延慶區2015—2016學年度一模統一考試高三數學（理科）2016年3月本試卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A.B.或C.D. 2.復數（）A.B．C. D．3.已知兩條直線和平面，若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的長為（）11111112正（主）視圖側（左）視圖俯視圖（4題圖）B.C.D.5.執行如圖所示的程序框圖,若輸出的的值為，則判斷框應填寫（）否是否是結束輸出（5題圖）開始6.已知等比數列的公比，則下面說法中不正確的是（）A.是等比數列B.對于，，C．對于，都有D．若，則對于任意，都有7.如圖是近三年某市生產總值增速（累計，%）的折線統計圖，據該市統計局初步核算，2015年一季度全市生產總值為155238億元，與去年同一時期相比增長129%（如圖，折線圖中其它數據類同）．根據統計圖得出正確判斷是（）A．近三年該市生產總值為負增長B.近三年該市生產總值為正增長C．該市生產總值2013年到2014年為負增長，2014年到2015年為正增長D.以上A、B、C的判斷都不正確-2-10121-1（圖1）-1-2-10121-1（圖1）-11-1（圖2）01A．B．C．D．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9.某校高一學雷鋒志愿小組共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，現在從中任選人，要求每班至多選人，不同的選取方法的種數為.10.2022年冬奧會高山滑雪項目將在延慶小海坨山舉行。小明想測量一下小海坨山的高度，他在延慶城區（海拔約500米）一塊平地上仰望小海坨山頂，仰角15度，他向小海坨山方向直行3400米后，再仰望小海坨山頂，此時仰角30度，問小明測的小海坨山海拔約有米.（11題圖）11.如圖，在邊長為（11題圖）12.如圖，半徑為的⊙中，，為的中點，的延長線交（12題圖）（12題圖）13.等差數列中，已知，，則能取得最(大或小）值為.14.若動點在直線上，動點在直線上，設線段的中點為，且，則的取值范圍是.三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知函數.（Ⅰ）求的最小正周期和單調增區間；（Ⅱ）當時，求函數的最小值和最大值.16.（本小題滿分13分）8181696171586182465194甲乙在一次水稻試驗田驗收活動中，將甲、乙兩種水稻隨機抽取各6株樣品，單株籽粒數制成如圖所示的莖葉圖：（Ⅰ）一粒水稻約為克，每畝水稻約為6萬株，估計甲種水稻畝產約為多少公斤？（Ⅱ）分別從甲、乙兩種水稻樣品中任取一株，甲品種中選出的籽粒數記為，乙品種中選出的籽粒數記為，求的概率.（Ⅲ）如從甲品種的6株中任選2株，記選到的超過187粒的株數為，求的分布列和數學期望.17.（本小題滿分14分）如圖，已知在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，側面為正三角形，側面底面，為線段的中點.（Ⅰ）求證：底面；（Ⅱ）求證：二面角為直二面角；（Ⅲ）在側棱上是否存在一點，使得平面？如果存在，求18.（本小題滿分13分）已知函數．(Ⅰ)求函數在處的切線方程；(Ⅱ)若，討論函數零點的個數．19.（本小題滿分14分）已知橢圓的長軸長為，離心率.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設過橢圓的上頂點的直線與橢圓的另一個交點為，與軸交于點，線段的中點為，線段的垂直平分線分別交軸、軸于、兩點.問：是否存在直線使與的面積相等（為坐標原點）？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，說明理由.20.（本小題滿分13分）已知數列滿足，對任意都有．從數列中取出部分項，并將它們按原來順序組成一個數列，稱之為數列的一個子數列.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求數列的通項公式；（Ⅲ）證明：當且時，數列不存在無窮等差子數列.延慶區2015—2016學年度一模統一考試高三數學（理科答案）2016年3月一、選擇題：CAADCDBC二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9.10.米11.12.13.大，14.三、解答題：15.（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）………2分………4分所以，的最小正周期為.………5分由………6分得………7分的單調增區間為.………8分（Ⅱ）當時，，………9分所以，當，即時，取得最大值；………11分當，即時，取得最小值.………13分16.（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）甲種水稻樣本單株平均數為182粒，把樣本平均數看做總體平均數，則甲種水稻畝產約為公斤.………2分（Ⅱ）.………7分（Ⅲ）的可能取值為，，，，的分布列為：.………13分17.（本小題滿分14分）（Ⅰ）證明：因為為正三角形，為線段的中點，所以，又因為側面底面，側面底面，平面，所以，底面.………3分（Ⅱ）證明：如圖，取、依次為軸、軸建立空間直角坐標系.則、、、.…5分證明一：，，，設平面的法向量為，平面的法向量為，，……eq\o\ac(○,1)，……eq\o\ac(○,2)取，由eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)解得，所以；………7分，…………eq\o\ac(○,3)，……eq\o\ac(○,4)取，由eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)解得，所以. ………9分因為，所以平面平面，所以，二面角為直二面角. ………10分證明二：取的中點為，因為，所以，又，所以，，所以，又平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面，所以，二面角為直二面角. ………10分（Ⅲ）假設存在滿足題設的點，設，則，即，解得，則，………12分向量的方向量為，，解得. ………13分當時，，又，所以平面.所以，在棱上存在一點，使得平面，.………14分18.（本小題滿分13分）解：(Ⅰ)，，切點為，則切線方程為，即.………3分(Ⅱ)函數零點的個數即是方程根的個數，等價于兩個函數與函數圖象交點的個數．…4分 ………5分當時，在上單調遞增；………6分當時，，在上單調遞減；………7分當時，，在上單調遞增，………8分∴在上有最小值為.………9分當時，函數與函數圖象交點的個數為1；…10分當時，函數與函數圖象交點的個數為2；……11分當時，曲函數與函數圖象交點的個數為3.………12分綜上所述，當時，函數有三個零點；當時，函數有兩個零點；當時函數有一個零點．………13分19.（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）.，. ………3分（Ⅱ）假設滿足題設條件的直線存在，則直線的斜率存在且不等于零.由（Ⅰ）知，設直線的方程為.………5分令，解得，..………7分消去，得，………8分.………9分直線的方程：，………10分.………11分. ………12分因為與的面積相等，所以與的面積相等，，.矛盾.………13分所以滿足題設條件的直線不存在.………14分20.（本小題滿分13分）（Ⅰ）.………2分（Ⅱ）對任意都有成立，，∴令，得．∴數列是首項和公比