（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：P（A）=；幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．一、隨機變量.1.隨機試驗的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.它就被稱為一個隨機試驗.2.離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.若ξ是一個隨機變量，a，b是常數(shù).則也是一個隨機變量.一般地，若ξ是隨機變量，是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數(shù)也是隨機變量.設(shè)離散型隨機變量ξ可能取的值為：ξ取每一個值的概率，則表稱為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列.4.方差的性質(zhì).⑴隨機變量的方差.（a、b均為常數(shù)）ξ01Pqp⑵單點分布：其分布列為⑶兩點分布：其分布列為：（p+q=1）⑷二項分布：⑸幾何分布：5.期望與方差的關(guān)系.⑴如果和都存在，則⑵設(shè)ξ和是互相獨立的兩個隨機變量，則⑶期望與方差的轉(zhuǎn)化：⑷（因為為一常數(shù)）.三、正態(tài)分布.1.密度曲線與密度函數(shù)：對于連續(xù)型隨機變量ξ，位于x軸上方，ξ落在任一區(qū)間內(nèi)的概率等于它與x軸.直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖陰影部分）的曲線叫ξ的密度曲線，以其作為圖像的函數(shù)叫做ξ的密度函數(shù)，由于“”是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.2.⑴正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機變量ξ的概率密度為：.（為常數(shù)，且），稱ξ服從參數(shù)為的正態(tài)分布，用～表示.的表達式可簡記為，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線.⑵正態(tài)分布的期望與方差：若～，則ξ的期望與方差分別為：.⑶正態(tài)曲線的性質(zhì).①曲線在x軸上方，與x軸不相交.②曲線關(guān)于直線對稱.③當(dāng)時曲線處于最高點，當(dāng)x向左、向右遠離時，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.④當(dāng)＜時，曲線上升；當(dāng)＞時，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.⑤當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.3.⑴標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機變量ξ的概率函數(shù)為，則稱ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.即～有，求出，而P（a＜≤b）的計算則是.注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的X取0時，有當(dāng)?shù)腦取大于0的數(shù)時，有.比如則必然小于0，如圖.⑵正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若～則ξ的分布函數(shù)通常用表示，且有.習(xí)題1．6名同學(xué)排成兩排，每排3人，其中甲排在前排的概率是（）A． B． C． D．2．有10名學(xué)生，其中4名男生，6名女生，從中任選2名，恰好2名男生或2名女生的概率是（） A． B. C. D.3．甲乙兩人獨立的解同一道題,甲乙解對的概率分別是,那么至少有1人解對的概率是（） A. B. C. D.4．從數(shù)字1,2,3,4,5這五個數(shù)中,隨機抽取2個不同的數(shù),則這2個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是()A.B.C.D.5．有2n個數(shù)字，其中一半是奇數(shù)，一半是偶數(shù)，從中任取兩個數(shù)，則所取的兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率是（）A、B、C、D、6．有10名學(xué)生，其中4名男生，6名女生，從中任選2名學(xué)生，恰好是2名男生或2名女生的概率是（）A． B． C． D．7．已知P箱中有紅球1個，白球9個，Q箱中有白球7個，（P、Q箱中所有的球除顏色外完全相同）．現(xiàn)隨意從P箱中取出3個球放入Q箱，將Q箱中的球充分攪勻后，再從Q箱中隨意取出3個球放入P箱，則紅球從P箱移到Q箱，再從Q箱返回P箱中的概率等于（）A． B．C． D． C92/C103乘以C92/C1038．已知集合A={12，14，16，18，20}，B={11，13，15，17，19}，在A中任取一個元素用ai(i=1，2，3，4，5)表示，在B中任取一個元素用bj(j=1，2，3，4，5)表示，則所取兩數(shù)滿足ai>bI的概率為（）A、B、C、D、9．在圓周上有10個等分點，以這些點為頂點，每3個點可以構(gòu)成一個三角形，如果隨機選擇3個點，剛好構(gòu)成直角三角形的概率是（ ）直徑有5個A. B. C. D.10．已知10個產(chǎn)品中有3個次品，現(xiàn)從其中抽出若干個產(chǎn)品，要使這3個次品全部被抽出的概率不小于0.6，則至少應(yīng)抽出產(chǎn)品()A.7個B.8個C.9個D.10個11．甲、乙獨立地解決同一數(shù)學(xué)問題，甲解決這個問題的概率是0.8，乙解決這個問題的概率是0.6，那么其中至少有1人解決這個問題的概率是（）A、0.48B、0.52C、0.8D、0.9212.某小組有三名女生，兩名男生，現(xiàn)從這個小組中任意選出一名組長，則其中一名女生小麗當(dāng)選為組長的概率是___________13.擲兩枚骰子，出現(xiàn)點數(shù)之和為3的概率是_____________14.某班委會由4名男生與3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔(dān)任正副班長，其中至少有1名女生當(dāng)選的概率是______________15.我國西部一個地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內(nèi)的概率如下表所示：年降水量/mm[100,150)[150,200)[200,250)[250,300]概率0.210.160.130.12則年降水量在[200，300]（m,m）范圍內(nèi)的概率是___________16、向面積為S的△ABC內(nèi)任投一點P，則△PBC的面積小于的概率是_________。17、有五條線段，長度分別為1，3，5，7，9，從這五條線段中任取三條，則所取三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為_______18、在等腰Rt△ABC中，在斜邊AB上任取一點M，則AM的長小于AC的長的概率為_____19．甲、乙兩名籃球運動員，投籃的命中率分別為0.7與0.8．（1）如果每人投籃一次，求甲、乙兩人至少有一人進球的概率；（2）如果每人投籃三次，求甲投進2球且乙投進1球的概率．20．加工某種零件需要經(jīng)過四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分別為，且各道工序互不影響（1）求該種零件的合格率（2）從加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率（3）假設(shè)某人依次抽取4件加工好的零件檢查，求恰好連續(xù)2次抽到合格品的概率（用最簡分數(shù)表示結(jié)果）21．甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為ε、η，ε和η的分布列如下：ε012η012PP則比較兩名工人的技術(shù)水平的高低為.思路啟迪：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動情況，即方差值的大小..22.某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為123450.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元．表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．（Ⅰ）求事件：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（Ⅱ）求的分布列及期望．參考答案：1-5、BDDBC6-11、CBBBCD12.13.14.15.0.2516、17、 18、19：解：設(shè)甲投中的事件記為A，乙投中的事件記為B，（1）所求事件的概率為：P=P（A·）+P（·B）+P（A·B）=0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8=0.94． （2）所求事件的概率為：P=C0.72×0.3×C0.8×0.22=0．042336． 20：解：（1）該種零件合格率為（2）該種零件的合格率為，則不合格率為，從加工好的零件中任