習題12.7Lagrangef(x,y)xy，約束條件為xy1f(xyz)x2y2z，約束條件為x2y2z2x y x2y2z2（3）f(x,y,z)a2

，約束條件為 其c AxByCzabc0A2B2C21（1）

L(x,y,)xy(xy1)Lxy

xL(xy1)xy1，即目標函數只有一個駐點11 2xy

11

22 由xy ，可知 22

1f(,

1

2 L(x,y,z,)x2y2z(x2y2z21)

Lx12xL22yL(x2y2z21) A2B2C

2 2

Cz c 1 x y z

1 2a2x yc2z

1 z

2xb2y

A2

B2

C2

A

2)02( )( b2c2c2a2 C2

1

1

1

B2

a

(b2c2c2a a2b2 abc，面積為S，則S2ppapbpcL(a,b,c,)p(pa)(pb)(pc)(abc2p)Lp(pb)(pc)Lp(pa)(pc)papbpcabc2p391立方米的有蓋鋁圓桶，什么樣的尺寸才能使用積為S2rh2r2。令L2rr2解得h2r，再代入約束條件r2h1r h 43 43zx2y2xyz1截成一橢圓，求原點到這個橢圓d(xyz，則d2x2y2z2L(x,y,z,,)x2y2z2(x2y2z)(xyz1)Lx2x2x

2y2yL2z將前兩式相減，得到(1)(xy)0若1，則有0z1，顯然不滿足約束條件。3若1xyzx2y2xyz1，可解3xy

2

3)，z2x22 ，從而有d29 995dmax dmin 解設(xyx0為三角形底邊上的頂點，則三角形面積為Sx(2y令L(x,y,)x(2y)(x23y212)Lx6消去，可得6y3y2x20，再聯立約束條件x23y212x0的駐點只有(0,2)和(3,1)當(xy02)時S0，當(xy3,1)時S9。由題意三角形面積Smax9求空間一點(abcAxByCzD0解設(x,yz)為平面上的一點，它與點(abc之間的距離為d(x,yz)，則d2(xa)2yb)2(zc)2，令L(x,y,z,)d2(x,y,z)(AxByCzD)

Lx2(xa)AL2(yb)Bxa1A，yb1B，zc1C AxByCzD0AaBbCcD A2B2CA2B2C

2d 2

2 2 2 A2B2C所以(abcAxByCzD0d 求平 與柱面x2y

1相交所成的橢圓的面積a (xyzd的最大值 L(x,y,z,,)xyz

L2x2xA L2y CLy2zb2C L

2 1) L(AxByCz)1xLyLzLx2y2z20 于的解中。以C

C A2 x1 x y C2 B2y x1 y C2 A2 B2 1a2C21b2C2C 0 即2 2C2110A B b2 a2 b a 此橢圓面積為S (A2B2C2)a2b21 CS Cz1(x4y4xyax0y0，a2x4y xy 解L(x,y,)1x4y4(xya)2L2x3xya2

2y3(xya)由于連續函數z1(x4y4)段{(x,y)|xya,x0,y0}的兩2f(,)個端點(0,a),(a,0)上的函數值有f(0,a)f(a,0)1a4 a 1a4f(,)

a f(,)2

a4

2 。 。x4y4

1a4a

xy x0,y0,z0時，求函

2 f(x,y,z)lnx2lny3lnabcab2c3 L(x,y,z,)lnx2lny3lnz(x2y2z26R2)L12x

x22yy解得21

L32z 3，代入約束條件x2y2z26R2x2R2y22R2z23R23lnx2lny3lnzln[R2(2R2)(3R2)2]ln63R6，3即x2y2z2xy2z363

f(R,2R,3Rln63R6在后一式中令ax2by2和cz2abcab2c3 10．（1）求函數f(xyzxaybzc(x0y0,z0)在約束條件xkykzk1下的極大值，其中kabcuavbw uvwa abc abc（1）L(x,y,z,)alnxblnyclnz(xkykzk1)Lakxk1

xbkyk1yLckzk1

ab解得k

，代入約束條件xkykzk1，得到 xk ab

，yk ab

zk abk abc k

alnxblnyclnzln(xyz ln(abc)abcabc

aabbcc

xy

(ab （2）令k1x且

uv

，y uv

，z uv

xyz1 a xaybzc uv uv uv

uv

xaybz

。(ab。

uavbw uvwa ≤ abc abc2 2

y

包含圓 2 2，且面積a,

1a

x y解為了使橢圓 b21既包含圓(x1)2y21，又面積最小，可a 2g(x,y)(x1)2y22a

yb21 L(x,y,)(x y 2 L(x1) 2 1Lyyy(1)

La2b21 x1)2y21x1 a2 若y0，則xa。由 (x1)2y21，可得a2。在方程

b2

中消去y得到 4

2xb0容易知道當b 方程除了解 外另有一解 ，這說明橢圓xy不完全 含圓(x1)2y21，不滿足條件所以b 這時橢圓面積S22若b

，則xa2

11

x，得 11a a

a,a2b2a2b4f(abab在a2b2a2b4l(a,b,)ab(a2b2a2b4)bb消去，得到a 2b2，再代入關于a,b的約束條件a2b2a2b4，解a32，b 6 這時橢圓面積S33由于3322所以當a32，b 6時 橢圓x2y2包含圓 2 2，且面積最小 1a

設三角形ABC的三個頂點分別在三條光滑曲線f(x,y)0，g(xy0及h(xy)0ABC的面積取極大值，則各曲線分別在三個頂點處的法線必通過三角形ABC的垂心。證不妨固定一邊BCxA點在曲線f(xy0上移動，設yy(xf(xy0y(x就是三角形的高，當三角ABCdy(x)0f(x,y)0A點的切線與對邊BCA點的法線與BC邊垂直。由于這是圖形的幾f(xy)0,g(x,y0與h(xy0在設a1a2an為n個已知正數。求nnf(x1,x2,,xn)akknnxk2k 解由于f(x1x2,xn)在{(x,x,,x)|x2x2x21}f(x1x2,xn)x2x2

L(x,x,,x,)f(x,x,,x)(x2x2x21) xk ak2xkxk

k1,,nx

k1,,n 代入約束條件x2x2x21，可得2 n22f(x1,x2,,xn) nnk

nn14．求二次型aijxixi,j

(aijaji 在 維單位球 (x,x

nk

L(x,x,,x,)axx(x2x2x21) iji i,jL L

axx k1,,

i21ik k L(xx2x1) 由2 12 xkLxk xk0k i,k knaijxixji,jn記A(aij)，由于方程組aikxixk (k1,,n)有非零解，iAI0，即是矩陣Aaij的特征值。由于Aa