第五章生活中的軸對稱章末復習章末復習知識框架軸對稱的性質生活中的軸對稱簡單的軸對稱圖形角等腰三角形軸對稱現象應用線段軸對稱現象軸對稱圖形兩個圖形成軸對稱軸對稱的性質作對稱點、對稱線段作軸對稱圖形應用設計軸對稱圖案軸對稱性“三線合一”等腰三角形兩底角相等等邊三角形三邊相等,三個內角均為60°有三條對稱軸軸對稱性線段垂直平分線的性質線段軸對稱性角平分線的性質角【要點指導】軸對稱圖形的識別：方法1,動手折疊,再看折痕所在直線兩旁的兩部分能不能“完全重合”；方法2,找對應點,也可以從反面入手,即先找“對稱軸”,再看是不是每一個點都有關于這條直線對稱的對應點,如果有一個點沒有對應點,那么這個圖形就不是軸對稱圖形.歸納整合專題一軸對稱圖形的識別例1在下面由冬季奧運會比賽項目圖標組成的四個圖形中,可以看作是軸對稱圖形的是().圖5-Z-1D相關題1在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中,是軸對稱圖形的是().A圖5-Z-2【要點指導】與軸對稱有關的作圖題能有效地考查同學們的動手操作能力和空間想象能力,一直是考試的熱點.考查的基本題型有：(1)畫軸對稱圖形；(2)確定對應點；(3)確定對稱軸.作圖的關鍵是作對稱軸的垂線段,確定原圖形上的點關于對稱軸的對應點.專題二與軸對稱有關的作圖問題及其應用例2如圖5-Z-3所示,已知△ABC和直線MN.求作：△A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC關于直線MN對稱.(不要求寫作法,只保留作圖痕跡)圖5-Z-3分析分別過點A,B,C作MN的垂線段并延長到點A′,B′,C′,使點A′,B′,C′到MN的垂線段的長度分別等于點A,B,C到MN的垂線段的長度,連接A′B′,A′C′,B′C′,即得△A′B′C′.解：如圖5-Z-3所示.圖5-Z-3相關題2

[綏化中考]如圖5-Z-4,在8×8的正方形網格中,每個小正方形的邊長都是1.已知△ABC的三個頂點都在格點上,畫出△ABC關于直線l對稱的△A1B1C1.圖5-Z-4解：如圖所示．【要點指導】關于線段垂直平分線,關鍵是要把握它的性質及與它有關的基本作圖的步驟、技巧．借助“線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等”,實現相關線段的轉移.專題三線段垂直平分線的性質及應用例3

[遂寧中考]如圖5-Z-5,在△ABC中,AC=4cm,線段AB的垂直平分線交AC于點N.若△BCN的周長是7cm,則BC的長為().A．1cm

B．2cm

C．3cm

D．4cm圖5-Z-5,C分析因為MN是線段AB的垂直平分線,所以AN=BN.又因為△BCN的周長是7cm,所以AN+NC+BC=BN+NC+BC=7cm,而AN+NC=AC,故AC+BC=7cm.因為AC=4cm,所以BC=7-4=3(cm).相關題3如圖5-Z-6,在△ABC中,分別以點A和點B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,N,作直線MN,交BC于點D,連接AD.若△ADC的周長為10,AB=7,則△ABC的周長為().A．7

B．14C．17

D．20圖5-Z-6C[解析]由作圖可知MN是線段AB的垂直平分線，得AD＝BD，所以△ABC的周長為AC＋BC＋AB＝AC＋CD＋AD＋AB＝10＋7＝17.故選C.【要點指導】角是軸對稱圖形,對稱軸是角平分線所在的直線；角平分線分得的兩個角相等,角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等,角平分線可以看作是到角兩邊距離相等的所有點的集合.專題四角平分線性質的運用例4如圖5-Z-7,在直角三角形ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分線BD交AC于點D,AD=3,BC=10,則△BDC的面積是

.圖5-Z-715分析過點D作DE⊥BC于點E,則DE=AD=3.又因為BC=10,所以S△BDC=BC·DE=×10×3=15.相關題4如圖5-Z-8,OP平分∠MON,PA⊥ON于點A,Q是射線OM上的一個動點.若PA=3,則PQ的長不可能為().A．1 B．3C．5 D．7圖5-Z-8A[解析]如圖，過點P作PQ⊥OM，垂足為Q，則此時PQ的長最小．因為OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，所以PQ＝PA＝3，即PQ的最小值是3，不可能取1.故選A.【要點指導】折疊后的圖形與折疊前的圖形關于折痕所在的直線成軸對稱,即折疊前后的圖形全等,常利用這一點求線段的長或角的度數.專題五折疊中的對稱例5如圖5-Z-9所示,把直角三角形紙片沿過頂點B的直線(BE交CA于點E)折疊,直角頂點C落在斜邊AB上,如果折疊后得等腰三角形EBA,那么下列結論：①∠ABC=60°；②點C與AB的中點重合；③點E到AB的距離等于CE的長.其中正確的個數是().A．0

B．1

C．2

D．3圖5-Z-9D分析因為把直角三角形紙片沿過頂點B的直線(BE交CA于點E)折疊,直角頂點C落在斜邊AB上,折疊后得等腰三角形EBA,所以∠A=∠EBA,∠CBE=∠EBA,所以∠A=∠CBE=∠EBA.因為∠C=90°,所以∠A+∠CBE+∠EBA=90°,所以∠A=∠CBE=∠EBA=30°,所以∠ABC=60°,故①正確.因為∠A=∠EBA,∠EDB=90°,所以AD=BD,故②正確.因為∠C=∠EDB=90°,∠CBE=∠EBD=30°,所以CE=DE(角平分線上的點到角兩邊的距離相等),所以點E到AB的距離等于CE的長,故③正確.綜上,正確的有3個.相關題5[烏魯木齊中考]如圖5-Z-10,△ABC的面積等于6,邊AC的長為3,現將△ABC沿AB所在直線翻折,使點C落在直線AD上的點C'處,點P在直線AD上,則線段BP的長不可能是().A．3 B．4C．5 D．6A圖4-Z-10【要點指導】等腰(等邊)三角形是軸對稱圖形,其對稱軸是頂角平分線(或底邊上的高或底邊上的中線)所在的直線.等腰三角形有以下性質：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(簡稱“三線合一”)；等腰三角形的兩底角的平分線相等；等腰三角形底邊的垂直平分線上的點到兩條腰的距離相等.等邊三角形是特殊的等腰三角形,以上性質對等邊三角形都適用.專題六等腰(等邊)三角形性質的應用例6如圖5-Z-11,在直角三角形ABC中,∠C=90°,直線BD交AC于點D,把直角三角形沿著直線BD翻折,點C恰好落在斜邊AB上.如果△ABD是等腰三角形,那么∠A等于().A．60°

B．45°

C．30° D．22.5°圖5-Z-11C分析根據題意,得∠CBD=∠ABD.因為△ABD是等腰三角形,所以∠ABD=∠A,所以∠ABD=∠A=∠CBD.又因為∠C=90°,所以∠A+∠ABC=3∠A=90°,解得∠A=30°.相關題6[黔西南州中考]如圖5-Z-12,已知△ABC是等邊三角形,點B,C,D,E在同一條直線上,且CG=CD,DF=DE,則∠E=°

.15圖5-Z-12【要點指導】線段的垂直平分線和角平分線性質的應用體現了數學建模思想,解決這類題目的關鍵是：首先要理解題意,把生活中的情景問題轉化為數學模型來考慮；其次是用學過的知識來分析建立數學模型,把復雜的問題分解成一個個我們熟悉的數學知識點來解決,“分析——構建模型——設計方案——論證方案——得出結論”是解決此類題目的五個步驟.素養提升專題一數學建模思想例1如圖5-Z-13,公路l同側有A,B兩個工廠,現要在公路上建一倉庫.(1)若要使倉庫到A,B兩工廠的距離相等,倉庫應建在何處？(2)若要使倉庫到A,B兩工廠的距離之和最短,倉庫應建在何處？圖5-Z-13分析(1)由線段垂直平分線的性質可知倉庫應建在線段AB的垂直平分線上.又因為倉庫在公路上,所以線段AB的垂直平分線與公路l的交點即為倉庫應建的地點.(2)如果A,B兩點在直線l的兩側,那么連接AB與l的交點即為所求,由于現在A,B兩點在l的同側,因此可考慮作點A(或點B)關于l的對稱點C,由軸對稱的性質可知,直線l上任意一點到點A,C的距離相等,這樣就把直線l上一點到點A的距離轉化為到點C的距離,因此連接BC與l的交點即為所求.解：(1)如圖5-Z-14①,連接AB,作AB的垂直平分線交直線l于點P,點P就是所要求作的倉庫的位置.(2)如圖5-Z-14②,作點A關于直線l的對稱點C,連接BC交直線l于點D,點D就是所要求作的倉庫的位置.圖5-Z-14相關題1-1如圖5-Z-15,需要在高速公路旁邊修建一個飛機場,使飛機場到A,B兩個城市的距離之和最小,請作出機場的位置.圖5-Z-15[解析]利用軸對稱的性質可作點A關于公路的對稱點A′，連接A′B，與公路的交點就是飛機場的位置．解：點P就是飛機場的位置．相關題1-2已知直線l及其兩側兩點A,B,如圖5-Z-16.(1)在直線l上作一點P,使PA=PB；(2)在直線l上作一點Q,使l平分∠AQB．(以上兩小題保留作圖痕跡,標出必要的字母,不要求寫作法)圖5-Z-16解：(1)作線段AB的垂直平分線與直線l的交點即為所求，圖略．(2)作點A關于直線l的對稱點A′，連接BA′并延長交l于點Q，點Q即為所求，圖略．【要點指導】等腰三角形是一種特殊而又十分重要的三角形,它的邊、角的特殊性在處理許多幾何問題中起著關鍵的作用.求解與等腰三角形的邊、角有關的計算題時,在條件不明確的情況下,應根據題目的特點分類討論.專題二分類討論思想例2已知一個等腰三角形兩個內角的度數之比為1∶4,則這個等腰三角形頂角的度數為().A．20°

B．120°

C．20°或120°

D．36°C分析應分等腰三角形頂角與底角的度數之比為1∶4和等腰三角形底角與頂角的度數之比為1∶4兩種情況討論.具體過程如下：設等腰三角形的頂角為α.(1)若等腰三角形頂角與底角的度數之比為1∶4,則α+4α+4α=180°,解得α=20°；(2)若等腰三角形底角與頂角的度數之比為1∶4,則α+α+α=180°,解得α=120°.綜上,這個等腰三角形頂角的度數為20°或120°.故選C.相關題2已知等腰三角形一腰上的中線把該三角形的周長分成18cm和21cm的兩部分,求該等腰三角形的各邊長.[解析]畫草圖如圖，腰AC上的中線BD把△ABC的周長分成18cm和21cm的兩部分，列方程可解決問題．中考鏈接母題1(教材P117習題5.1第1題)觀察下面的圖形,哪些圖形是軸對稱圖形？如果是軸對稱圖形,請畫出對稱軸.圖5-Z-17考點：軸對稱圖形.考情：主要考查軸對稱圖形及對稱軸數量的判斷,多在選擇題中出現.策略：判斷一個圖形是不是軸對稱圖形,可采用折疊的方法,看折痕所在直線兩邊的部分是否能夠重合.若能找到一條直線,使該圖形沿著這條直線折疊,直線兩旁的部分互相重合,則這個圖形就是軸對稱圖形,這條直線就是對稱軸.鏈接1

[天津中考]在一些美術字中,有的漢字是軸對稱圖形.下面4個漢字中,可以看作是軸對稱圖形的是().A圖5-Z-18鏈接2

[廣州中考]如圖5-Z-19所示的五角星是軸對稱圖形,它的對稱軸共有().A．1條B．3條C．5條D．無數條C圖5-Z-19母題2(教材P122隨堂練習第3題)如圖5-Z-20,在下面的等腰三角形中,∠A是頂角,分別求出它們的底角的度數.圖5-Z-20考點：等腰三角形.考情：主要考查等腰三角形的周長、邊長及角度的計算.策略：(1)等腰三角形中求角度時,一定要分清頂角和底角.若已知等腰三角形的頂角為x°,則底角為

；若底角為x°,則頂角為(180-2x)°.(2)計算角的度數時,往往結合三角形的內角和為180°,運用方程思想計算.鏈接3

[呼倫貝爾中考]如圖5-Z-21,在△ABC中,AB=AC,過點A作AD∥BC.若∠1=70°,則∠BAC的度數為().A．40°

B．30°C．70°

D．50°A圖5-Z-21分析因為AD∥BC,所以∠C=∠1=70°.因為AB=AC,所以∠B=∠C=70°,所以∠BAC=180°-∠B-∠C=40°.故選A.鏈接4

[湖州中考]如圖5-Z-22所示,AD,CE分別是△ABC的中線和角平分線.若AB=AC,∠CAD=20°,則∠ACE的度數是().A．20° B．35°C．40° D．70°B圖5-Z-22分析因為AD是△ABC的中線,AB=AC,∠CAD=20°,所以∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=(180°-∠CAB)=70°.因為CE是△ABC的角平分線,所以∠ACE=∠ACB=35°.母題3(教材P124習題5.4第1題)畫一條線段AB,利用尺規求作它的四等分點.考點：線段垂直平分線、尺規作圖.考情：利用尺規作線段的垂直平分線.策略：找線段的中點實際就是作線段的垂直平分線