（優選）博弈模型數模目前一頁\總數四十九頁\編于點宇宙間處處存在矛盾、沖突、爭斗、合作、共生等現象，這些現象很很早就引起各類學者的重視。數學被認為是科學的語言，能否用數學語言描述各種帶有矛盾因素的模型或現象？博弈論便是這樣一種處理各類帶有矛盾因素的模型的數學工具。博弈論現在已被數學、經濟學、社會學、軍事學、生物學等專家廣泛應用于討論各類帶有沖突、矛盾、合作、競爭、進化等問題及相關模型之中。博弈論已成為人們分析復雜系統與作重大決策時的有力工具。目前二頁\總數四十九頁\編于點一、博弈論基本概念世事紛爭一棋局許多沖突模型在游戲中就存在，博弈論早期就是由研究國際象棋開始的，所以被命名為GameTheory。人們很快認識到此種理論可用于經濟、政治、軍事等領域。1944年馮·諾曼和奧·摩根斯特恩合著的《競賽論與經濟行為》問世，總結了初期研究成果，奠定了博弈論的基礎。由于該理論主要討論在復雜的矛盾沖突等活動中，局中人（Player）采取何種合理的策略（strategy）而能處于“優越”的地位，以便取得較好效益，所以將它譯為博弈論。

博弈論（Gametheory）可以被定義為是對智能的理性決策者之間沖突與合作的數學模型的研究。目前三頁\總數四十九頁\編于點

常見的游戲如棋類，兩人對奕，此兩人便稱為局中人，他們各有一套棋路，或善于用馬，或長于用炮。在每次輪到一方走子時，他可能有許多走法，這些走法依賴于當時棋局形勢以及棋手想要達到的目的，以及他慣用的走法，從而形成他走棋的指導思想。對奕時指導棋手行動的思想便稱為策略。對局終了可能有三種結局：甲勝；乙勝；和局。如果用數量表示各種結局，例如勝家贏得彩金若干（設所得彩金由輸家付給，則輸家當然失去若干），和局時都不能取得彩金，此種表示結局的數稱為支付（payoff）。局中人、策略、支付是博弈論中常見的基本概念,下面我們將逐一介紹。

目前四頁\總數四十九頁\編于點（1）參與者參與者指的是一個博弈中的決策主體，通常又稱為參與人或局中人。博弈參與者集合一般表示為

參與者參加博弈的目的是通過合理選擇自己的行動，以期取得最大化自己的收益（或效用）水平。參與者可以是自然人，也可以是企業、團體、國家，甚至是國家組成的集團（如歐盟、OPEC等）。對參與者而言，在博弈過程中，他必須有不同的行動可作應對選擇。在博弈的結局中，他能知道或計算出各參與者不同的行動組合產生的效益（或效用）。目前五頁\總數四十九頁\編于點（2）戰略戰略是參與者如何對其他參與者的行動作出反應的行動規則，它規定參與者在什么時候該選擇什么行動。或者說。戰略是參與者“相機行動方案”。目前六頁\總數四十九頁\編于點（3）收益函數在博弈論中，收益指的是在一個特定的戰略組合下參與者得到的確定效用或期望效用。效用通常表現為博弈結果中輸贏、得失、盈虧。效用必須能用數值刻畫其大小。收益是博弈參與者真正關心的問題

。注釋：博弈論的一個基本特征是一個參與者的收益不僅取決于自己的戰略選擇，而且取決于所有參與者的戰略選擇。或者說，收益是所有參與者各選定一個戰略形成的戰略組合的函數。在博弈論中，通常用ui表示參與者i的收益，一個戰略組合是，每個參與者的收益可以表示為目前七頁\總數四十九頁\編于點參與者、戰略、收益函數是標準博弈的三要素。由前面我們對這三要素的分析，可以得到一個標準博弈的定義：標準博弈的定義：目前八頁\總數四十九頁\編于點（4）博弈的解—納什均衡注釋：研究博弈問題就是建立博弈模型，求解博弈的納什均衡，下面我們用實例來說明我們的理論及應用目前九頁\總數四十九頁\編于點信息信息指的是參與者在博弈過程中能了解到和觀察到的知識。這些知識包括“自然”的選擇，其他參與者的特征和行動等。信息對參與者是至關重要的，因為一個參與者在每一次進行決策之前，必須根據觀察到的其他參與者的行動和了解的有關情況作出自己的最佳選擇。由于信息內涵的不同，派生出各種有關信息的概念將博弈論劃分成不同的類型，因此尋求博弈間的方法也不同。這里只就信息有關的兩個基本的、重要的概念進行討論。首先，關于“共同知識”的概念。一個博弈問題所涉及的“自然”的不同選擇、參與者的行動以及相應產生的效用（效果、收益）都是一種知識（信息）。博弈論所謂的共同知識指的是“所有參與者知道，所有參與者知道所有參與者知道，所有參與者知道所有參與者知道所有參與者知道……”的知識。目前十頁\總數四十九頁\編于點

為了說明共同知識的重要性，我引用一個眾所周知的寓言。故事發生在一個村莊，村里有100對已婚夫婦，他們都是地道的邏輯學家，但也有一些多少有點奇特的社會風俗。每天晚上，村里的男人們都將點起篝火，繞圈圍坐舉行一個會議，且每個人都談論自己的妻子。在會議開始時，如果一個男人有理由認為他的妻子對他總是守貞的，那么他就對在坐的男人們贊揚她的美德。另一方面，如果在當前會議之前的任何時間，只要他發現了他妻子不貞的證據，那他就會悲鳴慟哭，并祈求神靈嚴厲地懲罰她。再則，如果一個妻子曾有不貞，那她和她的情人將會立即通知村里除她丈夫外所有的男人。所有這些傳統都是村民們的共同知識。目前十一頁\總數四十九頁\編于點

事實上，每個妻子都已對自己的丈夫不忠。于是，每個丈夫都知道除自己的妻子外都是不貞的女人，而對自己的妻子每晚都要贊揚。

這種狀況持續了很多年，直到一個傳教徒走訪到這個村莊。他坐在髯火旁參加了一次會議并聽到每個男人都贊揚自己的妻子之后，他站到丈夫們圍坐的圓中心，大聲地說：“這個村里有一個妻子已經不貞了。”在此后的99個晚上丈夫們繼續開會并贊揚他們的妻子，但在第100個晚上，他們全都悲鳴偷哭并祈求嚴厲地懲罰他們的妻子。目前十二頁\總數四十九頁\編于點

現在，讓我們試問一下，這個傳教徒告訴了這些丈夫們他們所不知道的什么？每個丈夫都已經知道了99個不貞的妻子，故這對任何人來說都不是新聞。但“這個傳教徒對所有男人做了一個聲明”是共同知識，從而這個傳教徒所聲明的內容，即有一個不貞的妻子，也就成了所有男人中間的共同知識。在傳教徒宣告之前，每個形如“（每個丈夫知道）有一個不貞的妻子”的判斷對于99都是正確的，但對100就不正確了。目前十三頁\總數四十九頁\編于點

其次，關于“完全信息”的概念。完全信息是博弈論非常重要的基本概念，有了上述的共同知識概念，這里就可以給出完全信息的嚴格定義。完全信息指的是所有參與者各自選擇的行動的不同組合所決定的各參與者的收益對所有參與者來說是共同知識。簡單通俗地說，完全信息是指每一個參與者對自己以及其他參與者的行動，以及各參與者選擇的行動組合產生的收益等知識有完全的了解。目前十四頁\總數四十九頁\編于點二、囚徒困境博弈模型分析兩個共同作案的犯罪嫌疑人被捕，并受到指控。除非至少一個人招認犯罪，否則警方無充分證據將他們按罪判刑。警方把他們關入不同的牢室，并對他們說明不同行動帶來的后果。如果兩人都采取沉默的抗拒態度，因警方證據不足，兩人將均被判為輕度犯罪入獄1個月；如果雙方都坦白，根據案情兩人將被判入獄6個月；如果一個招供而另一個拒不坦白，招認者因有主動認罪立功表現將立即釋放，而另一人將被判入獄9個月（所犯罪行判6個月，干擾司法加判3個月）。1、問題的提出這兩個犯罪嫌疑人是坦白還是拒不坦白呢？目前十五頁\總數四十九頁\編于點3、問題分析囚徒困境問題可以用圖1－1所示的雙變量矩陣的形式來描述。注釋：在此博弈中，每個囚徒有兩種戰略可供選擇：坦白（或招認）、不坦白（或沉默）。圖1-1的矩陣中每一個單元的兩個數字表示一組特定的戰略組合下兩個囚犯的收益（或支付、效用，這里已經開始引用經濟學的術語了），其中第1個數字是囚徒1（習慣上是位于矩陣橫行上的參與者）的收益，第2個數字是囚徒2（位于豎行上的參與者）的收益。如果囚徒1選擇沉默，而囚徒2選擇坦白，那么囚徒1的收益是－9（表示判刑9個月），囚徒2的收益為0（表示馬上釋放）。2、假設：兩囚徒都是理性的和智能的。目前十六頁\總數四十九頁\編于點4、模型建立參與者集合：Γ={囚徒1，囚徒2}戰略空間：S1=S2={坦白，沉默}u1(坦白,坦白)=u2(坦白,坦白)＝-6，u1(沉默,坦白)＝u2(沉默,坦白)=-9u1(坦白,沉默)＝u2(坦白,沉默)=

0，u1(沉默,沉默)＝u2(沉默,沉默)=-1收益函數目前十七頁\總數四十九頁\編于點5、模型求解目前十八頁\總數四十九頁\編于點6、結果分析戰略組合（沉默，沉默），即如果兩個人都不坦白，各人只判刑一個月，不是比戰略組合（坦白，坦白）帶來的各判刑6個月要好嗎？注釋：這正是囚徒困境的“困境”兩個字的體現，如果用經濟學中的“有效”的術語的意思來講，（沉默，沉默）是一個有效結局。有效結局并不是囚徒問題的博弈解。這體現了個人利益和全體利益的矛盾。目前十九頁\總數四十九頁\編于點7、模型的推廣與應用與囚徒困境類似的博弈問題在經濟、社會等領域有許許多多的版本。應用1：A,B兩個公司以高低兩種價格向市場競相銷售同一種產品。注釋：雙方協定以高價格壟斷市場，可以使彼此獲得滿意的利潤收益，至少要好于雙方都以低價格出售產品的情形。但如果某一方堅持高價，而另一方為了獨占市場卻將產品以低價格推銷，因為協定不被遵守時是不會受處罰，那么后者將獲高盈利而前者將損失慘重。市場上商品的價格戰，常常出現的結局一般是以低價格銷售商品，消費者從中得到好處，如現在的通信三大運營商：移動、電信和聯通，這種結果正是博弈論預測的合理結局，你們不妨自己設計一個類似于圖1-1的A,B公司的收益矩陣。應用2：軍備競賽問題注釋：美蘇冷戰期間，兩個超級大國構成博弈的兩方，可供選擇的戰略是：擴軍（增加軍費運算）、裁軍（減少軍費運算）。如果雙方都熱衷于擴軍，兩國都要為此付出高額軍費（從社會福利角度來看這是一筆龐大的付收益）;如果雙方都選擇裁軍，則可省下這筆錢；如果一方面裁軍而另一方面進行擴軍，擴軍的一方到時候就會以武力相威脅甚至發動戰爭，這是，戰爭勝敗雙方的收益與支付將出現難以估量的差異。博弈論給出軍備競賽問題的是戰略組合(擴軍，擴軍)，博弈理論預測雙方都擴軍可以達到對抗中的相對穩定，這是一個符合現實的合理結局。目前二十頁\總數四十九頁\編于點三、海灘占位博弈模型分析甲乙兩個冷飲攤販，他們在一個直線狀的海灘上，以同樣的價格、相同的質量向均勻分布在海灘上的眾多游客（他們來此享受海水和陽光，進行日光浴或游泳活動）銷售冷飲。既然是做生意，目的總是希望盡可能多賺點錢，甲乙兩人又是在同一地點做同樣的生意，競爭就是不可避免的事情了。1、問題的提出這兩個冷飲攤販應該如何安置自己的攤位，才能相安無事地做各自的生意呢？目前二十一頁\總數四十九頁\編于點3、建模（1）參與者集合：Γ={甲，乙}（2）戰略空間：S1=[0,1/2],S2=[1/2,1]（3）收益函數:2、問題分析與假設：（1）兩攤販都是理性的和智能的；（2）游客總是到距離自己最近的攤位購買冷飲；（3）為了敘述方便，不妨將海灘長度標準化為1。目前二十二頁\總數四十九頁\編于點對所有x∈S1＝[0,1/2]和y∈S2＝[1/2,1]都成立。

目前二十三頁\總數四十九頁\編于點4、模型求解目前二十四頁\總數四十九頁\編于點5、結果分析與推廣和應用結果分析：按通常的想法，如圖1-3，甲在1/4處設攤，乙在3/4處設攤，這樣既方便了顧客，又照顧到甲乙二人各占約一半顧客的生意，可謂公平合理。問題不是簡單的解決了嗎？注釋：事情并不像想象的那么簡單。甲乙二人做同樣的生意，兩人之間就存在競爭，這就構成了一個博弈問題。站在甲的角度考慮，只要手段合法，多攬一點顧客就可以多賺一點錢。基于這樣的理性想法，甲就會將自己的攤位向右挪動到A點（見圖1－3）。這時，從0到M（這里M是A至3/4處的中點）范圍內的顧客都會去買甲的冷飲，甲就從乙的手里挖走一部分顧客，即圖1－3中陰影所示的1/2到N的那一部分。乙也是一個理性的生意人，他會估計到甲可能作出的動作，因此，他也會將自己的攤位向左邊移動。照此下去，最后的結果是甲乙二人都擠在一起，緊接著，在海灘的中點（1/2處）做冷飲生意。

推廣應用：同一城市的不同航空公司經營的飛往同一目的地的航班，常常出現起飛時刻幾乎相同的現象。就是在文化娛樂方面，也能運用海灘占位的博弈結論予以解釋。如果把電視中高雅藝術節目與較低檔的節目比作海灘的兩端，那么眾多的電視觀眾就可以看作是散布在海灘上的游客。電視臺常常將黃金時段的電視節目定位在中等檔次，以提高收視率。目前二十五頁\總數四十九頁\編于點四、智豬爭食博弈1、問題的提出豬圈里喂養兩頭豬，一頭大豬，一頭小豬。豬圈的一邊有一個豬食槽，對面的一邊裝有控制開關。只要豬用鼻頭去拱控制開關，就會一次有6個單位的飼料流進豬食槽。如果大豬和小豬都不去拱開關，那么它們都吃不到飼料。如果小豬去拱開關，那么等它跑到另一邊的豬食槽時，大豬已將流出的飼料全部都吃光了。如果大豬去拱開關，那么等它跑到豬食槽旁邊，小豬差不多已吃掉了5個單位的飼料，結果大豬只能吃到1個單位的飼料。如果大豬、小豬一起去拱開關，再一起跑去吃食，那么大豬可搶到4個單位的飼料，小豬也只能吃掉2個單位的飼料。假定每拱一次開關需要消耗0.5個單位飼料的能量。大小豬分別是去拱還是不去拱開關？目前二十六頁\總數四十九頁\編于點2、分析與假設、建模、模型求解大豬和小豬長期在一起進食，上面所說的情況（信息、知識）已為它們所掌握。所以可假設大小豬都是理性的和智能的。仿照例一囚徒困境的情形，就可以畫出如圖1－4所示的雙變量矩陣。仿照例一囚徒困境的情形，可以建立出該問題的博弈模型并求出其解。智豬爭食問題的博弈論解是戰略組合（拱，不拱）注釋：在這個博弈中，大豬與小豬都有兩種戰略選擇：拱、不拱。在這個例子中可以發現，不論大豬選擇拱還是不供，小豬的最優選擇總是不拱。這是因為，如果大豬去拱開關，小豬不拱（等在豬食槽旁邊）比拱后再跑回去爭食要劃算（5>1.5）；如果大豬不去拱開關，小豬不拱頂多都不得食，而去拱就要白白消耗能量，不劃算（0>-0.5）。所以，不拱是小豬的占優戰略。給定小豬總是選擇不拱，大豬的最優選擇總是拱。這樣，智豬爭食問題的博弈論解是戰略組合（拱，不拱）。目前二十七頁\總數四十九頁\編于點3、結果分析與推廣和應用比如股份公司中就有大股東和小股東之分。股東都有監督經理的職能，他們從監督中得到的收益并不一樣。在監督成本相同的情況下，大股東從監督中得到的好處顯然多于小股東。通常在股份公司里，總是由大股東擔當監督任務，而小股東則搭大股東的便車。股票市場上也有類似現象。一般大戶總是重視搜集信息，積極進行行情分析。對小戶而言，跟大戶是常見現象。進行產品研究、開發以及新產品廣告宣傳時，對大企業而言，其資金實力及可望的收益會使大企業有投資的積極性，而小企業往往會得不償失。小企業通常采取與大企業建立協作生產或移植部分技術的做法。智豬爭食模型在社會經濟領域也可以找到許多實例。知識的靈活應用目前二十八頁\總數四十九頁\編于點五、庫諾特雙寡頭壟斷競爭模型這兩個企業如何決策產量才會得到最大利潤呢？1、問題的提出目前二十九頁\總數四十九頁\編于點2、問題的分析與模型建立為了求出庫諾特博弈中的解及納什均衡，首先要將其轉化為標準博弈。

（1）參與者集合：Γ={企業1，企業2}（2）戰略空間：S1＝S2=[0,+∞）（3）收益函數:注釋：接下來就需要把企業1、企業2的收益表示為它自己和另一企業所選戰略的函數。假定企業的收益就是其利潤額，這樣在一般的兩個參與者標準式博弈中，企業1和企業2的收益函數就可表示為目前三十頁\總數四十九頁\編于點納什均衡定義不等式（NE）的條件:均衡（q1*,q2*)對應的最優化問題：

目前三十一頁\總數四十九頁\編于點解法一：微分法3、模型求解注釋：利用微積分求極值的辦法，對每個企業的收益函數求一階導數并令其等于零，即可求出納什均衡。

……..(1)

注釋：那么，要使產量成為納什均衡，由式（1）可知，兩個企業的產量選擇必須滿足方程組

…….(2)

由此得：目前三十二頁\總數四十九頁\編于點解方程組（2），得均衡解為

這時，將上式代入各自的收益函數。每個企業的納什均衡利潤為

目前三十三頁\總數四十九頁\編于點解法二：幾何法注釋：庫諾特模型還可以用幾何圖形的方法找出均衡解。

……….（3）

這兩個函數稱為該博弈最優反應函數。

目前三十四頁\總數四十九頁\編于點圖1-5目前三十五頁\總數四十九頁\編于點解法法三：運用逐步剔除嚴格劣戰略的方法首先證明對兩個企業來說，產量q0＝(a－c)/2嚴格優于其他任何更高的產量。

對企業1來說，如果它選擇產量q1＝q0＝(a－c)/2，而企業2選擇產量q2，當Q＝q0＋q2＜a時，企業1的收益（利潤）為

如果企業1選擇產量q1=

q0+x(x>0)，企業2選擇產量q2，當Q=q0+q2<a時，企業1的利潤為目前三十六頁\總數四十九頁\編于點比較上面兩式結果，就能得出

對于企業2來說，類似可導出

目前三十七頁\總數四十九頁\編于點第二步：已知上步的戰略空間為得企業一第二次刪除后剩下的戰略空間

第三步：得企業一第三次刪除后剩下的戰略空間

目前三十八頁\總數四十九頁\編于點第四步：已知上步的戰略空間為…………….第2k步：刪除后剩下的戰略空間為

得企業一第四次刪除后剩下的戰略空間為

第2k+1步：刪除后剩下的戰略空間為

目前三十九頁\總數四十九頁\編于點4、結果分析下面將雙寡頭壟斷競爭與寡頭壟斷情況作一比較。設寡頭壟斷企業的最優產量為q*，這時最優化問題是注釋：但這樣安排存在一個問題，就是每家企業都有動機偏離它。因為寡頭壟斷產量q較低，相應的市場價格p(q)就比較高，在這一價格下每家企業都會傾向于提高自己的產量，而不顧這種產量的增加會降低市場價格。這又出現了在囚徒困境問題中的個人理性與團體理性沖突的現象。目前四十頁\總數四十九頁\編于點六、兩個博弈論研究著名學者簡介1、計算機之父、博弈論創始人——馮·諾伊曼約翰·馮·諾伊曼(JohnVonNeumann，1903—1957)，美籍匈牙利人。1921—1923年在蘇黎世大學學習。很快又在1926年以優異的成績獲得了布達佩斯大學數學博士學位，此時馮·諾伊曼年僅22歲。馮·諾伊曼是20世紀最優秀的數學家之一，因1946年發明電子計算機而被西方人譽為“計算機之父”。1957年2月8日在醫院逝世，享年53歲。

目前四十一頁\總數四十九頁\編于點主要科學研究貢獻注釋：馮·諾伊曼從小就顯示出數學天才，關于他的童年有不少傳說。大多數的傳說都講到馮·諾伊曼自童年起在吸收知識和解題方面就具有驚人的速度。六歲時他能心算做八位數乘除法，八歲時掌握微積分，十二歲就讀懂領會了波萊爾的大作《函數論》要義。馮·諾依曼的第一篇論文是和菲克特合寫的，是關于車比雪夫多項式求根法的菲葉定理推廣，注明的日期是1922年，那時馮·諾依曼還不滿18歲。（1）、三項最重要的數學工作：

在1930～1940年間，馮·諾依曼在純粹數學方面取得的成就更為集中，創作更趨于成熟，聲譽也更高漲。后來在一張為國家科學院填的問答表中，馮·諾依曼選擇了量子理論的數學基礎、算子環理論、各態遍歷定理三項作為他最重要數學工作。（2）、一般應用數學：1940年，是馮·諾依曼科學生涯的一個轉換點。在此之前，他是一位通曉物理學的登峰造極的純粹數學家；此后則成了一位牢固掌握純粹數學的出神入化的應用數學家。他開始關注當時把數學應用于物理領域去的最主要工具——偏微分方程。研究同時他還不斷創新，把非古典數學應用到兩個新領域：對策論和電子計算機。目前四十二頁\總數四十九頁\編于點(3)、博弈論馮·諾依曼不僅曾將自己的才能用于武器等研究，而且還用于社會研究。1928年，馮·諾依曼證明了博弈論的基本原理，從而宣告了博弈論的正式誕生。由他創建的對策論，無疑是他在應用數學方面取得的最為令人羨慕的杰出成就。注釋：1944年，馮·諾依曼和摩根斯特思合著的《博弈論和經濟行為》是這方面的奠基性著作。將二人博弈推廣到n人博弈結構并將博弈論系統的應用于經濟領域，從而奠定了這一學科的基礎和理論體系。論文包含了博弈論的純粹數學形式的闡述以及對于實際應用的詳細說明。這篇論文以及所作的與某些經濟理論的基本問題的討論，引起了對經濟行為和某些社會學問題的各種不同研究，時至今日，這已是應用廣泛、羽毛日益豐盛的一門學科。有些科學家熱情頌揚它可能是“20世紀前半期最偉大的科學貢獻之一”。目前四十三頁\總數四十九頁\編于點(4)、計算機對馮·諾依曼聲望有所貢獻的最后一個課題是電子計算機和自動化理論。1944年，諾伊曼參加原子彈的研制工作，該工作涉及到極為困難的計算。在對原子核反應過程的研究中，要對一個反應的傳播做出“是”或“否”的回答。解決這一問題通常需要通過幾十億次的數學運算和邏輯指令，盡管最終的數據并不要求十分精確，但所有的中間運算過程均不可缺少，且要盡可能保持準確。他所在的洛·斯阿拉莫斯實驗室為此聘用了一百多名女計算員，利用臺式計算機從早到晚計算，還是遠遠不能滿足需要。無窮無盡的數字和邏輯指令如同沙漠一樣把人的智慧和精力吸盡。被大型計算所困擾的馮·諾伊曼在一次極為偶然的機會中知道了ENIAC計算機的研制計劃，從此他投身到計算機研制這一宏偉的事業中，建立了一生中最大的豐功偉績。目前四十四頁\總數四十九頁\編于點逸聞

一次，在一個數學聚會上，有一個年輕人興沖沖的找到他，向他求教一個問題，他看了看就報出了正確答案。年輕人高興地請求他告訴自己簡便方法，并抱怨其他數學家用無窮級數求解的煩瑣。馮·諾依曼卻說道：“你誤會了，我正是用無窮級數求出的。”可見他擁有過人的心算能力。據說有一天，馮·諾依曼心神不定地被同事拉上了牌桌。一邊打牌，一邊還在想他的課題，狼狽不堪地“輸掉”了10元錢。這位同事也是數學家，突然心生一計，想要捉弄一下他的朋友，于是用贏得的5元錢，購買了一本馮·諾依曼撰寫的《博弈論和經濟行為》，并把剩下的5元貼在書的封面，以表明他“戰勝”了“賭博經濟理論家”，著實使馮·諾依曼“好沒面子”。目前四十五頁\總數四十九頁\編于點2、孤獨的天才——約翰.福布斯.納什納什:生于1928年6月13日。父親是電子工程師與教師，第一次世界大戰的老兵，當時在法國擔任負責后勤工作的中尉。納什小時孤獨內向，雖然父母對他照顧有加，但老師認為他不合群不善社交。美國數學家，前麻省理工學院助教，主要研究博弈論、微分幾何學和偏微分方程。他的理論被運用在市場經濟、計算、演化生物學、人工智能、會計、政策和軍事理論。晚年為普林斯頓大學的資深研究數學家。1994年，他和其他兩位博弈論學家約翰·C·海薩尼和萊因哈德