機械振動理論于德介緒論

振動是日常生活和工程中普遍存在的現象，有機械振動、電磁振蕩、光的波動等不同的形式。這里研究機械振動，如鐘擺的擺動、汽車的顛簸、混凝土振動搗實以至地震等。特點：物體圍繞其平衡位置而往復運動。掌握機械振動的基本規律，可以更好地利用有益的振動而減少振動的危害。

廣義振動：任一物理量(如位移、電流等)在某一數值附近反復變化。機械振動電磁振動

振動有各種不同的形式一、振動工程的重要性

1.大型回轉機械動態失穩造成事故2.橋梁由于共振、風激振動倒塌3.產品包裝4.

汽車舒適性，航天工程5.機床加工質量6.夯士、振動檢測國家重點工程:長江三峽水利樞紐工程,135米蓄水前中孔閘門振動試驗現場(2003年4月應用錘擊模態法)武漢大橋局橋科院、北方交通大學進行的“秦-沈線中華之星高速列車通過橋梁振動及結構應變試驗”。中華之星高速列車設計時速260Km/h，實際測試時速321.5Km/h。大橋為28孔雙線后張法預應力混凝土簡支箱梁橋，梁頂寬12.4m，梁高2.2m，梁跨長24.6m。

案例：齒輪箱故障診斷通過齒輪箱振動信號頻譜分析，確定最大頻率分量，然后根據機床轉速和傳動鏈，找出故障齒輪。案例：螺旋漿設計可以通過頻譜分析確定螺旋漿的固有頻率和臨界轉速，確定螺旋漿轉速工作范圍。二、動態問題特點1.復雜性：載荷作用的后效性，響應對載荷的記憶性

2.危險性：共振、自激振動（在無外力的激勵情況下突然振動，振幅上升，如機床、軋鋼機、飛機）、顫振

3.超常性：振動現象難以直觀解釋，如共振、調諧消振器三、工程振動問題類型

1.振動分析(已知輸入,系統求輸出)

2.系統識別(已知輸入和輸出求系統）

3.載荷識別(已知系統,輸出求輸入)四、振動現象分類

1.按系統分：線性、非線性

2.按響應分：定則、隨機

3.按輸入分：自由、強迫、自激（由系統反饋引起）、參數激勵、（隨機或周期改變系統特性）

4.按自由度分、離散、連續離散：常微連續：偏微本課程：線性、時不變系統。

第一章

單自由度系統自由振動1.自由功振動陳微分暢方程工程拋中許油多振費動可翅簡化渡為一塔個質堵量和危一個繩彈簧撤的彈允簧質疊量系寬統，第系統在重閘力作弟用下脖沿鉛烏垂方干向振啊動的鞏，具脹有一有個自烈由度吹，簡稈化為無圖示疫模型渣。下面廟來分論析其輕運動分規律奔，先錢列出造其運所動微何分方胡程。一.單自翠由度鎮系統鋤的自蛙由振廳動在重療力P=mg的作看用下彈簧金變形墓為δs，稱寫為靜疑變形便，該霸位置獵為平要衡位權置。萌重力棍和彈電簧力堡。平衡刺時滿慎足：設彈漏簧原才長為l0，剛性廉系數石為k。取重裂物的冬平衡蔽位置絮點O為坐織標原麗點，津取x軸的例正向伸鉛直趙向下陜。受報力如贏圖草。由質兇點運朽動微獅分方刑程可織列：彈簧高力F：表明蜂，物騙體偏伴離平幸衡位賢置于傭坐標x處，安受到貴與偏初離距淺離成吩正比按而與饞偏離擾方向筒相反鹽的合搭力，劑稱此謎力為紛恢復即力。在恢庭復力督作用思下維掉持的余振動牲稱為群無阻斑尼自處由振湯動。重力煩加在怨振動朵系統憶上只捉改變研其平鄭衡位膨置，嚇只要皆將坐魯標原紐奉點取僚在平并衡位船置，層可得油到如嫁上形扎式的膝運動飽微分尿方程仍。兩端叔除以省質量m，并設移項懼后得:無阻劣尼自當由振舉動微卵分方更程的饑標準晃形式是一盾個二雄階齊什次線站性常范系數荷微分請方程拔。方程你解表帖示為偉：兩個片根為溪：設：代入姑微分工方程眨，消筆去ert得特豎征方濁程：C1和C2是積袋分常盼數，瞞由運舍動的偽起始部條件勵確定。則解藝為：設：其運傘動圖節線為浴：表明繪：無似阻尼禮自由社振動筋是簡釘諧振附動。x（t）=x（t+T）T為常紡數，跑稱為模周期餡，單宋位符號為s。這種殊振動甩經過嚷時間T后又貪重復奴原來練的運猾動。考慮無阻水尼自隔由振增動微貢分方鍬程角度揭周期描為2π，則有:則自蹦由振悄動的哭周期費為：解為欠：2.無阻視尼自抗由振穗動的黑特點（1）固有緣瑞頻率無阻齊尼自跑由振黨動是就簡諧盜振動漢，是羅一種完周期版振動足，任似何瞬栽時t，其運乎動規拜律x（t）總可垮以寫濱為:其中稱為決振動饑的頻率表示切每秒鑰鐘的租振動舒次數愛，其英單位趟符號染為1/s或Hz（赫茲京）。因為ωn=2πf所以ωn表示2π秒內黎的振描動次毫數，晌稱為踐圓頻成率單位吉符號男為ra悲d/宗s（弧囑度/秒）請。由可得閃：自由細振動偽的圓仰頻率ωn只與消表征吹系統宣本身垮特性融的質緊量m和剛滴度k有關惹，而誓與運倦動的著初始牽條件與無關仆；它是傻振動突系統寨的固躺有的霸特性蛋，所介以稱ωn為固捷有圓籍頻率叼。固有蠢頻率件是振思動理凳論中犬的重漂要概佳念，另它反唇映了窄振動歌系統輝的動帆力學時特性蘇，計狡算系歌統的環固有獅頻率食是研適究系員統振智動問狹題的很重要騰課題寒之一乘。由上式盡表明耽：上密述振突動系脾統，珠知道醬重力絨作用跑下的堵靜變銅形，斬就可烘求得酬系統勤的固蔬有頻芽率。如：迅我們案可以瞇根據敘車廂好下面靜彈簧辱的壓參縮量柿來估匪算車化廂上容下振剖動的覺頻率準。滿載拖車廂網的彈臉簧靜捏變形碧比空乘載車房誠廂大五，則炊其振呼動頻咽率比騙空載關車廂挽低。（2）振慘幅與對初位況相諧振鏡振動啦表達亦式A表示拔相對冰于振歐動中習心點O的最照大位灣移，酸稱為都振幅。（ωnt+獸θ）稱為凈相位魄（或方相位波角）勁，相喬位決屑定了挎質點折在某港瞬時t的位科置，濟它具席有角衣度的報量綱碌，而θ稱為相初相堆位，粗它決秘定了招質點怨運動代的起余始位嗽置。自由片振動什中的怖振幅A和初她相位θ是兩鴿個待桌定常禮數，緣瑞它們狼由運慘動的欠初始芹條件狡確定葉。設在塊起始t=范0時，考物塊荷的坐魚標x=躲x0，速度v=樂v0。為求A和θ，將初趁始條林件代頌入以感上兩屯式，鞏得到得到紹振幅A和初清相位θ的表派達式藥為：自由歉振動備的振旦幅和躬初相真位都晉與初葡始條如件有腹關。兩端故對時跡間t求一兩階導站數，以得物盾塊速拼度3.簡諧銹振動頑(諧以振動)特點物體振動時，如果離開平衡位置的位移x(或角位移)隨時間t變化可表示為余弦函數或正弦函數(1庫).彈簧灣振子擁的振械動彈簧肢振子俘：彈緣瑞簧—棵物體蘿系統平衡蔑位置喉：振源動物要體所艱受合拜外力為零樸的位跌置物體睡在平應衡位貼置的片兩側屆，在社彈性儀恢復壺力和睛慣性謠兩個知因素棋互相閣制約驕下，駁不斷團重復怨相同片的運餅動過狐程。由胡鵲克定往律及茫牛頓狡第二魄定律擱可得兄物體系的瞬壺時加拔速度扣:諧振票動運緞動方肆程諧振噸動微傲分方抬程其通解為：（1晝）（花2）補兩式墾均為隸物體認作諧會振動械的特鳴征表管述。(2)、彈融簧振目子的鞏振動糊方程微分方程形式一個泥運動塵物體皮，它界的加軍速度a與它俱離開座平衡增位置城的距飽離恒章成正看比而念反向芬那么困此物撒體一皂定作稼簡諧奏振動絞。物體易離開周平衡決位置應后，庭總是己受到槐一個塞方向液指向攻平衡戰位置船，大丈小與村物體戒離開剪平衡劣位置職的距探離成位正比體的力師的作碑用，葉則此增物體按一定雁在作混簡諧板振動淚。--塌--卻線性雜回復伐力運動學特征動力學特征上述脾諧振槳動的殺特征曾表述糞均等襯價。簡諧庭振動竟特點調：

(1)等幅振動(2)周期振動簡諧爛振動襲定義棗（判賴據）戚：描述環運動球的物融理量緩遵從框微分辜方程或運動方程為運動矮學特流征為維持運動物體所受合外力動力唱學特權征例：差判斷踐下列蕩運動墊是否陡為簡年諧振示動乒乓授球在認地面遠上的盒上下焰跳動小球棄在半漢徑很豎大的腫光滑徹凹球車面底盆部作消小幅喬振動mgO切向攻運動諧振舊動豎直慣方向雕懸掛交的諧驢振子yO光滑妥斜面衫上的物諧振北子mkX0mk速度速度也是簡諧振動

比x領先/2加速龍度也是蜻簡諧蛙振動簡諧振動的速度、加速度toT(3酬).描述肢簡諧動振動似的特腥征量奶--體-周窩期、贊振幅悅、相粉位a、周槳期T--哄--物體膨完成矮一次產全振煙動所蒙需時臥間。對彈宗簧振菌子：物體在單位時間內完成振動的次數。頻率角頻率b.振幅Ac.相位t+黃決定巴振動導物體奧的運狗動狀俊態諧振葡動物躬體離桿開平冰衡位咸置的麗最大境位移封的絕偏對值艱。相位t+=0x=克Av=沖0a=圾-ω2A相位t+袖=責/2x=呈0v=榮-Aωa=尿0OAXOAX(t+)是t時刻傭的相膜位是t=0時刻植的相賓位末—慘初相(或.T).A

和三個特征量確定，則諧振動方程就被唯一確定。其中(或.T)由系統本身的性質決定A

和由初條件決定如圖m=拍2×1仙0-2kg飲,彈簧雨的靜渾止形港變為l=爺9.勵8c愚mt=欄0時x0=-倍9.胳8c功m,盼v0=0泳⑴取開各始振夕動時浩為計哲時零儀點，寫出輝振動燥方程廊；（2送）若劉取x0=0遙，v手>0為計端時零犬點，寫出腥振動爭方程央,并桑計算鼠振動禿頻率。XOmx解：⑴確定詠平衡脂位置mg踏=kl取為陜原點k=津mg籠/l令向書下有布位移x,則f=征mg媽-k架(l升+x獵)=殊-kx作諧盞振動談設振愛動方榨程為例題由初哭條件話得由x0=Ac逝os=練-0撤.0誓98翁<0估co慨s<支0,取=滅振動怪方程腰為：x=竹9.東8稻10-2co表s(刮10拒t+)m(2野)按都題意t=晚0時x0=0乳，v模>0x0=Ac洋os=候0汗,co碗s=裂0=勵/麥2佳,3貢/襲2v0=-寸As寧in>得0偵,si犧n<0楚,取=臟3脖/2x=聚9.桑8那10-2co洪s(筋10抹t+胸3/氣2)m對同流一諧章振動撲取不擾同的哥計時認起點不同耐，但、A不變XOmx固有乎頻率例.如圖遙所示獅，振聯動系咱統由孝一剛槍度系這數為k的厘輕彈筐簧、妻一半懇徑為R、轉動朱慣量曉為J的靠定滑雙輪和叉一質沫量為m的找物體櫻所組趟成。鞋使物靠體略湯偏離五平衡覺位置療后放帶手，鄉豐任其沾振動而，試絞證物哄體作沸簡諧宮振動棕，并裝求其手周期T.mm解：炕取位晴移軸ox漁，m在平素衡位洪置時授，設瓣彈簧悟伸長豎量為l，則mm當m有位沿移x時聯立頌得物體作簡諧振動單擺在角妹位移象很小義的時麥候，襯單擺趁的振動讓是簡單諧振肢動。草角頻若率,濃振動的周英期分吐別為批：結論(4觸)、擺巨動為m繞O點轉動的轉動慣量。復擺致（物速理擺軋）總結：復擺課的角邀諧振鞋動方李程：振動景的角首頻率晨、周均期完勾全由疫振動系統別本身割來決可定。復擺坦的角鄙諧振臭動方盯程：單擺遺的角莊諧振碰動方單程：總結：Xt+oxt=tt=0x=Acos(t+)·參考圓(4胃)、浴諧振景動的脈旋轉駁矢量誤法(1潑)、竹旋轉普矢量敢表示金法(2供).位相疫差a.比較洞兩個嘉同頻為率諧摩振動墊的振咳動步凝調x1=Acos(t+1)x2=Acos(t+2)

撈=(t覽+2)-貼(t乓+1)=2-四1振動評（1洪）超餅前振拍動（栽2）/水6或振動型（2暮）超恐前振油動（雕1）尤11/叢61=2/發32=/確2X（1）（2）A-A-A/2-A/22當=2k,(清k榴=0堪,1啄,2碧,…身),兩振蹦動步憂調相皇同,呈稱同振相

同相和反相當=(2k+陸1),(慎k測=0切,1改,2保,…漫),兩振粒動步徹調相絮反,伶稱反租相x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相txoA1-A1A2+x1x2T同相若=2-1>0墻,則x2比x1較早杯達到加正最擇大,把稱x2比x1超前默(殊或x1比x2落后喝)。

超前和落后x2TxoA1-A1A2-A2x1t領先簡、落撓后以足<的相懂位角紀來判塑斷即x1比x2超前超前院時間t=鄭賴/氧=汪普T/孔2b.比較玻同一丈振動唱不同杯時刻寫的位夕相關潮系A-AtTxt1t2xOOt1t2=(t2+)-班(t1+)=述(t2-啞t1)振動塑狀態痕（1聾）超符前振稅動狀戲態（激2）劈燕/3兩振揪動狀梳態間揚的時濫間間飯隔t=凍(/雄2)T=死T/墨6諧振喜動的聲位移掛、速忠度、獵加速竿度之句間的濃位相竭關系toTavxT/4T/4由圖棍可見戚：xt+ot=t·(1都).解析僻法(2革).曲線工法oxmx0=0=/2oA-AtxT由：已知表達式A、T、已知A、T、表達式已知曲線A、T、曲線已知A、T、簡諧振動的描述方法：相位差對兩同頻率的諧振動=2-1初相差例題已知幻玉某簡蓮諧振啞動的雖速印度與很時間得的關捕系曲秘線如遮圖所位示，稠試求緊其振調動方抗程。解：油方法財1用解紹析法匙求解設振動方程為故振晶動方授程為方法腿2：用旋憤轉矢府量法特輔助膚求解秧。v的旋轉矢量與v軸夾角表示t時刻相位由圖知5.諧振湯動的渾能量以彈便簧振幣子為匪例諧振識動系醉統的極能量戴=系騙統的呼動能Ek+系統弄的勢號能Ep某一朽時刻壟，諧貧振子泉速度戴為v，位移廢為x諧振米動的桐動能方和勢軟能是術時間奔的周顛期性療函數簡諧斑振動賢系統末的能零量特語點:(1)動能(2)勢能情況同動能。分析：分析：(3)機械能簡諧崇振動榨系統安機械諷能守巾恒xtTEEpEk(1/2)kA2oEt由起尚始能困量求柜振幅a.由分析受力出發(由牛頓定律列方程)b.由分析能量出發(將能量守恒式對t求導)簡諧振動的動力學解法6.同一星直線粒上諧昂振動寒的合項成振動丟迭加遣原理合振羨動的肆位移腐等于敵各個微分振科動位負移的握矢量砌和。(1住)、同李一直愁線上便兩個雀同頻狠率諧鍵振動而的合郊成：分振動:合振動:合振普動是秘簡諧墻振動蔥,陳其段頻率堆仍為兩種債特殊掛情況如A1=A2,則A=0兩分振動相互加強兩分振動相互減弱分析若兩分振動同相：若兩分振動反相:合振值動不僚是簡哲諧振華動式中隨ｔ緩變隨ｔ快變合振豪動可慢看作紅振幅仁緩變匹的簡丟諧振碌動(2)、續同一捷直線塵上兩賴個不誕同頻逗率諧握振動懸的合稈成分振動合振動當21時拍—英合振遇幅隨權時間嘉作周壤期性茂變化紅，振動吳時而罷加強趟，時旺而減疊弱的撫現象拍頻六--淺單位璃時間刷內加劈燕強(吸或減雕弱)禾的次圈數xtx2tx1t例.質量膀為m=啟0.碰5k政g的物者塊，仗沿光灣滑斜繭面無秀初速避度滑珍下，瓣如圖取所示任。當嬸物塊坑下落提高度h=輩0.發1m時撞令于無浴質量桌的彈逢簧上活并與兼彈簧展不再漲分離殲。彈偽簧剛訊度k=苗0.痛8kN扶/m，傾角?=輔30福°，求此芽系統且振動是的固妨有頻陷率和鍋振幅腰，并往給出鄉豐物塊療的運幸動方衡程。解：1)取質壺量彈吹簧系姿統物塊顧于彈旋簧的芒自然籃位置A處碰閃上彈半簧。吳若物論塊平累衡時澤，由衡于斜尚面的薄影響穩，彈偶簧應臨有變防形量:2）以膊物塊指平衡座位置O為原聲點，挖取x軸如掙圖。3）物番塊在莖任意粱位置x處受息得力mg、斜面亭約束舅力FN和彈喂性力F作用表明碑斜面燒角β與物書塊運乞動微鼓分方役程無間關。固有傷頻率辣與斜死面傾肚角β無關歉。4）物扔塊沿x軸的房誠運動店微分呼方程肆為固有咬頻率此系伙統的濱通解齊為5）當壺物塊邊碰上留彈簧眾時，漲取時和間t=應0，作為雄振動外的起段點，飄此時龍物塊螞的坐欠標即龜為初個位移毛：物塊神碰上般彈簧廟時,初始稻速度旁為：得振繪幅及種初相疫位：則此奪物塊臥的運卷動方撓程為鼻：解：1）此巴無重燥彈性只梁相矩當于闊一彈妻簧，儉其靜虧撓度搭相當蠢于彈飾簧的臣靜伸架長，鳴則梁幅的剛搬性系蓬數為2）重渾物在瓦梁上傍振動嘉時，弦所受竟的力穗有重江力mg和彈戚性力F，若取矩其平泥衡位區置為瘡坐標缺原點態，x軸方茫向鉛工直向更下。例.如圖乒所示霧無重前彈性櫻梁,當其去中部嗓放置很質量讓為M的物燈塊,其靜部撓度嘗為2m禾m。若將濕此物蹲塊在敗梁未赤變形著位置午處無牲初速叢釋放,求系禾統的訪振動燙規律暮。設則上偷式可鞋改寫授為3）列捆出運郵動微真分方謝程為狀：上述宋振動嶼微分榴方程夠的解固為其中侮圓頻拳率在初體瞬時t=拉0，物塊及位于稠未變濟形的裹梁上耕，其謠坐標x0=-δst=-雁2m緩m，重物和初速υ0=0，初相此位則振秧幅為最后角得系狠統的匙自由杏振動擊規律歌為：令（1）彈蝦簧并阿聯兩個遺剛度醉分別價為k1、k2的彈彎簧并磨聯。洽設物輛塊在漿重力mg作用唯下平紗動，靜其靜獲變形拳為δst，兩個市彈簧歐分別而受力F1和F2，7.彈簧消的并扒聯與掛串聯keq稱為角等效立彈簧逮剛性艇系數當兩巾個彈宣簧并熔聯時懷，其丙等效毒彈簧父剛度版等于釣兩個冰彈簧貧剛度噸的和鮮。這叢一結明論也客可以舞推廣沃到多險個彈遭簧并阻聯的旨情形。平衡讓時有育：并聯壞系統另的固鼠有頻進率為兩個層彈簧袋總的染靜伸允長（2）彈簧礎串聯兩個枝剛性破系數仗分別蠶為k1、k2彈簧做串聯屢系統緣瑞。每個績彈簧行受的肢力都恩等于曲物塊環的重駁量，燦因此殺兩個叼彈簧赴的靜扣伸長疫分別獎為：設串腫聯彈廊簧系蘇統的緒等效蓄彈簧氣剛度帝為keq，則串聯雅彈簧閣系統綱的固溜有圓甘頻率醉為平衡聚時有妖：當兩泥個彈預簧串支聯時陳，其粘等效謹彈簧血剛度技的倒熊數等展于兩范個彈酒簧剛苦度倒晃數的率和。苗這一堡結論肉也可雨以推跑廣到駕多個跨彈簧均串聯指的情俊形。比較鋤上面拌兩式匹得：部分剛構件核的剛謹度桿：蠅懸廉臂梁:簡支資梁中斃點:等直分桿扭理轉:獵J為極潔慣性券矩8.其它殃類型丹的單月自由旅度振刃動系塊統除彈感簧與茶質量橋組成系的振葬動系徑統外巷，工如程中屠還有篇很多精振動黨系統闖，如瘦扭振室系統優、多航體系師統等蔬。圖為貫一扭便振系獅統，攪其中淘圓盤嬌對于區中心友軸的雅轉動鴨慣量獵為JO，剛性鍋固結魔在扭毫桿的乖一端子。扭桿悄另一知端固竟定，婆圓盤道相對捐于固猛定端登可扭指轉一拜個角材度φ，扭桿吧的扭滔轉剛晴性系汪數為kt，它表侄示使于圓盤德產生錄單位昆扭角相所需萍的力辦矩。令上式銳與無爹阻尼他微分叢方程素的標孕準形蔑式相暑同。根據塌剛體哈轉動師微分飄方程覆可建庭立圓礙盤轉最動的醬運動煙微分最方程催為：例.如圖螺為一咽擺振穩系統六，桿嬌重不隆計，貴球質唐量為m，擺對削軸O的轉誓動慣斃量為J。彈簧到剛度溝為k，桿于旁水平拜位置遼平衡尊，尺紀寸如黑圖。止求此流系統歐微小岔振動吊的運掠動微睜分方泛程及礦振動叛頻率端。解：1）取芳系統2）受多力分室析有：以平虎衡位毀置為齒原點習，擺尼在任眨一小察角度掘處φ，彈簧云壓縮平量為δ0+φ杯d。擺在掩水平旨平衡渾處，旺彈簧篩已有檔壓縮睛量δ0。由平狠衡方惕程：3）擺敞繞軸O轉動臉微分考方程鴉：化為凝標準佩形式失的無忘阻尼騰自由暮振動脈微分絮方程以平顯衡點南為原端點，患擺振生系統湖的運壩動微細分方川程也擺有無徹阻尼筆自由棉振動之微分蝕方程墳的標角準形罵式。列方絹程時嘩，可穿由平洽衡位當置計作算彈濕性變扁形，蓮而不搞再計旅入重姻力。擺振敬系統加的固吹有頻容率為芹：能量饒法從陣機械枯能守吵恒定潑律出播發計咳算較貸復雜芒系統告的固占有頻換率。圖示胖無阻滲尼振攏動系拉統，概當系慌統作犁自由添振動抱時，捕物塊挽的運遵動為巨簡諧跳振動享。它的含運動吧規律哪可以垃寫為殖：一個俘振動擋系統疾，確樣定其淺固有穩頻率昂非常鳴重要扮。通原過系爐統的績振動畢微分彼方程覽可以爺計算僚系統傳的固夜有頻販率。另外駛一種孝計算廁固有夜頻率桿的方駛法—能量佛法。二.計算葵固有毫頻率古的能植量法速度鋪為：在瞬織時t物塊跨的動欲能為系統尾的勢王能V為彈遠簧勢是能與裳重力覽勢能豈的和蓄，選蓋平衡獨位置民為零漸勢能慚點，經有：可見臘，對嘆于有僵重力泊影響居的彈呢性系吊統，偏如果雁以平纏衡位那置為壘零勢賤能位垮置，搬則重番力勢替能與勵彈性拿力勢丘能之次和相喂當于扁由平管衡位簡置處樹計算銹變形毛的單削獨彈亞性力伙的勢預能。當物桃塊處任于偏矩離振犧動中暫心的恥極端泳位置瘦時，福其位丙移最云大，膽系統荒具有兩最大稅勢能當物柏塊處遼于平區衡位拳置時毛，其蘆速度乒達到識最大冶，物胖塊具集有最侄大動升能無阻探尼自權由振褲動系葵統是運保守侄系統崖，系孩統的烤機械逆能守戀恒。帳由機盯械能類守恒膠定律續，有賺：可得勸到系徹統的煉固有林頻率：這個使原理蘭可以圖求出蠶其它喇類型獨機械牧振動繪系統倦的固騰有頻瘋率。可列扁出系榨統的草運動腿微分妹方程潛，可助容易組得到讓系統秀的固竭有頻件率例如叢：圖蹄示在枝水平管面勻翅速運陳動的虎均質喜圓柱葛質量產為m，半徑朽為r，彈簧甩剛性孝系數謝為k，求系深統微肌振的肆固有揮頻率蠢。取平移衡位型置微著系統狗原點喝，受汪力如密圖由實際菜問題闊中由痕機械甲能守千恒，葡對保勻守系仰統，圍由：例.在下孝圖所或示振含動系賽統中懼，擺退桿AO對鉸曲鏈點O的轉居動慣尖量為J，在桿鮮的點A和B各安顛置一殺個剛堂度分硬別為K1和K2的彈房誠簧，掘系統攀在水易平位宵置處足于平萄衡，扭求系織統作示微振終時的續固有才頻率湊。解：1）取餅擺桿逐為研陽究對堵象2）設躬擺桿AO作自頂由振蛙動時炸，其樸擺角φ的變攤化規吸律為則系果統振串動時選擺桿代的最侮大角遵速度3）計腦算最儀大動算能和棒最大尿勢能最大要動能嗽為A最大卷勢能祥等于杰兩個泄彈簧剪最大眉勢能電的和驗：4）應蒜用機貿械能旁守恒梨定律：即：得固財有頻填率：A例.如圖債一質脈量為m、半徑秀為r的圓損柱體警，在躍一半鬼徑為R的圓蹲槽上鎖作無篇滑動療的滾寸動。頃求圓嘉柱體偶在平觀衡位絡置附裁近作持微小域振動捉的固廳有頻猛率。由運鑄動學典知，耗當圓則柱體宵作純具動時箭，其闖角速羨度為句：解：1）取沒圓柱沾為研凱究對粥象2）分行析運志動規扇律設t時刻賣，圓久柱體虜微振濁角為θ設θ的變遣化規骨律為3）計醬算系憑統機真械能圓柱奇在最阿低處露平衡沉，取駁該處顏圓心甘位置C為零除勢能剛點，貨系統曉的勢討能即賺重力員勢能妖為系統價的動羨能：整理童后得蓋：系統煮的最即大動棄能系統澆的最推大勢崗能得系府統的俯固有做頻率飛：4）應褲用機雀械能炮守恒仰定理三.固有社頻率驕計算舟方法壘小結1.靜變忌形法km2.能量眠法懂動能欄質點褲定吼軸轉錢動J為轉叼動慣睬量強平面儀運動虎勢能巨彈性圣勢能護重力哈勢能能量遼守恒或例akm例彎設則mlka3.瑞利愛法命假設蠶振動磁形式郵例馬：考陡慮彈叼簧質左量影擋響ukxm假定喬：質瓜量的劣位移癢為x時，旦離彈滑簧上胡端u處，料截面劃位移詳為更動經能為勢能有例:懸臂望梁等寸效質虎量xm從材沒力，協在梁截端作右用力P時截守面x處撓供度為假定全梁衫動能奧最大坑值乓勢稼能最途大值系統載動能冊最大崇值四.振動貫測試嚇問題塊已犧知m，測k，可從汁測蹄求得各。mkm,居k未知越，可摔先測堤，河再附粉加已亂知質私量m。測測彈能模E1.阻尼上節決所研歉究的蓬振動買是不耕受阻侄力作棚用的打，振副動的提振幅鄙是不戒隨時塔間改派變的創，振沒動過昂程將沫無限簡地進擱行下支去。實際叨中的陪振動菌系統醫由于烘存在辱阻力彎，而庸不斷行消耗滅著振魄動的蘭能量蛋，使棵振幅號不斷桿地減浸小，摔直到疫最后醒振動倒停止莊。振動到過程訓中的縫阻力旁習慣撈上稱你為阻廁尼。五.單自洪由度窮系統寫的有糠阻尼映自由做振動阻尼熊類型壯：1）介盼質阻習尼2）結敵構阻建尼3）庫研侖阻稀尼當振演動速炒度不視大時均，介紹質粘態性引補起的偶阻力滴與速販度一完次方性成正塵比，績這種浙阻尼去稱為理粘性染阻尼析。這種滴阻尼蛋實際峰上較遼多，燙這里腦將以鎮此研勢究。振動徑系統林中存雅在粘狀性阻型尼時際，經賞常用翁阻尼蹄元件c表示戀。比例叔常數c稱為謀粘性聽阻尼顏系數負號鼓表示寺方向設振踩動質題點的場速度制為為v，則粘解性阻蒙尼的床阻力FC可表貞示為：一般資的機壓械振容動系歪統都援可以蒜簡化個為：由慣掉性元厚件（m）彈性鴉元件喊（k）阻尼店元件吹（c）組成管的系誰統。下面色建立濫具有仆粘性司阻尼亞系統路的自千由振數動微六分方精程。當以賊平衡少位置O為坐猛標原野點，是建立棋此系蓬統的慮振動障微分段方程流時可猜以不虎再計付入重鵝力作展用。（2）粘謹性阻盤尼力Fc，方向培與速佛度方扒向相份反，2.振動百微分市方程振動腦過程悠中作衡用在乎物塊忌上的效力有膀：（1）丘恢復歲力Fk，方向摘指向倚平衡悉位置O大小抹為：大小顧為：物塊倆的微饞分方鍋程為：整理溪得：它是搜一個燥二階蘆齊次酸常系份數線經性微灘分方澡程有阻肅尼自歇由振卸動微蔥分方于程的妨標準暈形式該方耗程通理解為艦：其解大可設孔為：特征登方程：兩個敢特征臉根為秒：兩端報除以m，并令：當n<冒ωn時，阻尼投系數特征只根為寄共軛轟復數另，即軌：微分粉方程玻的解鋒可以惜表示錘為：特征剛根為罩實數鼓或復軍數時冒，運雁動規苗律有妻很大煤不同壁，因慨此下娛面按n<輩ωn，n>御ωn和n=讓ωn三種乓不同劍情形混分別嘆進行垃討論猜。3.小阻涂尼情倍形阻尼訪較小箱，稱綠為小外阻尼對情形煤。A和θ為兩敘個積虛分常蟲數，肅由運確動的迎初始廈條件督確定或其中稱有括阻尼抓自由猾振動階的圓車頻率當初瞬真時t=闊0，質點撲的坐纖標為x=涂x0速度v=南v0可求奸得有游阻尼孕自由邁振動掩中的植振幅哨和相攜位：這種斃振動拜的振旋幅是掘隨時悼間不宗斷衰外減的賓，稱秤為衰須減振值動。慣衰減嫩振動稍的運朵動圖雹線如蘇圖所避示。由衰流減振駕動的迅表達炸式：這種寶振動碰不符軟合周練期振餃動的鑒定義悉，所跳以不山是周幻玉期振產動。但這虛種振等動仍拒圍繞訓平衡普位置值的往沿復運師動，盈仍具臨有振酒動的末特點這。我遣們將崖質點臘從一蒙個最您大偏獲離位故置到耐下一錯個最顛大偏陷離位連置所殃需的吧時間糊稱為壇衰減律振動撞的周夸期，街記為Td，如上融圖所失示。ζ稱為姥阻尼舍比。叢它是竭振動匆系統皺中反恩映阻養尼特延性的斷重要夫參數板。在扭小阻戲尼情計形下頌，ζ<1。有阻惱尼自卡由振仙動周穗期Td、頻率fd和圓引頻率ωd與相抵應的民無阻領尼自限由振縮慧動的T、f和ωn的關回系：表明勾：由迷于阻武尼的廣存在弱，使除系統騾自由多振動兩的周噸期增角大，艱頻率緊減小精。當獲空氣釘中的姿振動嚷系統龜阻尼噴比比胸較小度時，酒可認箭為：其中些：ωd=ωn，Td=T經過恥